分离变量法弦的振动

1、关于分离变量法弦的振动现在学习的是第一页，共26页物理模型的启示：乐器发出的声音可以分物理模型的启示：乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t，每，每个单音可以表示成个单音可以表示成 xtAtxusin)(),(现在学习的是第二页，共26页波腹波节每一点绕平衡位置振动)(tT振幅随位置变化)(xX驻波解：驻波解：)()(),(tTxXtxu对于确定的频率，解是对于确定的频率，解是驻波：驻波：0 2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X0)(lX0 2XXTaT

2、现在学习的是第三页，共26页)()( )()( 2xXxXtTatT)()( )()( 2xXxXtTatT由由分离变量分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)(lX现在学习的是第四页，共26页(1) 0 xxeCeCxX21)(0)0(X021CC. 0)(lX021lleCeC021 CC; 0 XX现在学习的是第五页，共26页(2)021)(CxCxX02C021ClC021 CC(3)0 xCxCxXsincos)(210)0(X01C. 0)(lX0sin2lC0sinl222ln3

3、, 2 , 1n02C现在学习的是第六页，共26页lxnCxXsin)(2222ln：本征值：本征值lxnCxXsin)(2：本征函数：本征函数; 0 XX：本征值方程：本征值方程C2是是积分常数积分常数。现在学习的是第七页，共26页; 0 2222TlanT,sincos)(latnBlatnAtTA、B 是是积分常数积分常数。.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn3 , 2 , 1n现在学习的是第八页，共26页.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn)(0 xut由初始条件：由初始条件：),(sin1xlxnAnn;sin)(20

4、dlnlAln).(0 xutt).(sin1xlxnBlannn.sin)(20dlnanBln现在学习的是第九页，共26页小结小结分离变量：分离变量：)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn边值边值确定本征值函数：确定本征值函数：.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn初值初值确定叠加系数：确定叠加系数：;sin)(20dlnlAln.sin)(20dlnanBln注意：边界值等于零（注意：边界值等于零（齐次边界条件齐次边界条件）是确定本征函数的）是确定

5、本征函数的根本根本。现在学习的是第十页，共26页xktClxnlatnBlatnAtxunnnnnnnsin)sin(.sin)sincos(),(1.BsinC,AcosC,lnka,lnnnnnnnnn驻波驻波 xkCnnsin表示弦上各点的的振幅分布表示弦上各点的的振幅分布 相位因子相位因子 驻波的角频率驻波的角频率 现在学习的是第十一页，共26页例1磁致伸缩换能器两端自由得均匀细杆。02xxttuau0lx0),(lxxtxu0),(lxxtxu)(0 xut)()(0 xxutt)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0( tTX0)()( tTlX分离变量：分离变量：;

6、 0 2TaT; 0 XX0)0( X和. 0)( lX现在学习的是第十二页，共26页xCxCxXsincos)(21, 02C0)cossin(21lClC222ln3 , 2 , 1 , 0nlxnCxXcos)(1现在学习的是第十三页，共26页; 0 2222TlanT,sincos)(latnBlatnAtTnnn.cos)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn3 , 2 , 1ntBAtT000)(0ntBAtxu000),(.cos)sincos(),(100lxnlatnBlatnAtBAtxunnn现在学习的是第十四页，共26页)(0 xut由初始条件：由初

7、始条件：),(sin10 xlxnAAnn,)(100dlAl).(0 xutt).(sin10 xlxnBlantBnn.cos)(20dlnanBln;cos)(20dlnlAln,)(100dlBl现在学习的是第十五页，共26页0 x固定lx 自由0 x自由lx 自由0 x自由lx 固定2.557.51012.515-1-0.50.510 x固定lx 固定一、二类边界条件决定的驻波现在学习的是第十六页，共26页例例2:(自学自学)单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。02xxttua

8、u0),(0 xtxu0),(lxxtxu求求本征振动本征振动。)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()( tTlX分离变量：0)0(X和和0)( lX0lx)(0 xut)()(0 xxutt现在学习的是第十七页，共26页; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)( lXxCxCxXsincos)(2101C0cos2lC和2222224) 12()21(lklk3 , 2 , 1 , 0klxkCxX2) 12(sin)(2现在学习的是第十八页，共26页; 04) 12( 2222TlakT,2) 12(sin2) 12(cos)(latkBlatkAt

9、T.2) 12(sin)2) 12(sin2) 12(cos(),(lxklatkBlatkAtxukkk3 , 2 , 1 , 0kK=0：基频。：基频。K0：谐频：谐频现在学习的是第十九页，共26页例例3细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度为0，另一端绝热。0lx002xxtuau解：解：第一类边界条件第二类边界条件00uut0),(0 xtxu0),(lxxtxu0u现在学习的是第二十页，共26页)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()( tTlX分离变量：分离变量：0)0(X和和0)( lX现在学习的是第二十一页，共26页; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)( lXxCxCxXsincos)(2101C0cos2lC和2222224) 12()21(lklk3 , 2 , 1 , 0klxkCxX2) 12(sin)(2现在学习的是第二十二页，共26页; 04) 12(2222TlakT;4) 12(exp)(2222ltakCtT;2) 12(sin4) 12(exp),(22220lxkltakCtxukk现在学习的是第二十三页，共26页;2) 12(sin)0 ,(00