全同粒子体系的波函数泡利原

1、7-6 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数 泡利原理泡利原理 一、两个全同粒子体系的波函数一、两个全同粒子体系的波函数二、二、N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数三、忽略三、忽略L-S耦合情况下体系的波函数耦合情况下体系的波函数7-6 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数 泡利原理泡利原理 一、两个全同粒子体系的波函数一、两个全同粒子体系的波函数 2222112212010212()()(,)()()(,)22HU qU qW q qHqHqW q q ),(),(2121qqEqqH 1 1单体近似单体近似 不考虑二粒子的相互作用，即忽略不考虑二粒子的相互作用，即忽略 ，

2、则哈密顿写成，则哈密顿写成 ),(21qqW)()(2010qHqHH本征方程本征方程 1201021212( ,)()() ( ,)( ,)Hq qHqHqq qEq q 令令 )()(),(2121qqqq 设第一个粒子处于第设第一个粒子处于第i态，第二个粒子处于第态，第二个粒子处于第j态，有态，有 )()(),(2121qqqqji且且 )()()(1110qqqHiii)()()(2220qqqHjjj（不显含时间）（不显含时间） 则则 12010212(,)()()()()ijHq qHqHqqq12()()()ijijqq ()ij能量本征值能量本征值 jiE 若交换两个粒子，则若

3、交换两个粒子，则 )()(),(2112qqqqij010212()()()()jiHHqHqqq12()()()jijiqq ()ij能量本征值仍为能量本征值仍为 jiE 交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换简并交换简并。 下面讨论体系的波函数。下面讨论体系的波函数。 前面讲过，前面讲过，全同粒子体系的波函数必须有确定对称性全同粒子体系的波函数必须有确定对称性。 （1 1）当）当 时，时，ji )()(),(2121qqqqii （2 2）当）当 时，时，ij1212(,)()()ijq qqq)()(),(2112qqqqij它们既不对称

4、也不反对称，因而不满足全同性原理的要求。它们既不对称也不反对称，因而不满足全同性原理的要求。 是对称函数；是对称函数； 构造构造 )()()()(211221qqqqjijiS)()()()(211221qqqqjijiA显然显然 ),(),(1221qqqqSS),(),(1221qqqqAA即即 是对称波函数，是对称波函数， 是反对称波函数。是反对称波函数。 SA 它们都是它们都是 的本征函数，对应本征值的本征函数，对应本征值 。 HjiE 和和 还可写成还可写成 SAPjiSqqPqq)()(21),(2121PjiPAqqPqq)()() 1(21),(2121其中其中 表示两个粒子在

5、单态中的某种排列，表示两个粒子在单态中的某种排列， 代表对粒子不同排列代表对粒子不同排列的求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列。的求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列。 PP)()()()(21),(212121qqqqqqjjiiAA 还可表示成行列式的形式还可表示成行列式的形式 0A 若若 ，即，即 中有两种排列相同或行列式中两行相同，则中有两种排列相同或行列式中两行相同，则ji A于是得到于是得到泡利原理泡利原理： 费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态。费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态。 2 2非单体近似非单体近似 12( ,)0W

6、 q q1212( ,)( ) ()q qqq),(),(2121qqEqqH211212 (,)( ,)Hq qHPq q1212(,)P Hq q1212(,)EPq q21(,)Eq q仍然存在着能量的交换简并。仍然存在着能量的交换简并。 对称化的波函数对称化的波函数 12211( ,)(,)2Sq qq q 12211(,)(,)2Aq qq q 或或 PSqqP),(2121PPAqqP),() 1(2121泡利原理仍成立，但泡利原理仍成立，但 不能写成行列式的形式。不能写成行列式的形式。 A二、二、N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数 忽略粒子之间的相互作用，并设单体哈密

7、顿不含有时间，则体忽略粒子之间的相互作用，并设单体哈密顿不含有时间，则体系的哈密顿为系的哈密顿为 NiiNqHqHqHqHH1002010)()(.)()()()()(21Nkjiqqq且且 )()()(1110qqqHiii)()()(2220qqqHjjj)()()(0NkkNkNqqqH有有 )(kjiHijkE 交换任意两个粒子，体系能量本征值不变，即存在交换简并。交换任意两个粒子，体系能量本征值不变，即存在交换简并。 1211112!llnnnNN nN nnlllNNC CCn nnn 玻色子体系波函数玻色子体系波函数 )()()(),.,(2121NkPjiNSqqqPCqqq

