大学物理振动学基础4

1、一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为结一质量为m1的物体，放在光滑的水平面上。将一质的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为量为m2的物体跨过一质量为的物体跨过一质量为M，半径为，半径为R的定滑轮与的定滑轮与m1相连，求其系统的振动圆频率。相连，求其系统的振动圆频率。解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标原点，向右为正建立坐标。由牛顿第二定律由牛顿第二定律22111ddtsmamksTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs解上面的方程组得解上面的方程

2、组得0)()21(22221kgmSkt dSdMmmkgmSx2令：02dd2122xMmmktx0222xdtxdOm1m2m2g/kRMkgSmvmIvmkS222221221212121常数常数一一 同方向同频率的同方向同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)11cosA22cosA2AA1A21合振动是合振动是简谐振动简谐振动吗？吗？振幅多大？振幅多大？周期多少？周期多少？XY0 x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t

3、+ 2)2.合振动合振动 : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY两种特殊情况(1)若两分振动若两分振动同相同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强合振幅最大合振幅最大2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221AAAAA两种特殊情况(2)若两分振动若两分振动反相反相

4、 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)则则A=|A1-A2|, 两分两分振动相互减弱振动相互减弱如如 A1=A2 , 则则 A=0(3)一般情况：一般情况：|2121AAAAA1A2AA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221AAAAA例例1 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为为cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx1)求它们的合振动方程；求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动另有一同方向的简谐振动cm)2cos(233tx问当问当 3 为何值时，为何值时

5、，x1+x3的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3为何值时为何值时，x1+x3的振动为最小值？的振动为最小值？)2cos(0tAx解：解：1) 两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动，合振动方程为后还是简谐振动，合振动方程为)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA)cm()5/42cos(5tx所求的振动方程为所求的振动方程为540590cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx相位相同时当,), 2, 1, 0(213kk2)，振幅最大即

6、), 2, 1, 0(23kk相位相反时（当,), 2, 1, 0() 1213kk，振幅最小即), 2, 1, 0(23kkcm)2cos(41txcm)2cos(233txX(m)o)(st432x1x例例2 两同频率同方向的两同频率同方向的简谐振动，如图示简谐振动，如图示,求合求合成振动的振幅成振动的振幅212)(52cos222212221mAAAAA2102解解：)cos(212212221AAAAA)cos(212212221AAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY多个同方向同频率的多个同方向同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成就是旋转矢就是旋转

7、矢量的矢量和量的矢量和)2sin()2Nsin(aAADoABD)cos(1wtax )cos(2wtax)2cos(3wtax) 1(cosnwtaxn1 . 5 . 4146页例第CN个同方向同频率相位差依次个同方向同频率相位差依次差个常数的简谐振动的合成，差个常数的简谐振动的合成，求合振动振幅求合振动振幅A 同方向不同频率的简谐振动的合成2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA合振动是不合振动是不是简谐振是简谐振动？动？)cos(1111tAx)cos(2222tAx)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx2)(cos2)(cos21212ttA)co

8、s()cos()(21tAtAtx2cos2cos2coscos21xxx合振动： 续：同方向不同频率的简谐振动的合成两个振幅相同，两个振幅相同，初相相同的初相相同的当当 2 1时时 2- 1 2+ 12)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx）（ttAx2cos)(21合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动2)(cos2)(12tAtA 续：同方向不同频率的简谐振动的合成合振动不是合振动不是简谐振动简谐振动即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动)(txt2)(cos2)(12tAtA）（ttAx2c

9、os)(21这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。拍的现象xt单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)2cos(12t拍频2)(cos2)(12tAtA1212)2(212特殊情景法如果一个问题太复杂，简直没办法研究，如果一个问题太复杂，简直没办法研究，例如股票价格（影响因素太多，主次也难分）例如股票价格（影响因素太多，主次也难分）面对一个复杂的问题，如果无法对它进行很好的研究，寻找它有没有什么比较容易研究的特殊情况？若能研究清楚它的一个特殊情形

