第六章--方差分析与正交试验设计

1、精品第六章方差分析与正交试验设计在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中， 需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。6.1单因素方差分析仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著

2、影响，可以让A 取 r 个水平： A1 , A2 , Ar ，在水平 Ai 下进行 ni 次试验，称为 单因素试验 ，试验结果观测数据xij 列于下表：序号12ni水平A1x11x12x1n1A2x21x22x2 n2Arxr1xr 2xrn r并设在水平 A下的数据 xi1, xi 2,x来自总体 Xi N( i ,2)， (i 1,2, ,r ) 。iin i检验如下假设：H 0 :12r ，H 1 :1 ,2 ,r 不全相等检验统计量为-可编辑 -精品rni其中 SA(xii1 j 1rniSe( xiji 1j1rni ， xi这里 ni1FSA /( r1)Se /(n F ( r

3、1, n r )r )rx) 2ni (xix) 2 ，称为组间差平方和。i1xi )2 ，称为组内差平方和。1ni1 rninixij ， xn i 1xij 。j 1j 1对于给定的显著性水平(0.01或 0.05) ，如果 FF (r1,nr ) ，则拒绝 H 0 ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：xijaxij再进行计算，不会影响F 值的大小。b例 1 下表给出在30 只小白鼠身上接种三种不同菌型的伤寒病菌后的存活日数：菌型接种后的存活日数23324772545685107126671166795106310试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均

4、存活日数影响是否显著？解： r3, n110, n29,n311, n30x14, x27.22, x37.27, x6.16rnix) 2rx ) 2SA(xini ( xi70.43 ，i 1 j1i1-可编辑 -精品rn i( xij xi )2Se137.74i 1j1F 6.90F0.01 (2, 27)5.49 ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。6.2双因素方差分析同 时 考 察两 个 因 素 A 和 B 对 试 验指 标 有 无 显 著影 响 ， 可 以 让 A 取 r 个 水 平 ：A1 , A2 , , Ar ，让 B 取 s 个水平： B1

5、, B2 , Bs ，在各种水平配合( Ai , B j ) 下进行试验，称为 双因素试验。一、无交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合( Ai , Bj ) 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据 xij 列于下表：因素 BB1B2Bs因素 AA1x11x12x1sA2x21x22x2 sArxr1xr 2xrs并 设 在 水 平 配 合 ( Ai , B j ) 下 的 数 据 xij来 自 总 体 X ij N ( ij ,2 ) ，(i 1,2, , r ; j 1,2, s) 。检验如下假设：H 0 A :1?2?r ? ，H 1 A :1? ,2? ,r ?

6、不全相等-可编辑 -精品H 0 B :?1?2?r ，H 1 B :?1 ,?2 ,?r 不全相等分别用如下检验统计量FASA /(r1) F (r 1, (r 1)( s 1)/( r 1)( sSe1)FBSB /(s1) F (s 1,( r 1)(s 1)/(r 1)( sSe1)rsx) 2rx) 2 ，称为 A 的组间差平方和。其中 SA(xi ?s( xi ?i1j 1i1rssSB( x? jx) 2r ( x? jx) 2 ，称为 B 的组间差平方和。i1j1j1rsx) 2 ，称为组内差平方和。Se( xijxi?x? ji1j11 s1这里 xi?xij ， x? js

7、j 1rr1rsxij ， xrsxij 。i 1i 1j 1对于给定的显著性水平(0.01或 0.05) ，如果 F AF (r1,( r1)( s 1) ，则拒绝 H 0 A ，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果FBF ( s1,( r1)( s 1) ，则拒绝 H 0B ，即认为因素B 对试验指标有显著影响。实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：xijaxijb再进行计算，不会影响FA , FB 值的大小。例 1 为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3 种不同品种的仔猪各选3 头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（A 代表饲料，B 代表品种）：因素 B