8、费米子体系波函数费米子体系波函数 1212(,.)( 1)()()()PANijkNPq qqCPqqq 对对N个粒子组成的玻色子体系，若单粒子态的个数小于粒子数，个粒子组成的玻色子体系，若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有譬如有n1 1个粒子处于个粒子处于i态，态，n2个粒子处于个粒子处于j态，态，nl个粒子处于个粒子处于k态，态，且且N= =n1 1+ +n2 2+nl，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数（简并度）等于下列组合数所有可能排列的总项数（简并度）等于下列组合数1212!(,.)()()()!llSNijkNPn

9、q qqPqqqN 玻色子体系波函数玻色子体系波函数 !N 泡利原理泡利原理：全同费米子体系中不能有两个或两个以上的粒子处全同费米子体系中不能有两个或两个以上的粒子处于相同的状态于相同的状态。 泡利原理是全同性原理的推论。全同性原理比泡利原理广泛得泡利原理是全同性原理的推论。全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用于费米子体系，而且适用于玻色子体系。多，它不仅适用于费米子体系，而且适用于玻色子体系。 12121212()().()()().()1(,.).!()().()iiiNjjjNANkkkNqqqqqqq qqNqqq 对对N个个粒子粒子组成的费米子体系，体系的波函数应为反对成波函组成

10、的费米子体系，体系的波函数应为反对成波函数，所以组合中的总项数（简并度）为数，所以组合中的总项数（简并度）为 费米子体系波函数费米子体系波函数 三、忽略三、忽略L-S耦合情况下体系的波函数耦合情况下体系的波函数 单体近似下，体系的波函数单体近似下，体系的波函数 )()()(21Nkjiqqq 若忽略若忽略 耦合，单体波函数可写为耦合，单体波函数可写为 LS111()( )()iiizqrS222()( )()jjjzqrS()()()kNkNkNzqrS则体系的波函数可改写为则体系的波函数可改写为 11221212( ,.,)( ,.,) (,.,)zzNNzNzzNzr Sr SrSr rr

11、SSS 对称反对称反对称对称, 费米子系统，费米子系统， 反对称反对称 玻色子系统，玻色子系统， 对称对称 反对称反对称对称对称, 例例1 1以两个全同粒子体系为例，写出体系的波函数。以两个全同粒子体系为例，写出体系的波函数。 解：解： 费米子体系费米子体系 12121212( ,)(,)( ,)(,)ASzzASAzzr rssr rss 玻色子体系玻色子体系 12121212( ,)(,)( ,)(,)AAzzSSSzzr rssr rss 例例2 2设有三个无相互作用的全同粒子组成的玻色系统，每一设有三个无相互作用的全同粒子组成的玻色系统，每一个粒子均可以处于三个单粒子态个粒子均可以处于

12、三个单粒子态 中的任何一个态，求体系中的任何一个态，求体系的可能状态数及每一状态对应的波函数。的可能状态数及每一状态对应的波函数。 123, 解：解： （1 1）体系的可能状态数）体系的可能状态数 粒子数粒子数 3N单粒子态数单粒子态数 3可能状态数为可能状态数为10，如图所示。，如图所示。 （2 2）波函数表示）波函数表示 （a a）每一状态上有一个粒子。这种情况只有一个态，波函数）每一状态上有一个粒子。这种情况只有一个态，波函数的项数的项数 3!61! 1! 1! 111S 1122331123321()()()()()()6qqqqqq122133122331()()()()()()qqqqqq132132132231()()()()()()qqqqqq （b b）某一个状态上有）某一个状态上有2个粒子，另一粒子处于其它态。这种情个粒子，另一粒子处于其它态。这种情况共况共6个态，对应的波函数分别为个态，对应的波函数分别为 210201021120102012210S 1112231213211311221()()()()()()()()()3qqqqqqqqq其它波函数可同理写出。其它波函数可同理写出。 波函数的项数波函数的项数 3!32! 1! 如果是费米子体系，则如果