10、，也是能够得到一些有价值的结论振动的频谱分析xyzijkAkji,kjir532 实际的振动不一定是实际的振动不一定是谐振动，在运动方程已谐振动，在运动方程已知时，利用知时，利用傅里叶变换傅里叶变换可可以分解为许多若干频率的以分解为许多若干频率的谐振动的叠加。谐振动的叠加。这是信号分析、处理这是信号分析、处理和数字化的基础。和数字化的基础。振动的频谱分析教材教材151页页)(tXt周期性的非简谐振动，在周期性的非简谐振动，在运动方程已知时，利用运动方程已知时，利用傅傅里叶变换里叶变换可以分解为许多可以分解为许多若干频率的若干频率的谐振动的叠谐振动的叠加加 x= 3cos(1t+1 ) + 2c

11、os(2 t+2 ) +4cos(3 t+3 ) +27cos(4 t+4 ) +三.垂直方向同频率简谐振动的合成分振动分振动x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx(1) 合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的一个范围内的一个椭圆椭圆 (2) 椭圆的性质椭圆的性质 (方位、左右旋方位、左右旋 ) 在在 A1 、A2确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2- 10221222212AAxyAyAxxAAy12yx221222212sincos2AA

12、xyAyAx)(12(2)xAAy12yx垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)0)(12（1）221222212sincos2AAxyAyAx2)(12(3)1222212AyAx21223x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)垂直方向同频率简谐振动的合成综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭是退化了的椭圆）当两个分振动的

13、振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。圆轨道就成为圆。为其他值时为其他值时,则为任一椭圆。则为任一椭圆。垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成0124124312454721223垂直方向同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线,即合成运动不即合成运动不是周期性的运动。是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论四, 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化变化,以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依次以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依

14、次的循环变化。的循环变化。0121.)cos(111tAx)cos(222tAy、01241243124547212232 2、如果两个互相垂直的、如果两个互相垂直的振动频率成整数比振动频率成整数比, ,合成运动的合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为形称为李萨如图形李萨如图形。2:1:yxTTyxA1A2o-A2- A1 x y=3 2 2=0, 1= /4)cos(111tAx)cos(222tAy2121nn2:1:yxTT)cos(111tAx)cos(222tAy李萨如图形的应用如果将不同的信号分别输入示波器的

15、如果将不同的信号分别输入示波器的y y 轴和轴和x x 轴的轴的输入端，当两个信号的频率满足一定关系时，荧光输入端，当两个信号的频率满足一定关系时，荧光屏上会显示出李萨如图形屏上会显示出李萨如图形 系统受力：回复力系统受力：回复力 -kx；阻尼力阻尼力tddx4.3 阻尼振动 受迫振动 共振一.阻尼振动kmoxX22tdxdm动力学方程：动力学方程：tddxkx如何研究这时的如何研究这时的弹簧振子的运动呢？弹簧振子的运动呢？用牛顿定律用牛顿定律令令,2mkom2阻尼振动)cos(tAext22022tdxdmtddxkx0小阻尼：0临界阻尼：）12(CtCext不再振动，较快回到平衡位置不再振

16、动，较快回到平衡位置0过阻尼：不再振动不再振动 缓慢的回到平衡位置缓慢的回到平衡位置22tdxdm动力学方程：动力学方程：阻尼振动的研究方式)cos(tAextkmoxXtddxkx用牛顿定律得到描述该质用牛顿定律得到描述该质点运动的动力学微分方程点运动的动力学微分方程解这个常微分方程解这个常微分方程得到运动方程得到运动方程振动的频谱分析振动的频谱分析系统受力：回复力系统受力：回复力 -kx；阻尼力阻尼力tddx 周期性驱动力周期性驱动力 f =Focosp t22tdxdm动力学方程：动力学方程：受迫振动ptFtddxkxocos)cos()cos(1220ptAteAxoot令令,2mko

17、m22222204)(/ppmFAo22012arctanp第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为稳态解为 x =Acos(p t+ ) 受迫振动)cos()cos(1220ptAteAxoot位移共振2202p2202/mFAo)cos()cos(1220ptAteAxoot2222204)(/ppmFAo当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅当系统固有频率，阻尼力大小，

