大学物理课件波动2

1、教学要求：(1)能根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程，并掌握其物理意义及波形图形。掌握平面简谐波特征量的物理意义及其相互关系以及各由什么因素决定。(2)理解谐波的动能、势能，理解波动能量的传播特征，理解能量密度概念，理解平均能量密度、能流与能流密度的概念，会计算波动的能量。 振动方程一定时，当tyyx1tyO 片）分布即波形图（拍一照各质点位移一定时，当xyyt2xyO 布情况质点在各时刻的位移分所有，都变时，、当txyyxt3xyOxtuxY时刻的波形1t时刻的波形2t波的传播方向波的传播方向 由图波形沿 x 正方向传播，波速为故称为行波。行波。（4）当波动向 -x 轴方向传播

2、时，波动方程为（5）一般情况下由得因为所以（1）（2）得 （1）任一平面波为许多不同频率同一波速传播的平面简谐波的合成。 （2）行波表达式为该微分方程的特解。 (3) 式中的为波速，是波源振动形式的传播速度，即相速，由介质的性质所决定。 ：横波和纵波在固体中的传播速度分别为纵波在液体和气体中的传播速度为可见：波的传播速度仅仅只与介质的性质有关。 例一例一 一平面余弦横波在弦上传播，其波动表达式为式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求其振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画出 t = 0.0025 s 和 0.005 s 各时刻弦上的波形图。解：（解：（1）由波动方程所以得此波沿

3、 x 正方向传播，且有 （2）波形图：先求 t = 0 时刻的波动方程并画出波形图： mxyO1 . 02 . 03 . 04 . 0 t = 00.0025(s)，波向 x 轴正方向前进的距离为mxyO1 .02 .03 .04 .0mxyO1 .02 .03 .04 .0mxyO1 .02 .03 .04 .0 例二例二 如图所示为一平面简谐横波在开始时刻（ t = 0 ）的波形。有关物理量的数据一并图示，已知周期 T = 4（s），建立该波的波动表达式，并求图中 P 点经 2（s）后的振速；若图示波形是 波形图且波改为向 x 负轴传播，则再建立波动表达式。4Tt mxcmyOP520u解

4、：（解：（1）由图得波动方程为mxcmyOP520u波形前移x，由参考圆法得yA23所以波动表达式为质点振速为时的速度为在点stmxP220mxcmyOP520u（2）波形后移 ，即为 t = 0 时刻的波形图4TyA由参考圆法得所以波动表达式为 例三例三 一平面简谐波以速度 沿直线传播，已知在传播路径上某点 A 的振动方程为 （1）以点 A 为坐标原点，写出波动方程； （2）以距点 A 5m 处的点 B 为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上点 C、点 D 的振动方程； （4）分别求出 BC、CD 两质点间的相位差。120smvABCDxum8m5m9解：解：由已知条件，A 点的振

5、动方程为（1）以 A 为原点的波动方程为（2） B 点的振动方程为 B 点的波动方程为（3） C点和 D点的振动方程分别为ABCDxum8m5m9（4）由图得所以得（一）能量（一）能量 设平面简谐波在密度为的弹性媒质中沿 x 正方向传播：=0在 x 处取体积元 V，质量为 或在绳子上X处长度X,质量为m= X当波传到此 V 时，有所以体积元动能为线元的势能lxxyTxxyTxyxTxlTEP222221) 1)(1()()(0)(sinuxtuAxy1T2TxyOx0222sin21uxtxAEP2uT张力体积元的总能为uxtAVE222sin平面波不是在绳子中传播，而是在均匀介质中传播时：（

6、二）特点（二）特点:能量变化同相能量变化同相形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）Oxyab（三）振动与波动中能量变化的（三）振动与波动中能量变化的区别区别振动：能量守恒振动：能量守恒波动：能量传播过程波动：能量传播过程时大时小，时大时小， 不守恒不守恒单位体积内波的能量 能量密度能量密度 w ：能量密度的平均值：能量密度的平均值：uSu 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上通过的平均波的能量 能流密度能流密度的方向。为矢量，其方向为波速能流密度uI 在给定均匀媒质（、u

7、 一定）中，从给定波源（一定）发出的波：dxdAxxO x 处的波动，经 dx 一层媒质后，振幅的衰减为 - dA ：吸收系数（由媒质自身性质决定）两边积分得处的振幅00 xA因为所以平面简谐波强度的衰减规律为处的波强00 xI1r2rO球形波面，则为半径，作两个同心，为中心，以点21rrO 单位时间内穿过这两个球形面的总平均能量分别为因为无吸收，由能量守恒定律得所以即则即C 取 r =1 个单位距离处的波幅，则 媒质中波动传播到达的各点，都可看作媒质中波动传播到达的各点，都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹（指和所有子波的波前相