8、B1B2B3因素 A-可编辑 -精品A1515645A2535749A3525847试分析不同饲料与不同品种对仔猪的生长有无显著影响？解：所有数据减去50 后计算结果如下：r3, s 3x1?0.66,x2?3, x3?2.33x?1 2, x?2 7, x?33, x 2SA8.66, SB150, Se3.33F A5.20F0.05 (2, 4)6.94 ，说明不同饲料对仔猪的生长无显著影响。FB90.0F0.01 (2, 4)18.0 ，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。二、有交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合( Ai , B j ) 下重复作 m (m2) 次试验，称为有

9、交互作用的双因素试验，试验结果观测数据xijk 列于下表：因素 B试验结果B1B2BsAx111x112x11mx121x122x12mx1s1 x1 s2x1sm1因A2x211x212x21mx221x222x22mx2 s1x2s2x2 sm素AArxr 11xr 12xr 1mxr 21xr 22xr 2mxrs1xrs 2xrsm并 设 在 水 平 配 合 ( Ai, B j )下 的 数 据 xij 1 , xij 2 , xijm 来 自 总 体 X ij N ( ij ,2 ) ，(i 1,2, r ; j1,2, s) 。检验如下假设：-可编辑 -精品H0A :1?2?r ?

10、H0B :?1?2?rH0AB :ij 全相等，分别用如下检验统计量，H1A : 1?, 2?,，H1B :?1, ?2,H1AB :ij 不全相等r ?r不全相等不全相等FASA /(r1)F (r1, rs (m 1)Se / rs (m1)FBSB /( s1) F (s1, rs( m 1)Se/ rs(m1)FABSAB /( r1)( s1) F (r1)(s1), rs (m 1)Se / rs( m1)rsmx) 2rx) 2 ，称为 A 的组间差平方和。其中 SA(xi?sm( xi?i1j1k 1i1rsmx) 2sx) 2 ，称为 B 的组间差平方和。SB(x? jrm(

11、 x? ji1j1k 1j1rsmx)2rsxi ? x? j x )2 ，称为 ASAB( xijxi?x? jm( xijB 的i1j1 k 1i 1j 1组间差平方和。rsmxij )2Se(xijk，称为组内差平方和。i1j1k 11sm1xijk这里 xi?， x? jsm j1 k1rm1rsmxijk 。xrsm i1j1k 1rm1mxijk， xijxijk ，i 1 k 1m k 1对于给定的显著性水平(0.01或 0.05) ，如果 FAF (r1, rs (m1) ，则拒绝 H 0 A ，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果FBF (s1, rs (m1) ，则拒绝

12、 H 0 B ，即认为因素 B 对试验指标有显著影响；如果F ABF (r1)( s1), rs( m1) ，则拒绝 H 0 AB ，即认为因素A 与因素 B 之间的交互效应对试验指标有显著影响。-可编辑 -精品实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：xijkaxijkb再进行计算，不会影响FA , FB , FAB 值的大小。例 2 考察合成纤维弹性影响因素为拉伸倍数A 与收缩率 B 。 A 与 B 各取 4 个水平， 每个水平配合下做2 次试验，结果数据见下表：因素 B试验结果B1（0）B2 （4）B3 （8）B4（12 ）A1 （460 ）7173737576737573因A2 （520

13、 ）7273767479777372素A3 （580 ）7573787774757071AA4 （640 ）7773747474736969试分析因素 A 、因素 B 对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素A 与因素 B 之间的交互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？解： r4, s4, m2SA8.86, SB69.66, SAB 80.20, Se 21.50F A2.95F0 .05 (3, 16)3.24 ，说明拉伸倍数A 对合成纤维弹性无显著影响。FB23.22F0.01 (3, 16)5.29 ，说明收缩率B 对合成纤维弹性的影响高度显著。F AB8.91F0.01 (9, 16)3

14、.78 ，说明因素 A与因素 B 之间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。6.3正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两-可编辑 -精品个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。例如，考虑7 个因素的试验，每个因素有6 个水平， 若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做 67279936 次试验，这是根本不可能的！为了减少试验次数， 希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。正交试验设计是利用一套现成的规格化的表正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。正交表 1944 年起源于美国。 第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著