18、策动力幅值保持不变时，仅改变策动力的频率值保持不变时，仅改变策动力的频率x =Acos(p t+ )速度共振)cos()cos(1220ptAteAxoot2222204)(/ppmFAo时当0p：速度共振20maxFV当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅值保持不变时，仅改变策动力的频率值保持不变时，仅改变策动力的频率x =Acos(p t+ )现实中有很多现象具有周期性，当我们研究这些现象的现实中有很多现象具有周期性，当我们研究这些现象的周期性的规律时，可否从本章中得到借鉴和启示呢？周期性的规律时，可否从本章中得到借鉴和启示呢？总结，如何研究周期性的现象频

19、谱分析频谱分析前提是前提是x(t)已知已知工具傅里叶变换工具傅里叶变换动力学方法动力学方法当当x(t)未知时未知时工具是各领域的动力学部分的工具是各领域的动力学部分的基本原理基本原理+解微分方程解微分方程x(t)已知已知振动学小结简谐振动的运动方程旋转矢旋转矢量图法量图法简谐振动的动力学方程简谐振动的能量证明一个振动证明一个振动是简谐振动是简谐振动简谐振动的合成频谱分析频谱分析研究周期性现象研究周期性现象的动力学方法的动力学方法同方向同频率同方向同频率简谐振动合成简谐振动合成在振幅已知时，知在振幅已知时，知道了位置和速度方道了位置和速度方向就知道了相位向就知道了相位面对复杂问题，面对复杂问题，

20、研究它的特殊研究它的特殊情况情况第第5 5章章 波动学基础波动学基础机械振动在弹性介质中的传播称为机械振动在弹性介质中的传播称为机械波机械波 各种类型的波尽管有其特殊性，但在形式上各种类型的波尽管有其特殊性，但在形式上它们具有许多共同的特征和规律。它们具有许多共同的特征和规律。都有类似的都有类似的波动方程波动方程 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动波源处质点的振动通过波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而将振动传播开去，从而形成机械波。形成机械波。 产生条件产生条件: : 波源波源 弹性弹性 媒媒质质一 机械波的产生条件 (1)

21、质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” ” 波的传播不是媒质质元的波的传播不是媒质质元的传播传播-波是振动状态的传播，是相位的传播波是振动状态的传播，是相位的传播(3) 某时刻某质元的振动状态将在某时刻某质元的振动状态将在“下游下游”某处的某处的质点上出现质点上出现(2)(2)沿波的传播方向沿波的传播方向,各质元的相位依次落后各质元的相位依次落后总之总之,波动波动是振动状是振动状态的传播，是能量的态的传播，是能量的传播传播，而不是质点的而不是质点的传播。传播。二 机械波的传播特点 三 横波和纵波横波横波振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向垂直 横波和纵波纵波：振动方向与传播方向相同纵波：振动

22、方向与传播方向相同任一波任一波,例如，水波、地表波，都能分解为例如，水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究横波与纵波来进行研究。不同点不同点1，外形上，外形上横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域不同点不同点2，传播媒质上，传播媒质上 横波和纵波的不同点横波只能在固体中传播，纵波可以在固体，横波只能在固体中传播，纵波可以在固体，液体，气体中传播。液体，气体中传播。相同点：相同点：1在传播过程中，质点都在平衡位置在传播过程中，质点都在平衡位置附近振动，质点本身不随波前进。附近振动，质点本身不随波前

23、进。相同点：相同点：2在传播过程中，两者均可用相位在传播过程中，两者均可用相位来描述其振动状态，所以振动的传播也可以来描述其振动状态，所以振动的传播也可以用相位的传播来说明。用相位的传播来说明。 横波和纵波的相同点按传播能量的维数来分：一维波，二维波按传播能量的维数来分：一维波，二维波三维波，三维波，按波前形状来分：平面波，球面波，柱面波按波前形状来分：平面波，球面波，柱面波 其它波的分类方法四 波线、波面波线波线：代表波的传播方向的直线称为波线：代表波的传播方向的直线称为波线波面波面（或同相面或同相面）某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。