8、些子波波面的包迹（指和所有子波的波前相切的曲面或曲线）决定了原波动的波前。切的曲面或曲线）决定了原波动的波前。 （1）适用于任何媒质（均匀的或不均匀的、各向同性的或各向异性的） （2）任何形式的波动（1）平面波）平面波1S2Stu1S2SOutR 1ttuR2tu（2）球面波）球面波（一）波的衍射（波动特征之一）（一）波的衍射（波动特征之一） 波在传播过程中，若遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进。 缝宽 a 与波长大小可比较。 a（二）波的折射（波动特征之二）（二）波的折射（波动特征之二） 当波从一种均匀媒质进入到另一种均匀媒质时，由于在两种媒质中波速不同，波在两种媒质的分界面上发生折射。

9、 MNABDC1E2E1A2AiMNABDC1E2E1A2Ai别为各点发射子波的时间分、点，所以到达时刻波从点，时刻波到达，则时刻：波前到达，折射角为设入射角为211002211EEACBtAtABtBAAAAAiMNABDC1E2E1A2Ai各子波半径分别为由图知所以即的相对折射率对于媒质媒质1221n 折射定律：折射定律： （1）入射角的正弦与折射角的正弦之比等于波在第一媒质中的波速与第二媒质中的波速之比。 （2）入射线、折射线和分界面的法线，在同一平面内，并且入射线和折射线在法线的两侧。棱镜棱镜全反射 1、全反射现象： 波从波密介射向波疏介质（n2n1)时，根据折射定律 若 会有 这是没

10、有意义的，我们不可能求出任何实数的折射率。事实上，这时没有折射光,入射光全部返射回介质1,这个现象称为全反射。满足的入射角称为临界角,相应的折射角 。2112sinsinnnniiti2112sinnnnii1sinti090ti 显然 时,即i1 等于临界角ic 时, 入射光为线偏振光，反射光也为线偏振光。21121sinnnnic?211sinni 全反射、光学纤维21121sinnnnic临界角：n1n2n1 2、倏逝波： 它在介质光波导理论和技术中有重要应用。 实验表明，在全反射时，光波并非绝对地在界面上被全部反射回第一介质，而是透入第二介质很薄的一层表面（约为一个波长）并沿界面传播一

11、些距离（波长量级）最后返回第一介质。透入第二介质表面的这个波称为倏逝波。 从满足电磁场边值关系来看，倏逝波的存在是必然的。 因为电场和磁场不可能中断在两种介质的分界面上，它应该满足边值关系，因而在第二介质中就一定会存在透射波。 只是在全反射下这个透射波有着特殊的性质，使它不能无限深入第二介质的内部。 必须指出：虽然在第二介质中存在倏逝波，但它并不向第二介质内部传输能量。 计算表明，倏逝波沿z方向的平均能流为零。 这说明第一介质流入第二介质和由第二介质流入第一介质的能量相等。 进一步研究还表明，由第一介质流入第二介质的能量入口与返回的能量出口处相隔约半个波长通常称为古斯哈恩森（Goos-Haen

12、chen）位移，这是造成全反射时反射光位相跃变的原因。 3、光学纤维、光学纤维212211sinnn 为了使更大范围内的光束能在光学纤维中传播，光纤应选择折射率差值较大的材料 在相遇区域内，任一点的振动为两列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 两列波相遇后，仍然保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。S1S2S加加强强加加强强加加强强减减弱弱减减弱弱2（1）频率相同）频率相同（2）振动方向相同）振动方向相同（3）相位相同或相位差恒定）相位相同或相位差恒定S1S2S加加强强加加强强加加强强减减弱弱减减弱弱2为，其简

13、谐振动方程分别、设两相干波源21SS 两波在同一媒质中传播（波长均为），无吸收，振幅不变：分别为处相遇，它们的分振动在点、经过Prr211S2SP1r2r 所以点 P 同时参与两个同方向、同频率的谐振动，合振动仍为简谐振动合振动仍为简谐振动：合振动初相为合振动初相为合振动振幅为合振动振幅为，则有，并令波程差为若1212rr 例一例一 如图所示， 为两相干波源，相距 （为波长）。 较 的相位超前 。问在 的连线上， 外侧各点的合振幅如何？又在 外侧各点的合振幅如何？21SS，41S2S221SS，1S2S1S2S4 解：解：两波源在任一点引起振动的相位差为2S1SPQ1r2r由题意2S1SPQ1r2r ：有外侧一点对PS111r41r所以2S1SPQ1r2r ：有外侧一点对QS222r42r所以 例二例二 如图，在同一媒质中，相距为20（m）的两点（A，B）处各有一个波源，它们作同