24、波前波前(或波阵面或波阵面)某时刻处在最前面的波面。某时刻处在最前面的波面。波面波面波线波线球面波球面波平面波平面波波波线线波面波面在各向同性在各向同性均匀介质中均匀介质中，波线与波，波线与波阵面垂直阵面垂直五五 周期、波长、波速周期、波长、波速 波的频率波的频率 : : 即单位时间内媒质中某点完成全即单位时间内媒质中某点完成全振动的次数振动的次数. . 周期周期T：媒质中各点完成一次全振动所需要的时间：媒质中各点完成一次全振动所需要的时间波长波长 : : 同一波线上同一波线上 两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离 波速波速u : 单位时间波所传过的距离单位时间波所传过的距离Tu 波速波速

25、u u又称又称相速度相速度( (相位传播速度相位传播速度) )波速同一性质的振动在某一媒质中传播，波速同一性质的振动在某一媒质中传播，波速只与媒质的性质有关，与振源无关只与媒质的性质有关，与振源无关Tu 波的群速度波的群速度v这种波仅是理想的情况这种波仅是理想的情况 任何形式的波动都可看成是由无限多个不同频率、任何形式的波动都可看成是由无限多个不同频率、不同振幅的单色简谐波叠加而成的不同振幅的单色简谐波叠加而成的 任何介质通常都具有色散的特征任何介质通常都具有色散的特征各频率的单色平面波各以不同的相速传播，所以由它各频率的单色平面波各以不同的相速传播，所以由它们叠加而成的波在传播过程中将不断改

26、变其形状，在们叠加而成的波在传播过程中将不断改变其形状，在这种情况下，关于波的传播速度问题就变得比较复杂这种情况下，关于波的传播速度问题就变得比较复杂了了 群速度的概念群速度的概念可以认定振幅最大的一点，而把这一点在空间的传播可以认定振幅最大的一点，而把这一点在空间的传播速度看作是代表整个波的传播速度。按照瑞利的说法，速度看作是代表整个波的传播速度。按照瑞利的说法，其的传播速度称为群速度，简称群速其的传播速度称为群速度，简称群速 只有在有色散介质中，才必须区分群只有在有色散介质中，才必须区分群速和相速，真空中二者是没有区别的速和相速，真空中二者是没有区别的 若波源和介质中的质点都作简谐振若波源

27、和介质中的质点都作简谐振动动, ,这种波称之为这种波称之为简谐波简谐波。一、平面简谐波波动方程下面要用数学表达式描述波线上每一质点在任一时刻的下面要用数学表达式描述波线上每一质点在任一时刻的相对平衡位置的位移，这样的函数相对平衡位置的位移，这样的函数 称为波的称为波的波动方程波动方程),( txfy波波线线波面波面相对于平衡位置的位移相对于平衡位置的位移:y:y波线上个质点的坐标波线上个质点的坐标:x:x波的描述任意坐标x处的振动方程下面要用数学表达式描述波线上任意一质点下面要用数学表达式描述波线上任意一质点在任一时刻的位移在任一时刻的位移波动方程波动方程),( txfy以横波为例以横波为例已

28、知已知O点振动表达式：点振动表达式：)cos(0tAy波长为yxouxp波动方程波动方程任意坐标任意坐标x处的振动方程处的振动方程yxou23沿着波的传播方向相位差的落后成比例的沿着波的传播方向相位差的落后成比例的Ayxou2324T经过经过1/4周期后周期后2TxoA225B23经过经过1/2周期后周期后xox2点落后处相位比)cos(0tAyO点的振动方程：点的振动方程：X处的振动方程：处的振动方程：)2cos(0 xtAy写波动方程方程的比较相位法写波动方程方程的比较相位法yxouxpxpxx2处相位超前)cos(0tAyO点的振动方程：点的振动方程：X处的振动方程：处的振动方程：)2cos(0 xtAy如果是向如果是向x x轴负向传播轴负向传播yxouxpxp波动方程（任意波动方程（任意X处的振动方程）：处的振动方程）：小结小结yxouxpxp)2cos(0 xtAy向向X轴正方向传播为轴正方向传播