信号处理与系统分析

1、本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nznxnh*nhnxny 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zHzzkhzzkhknxkhnynkknkknk我们可以看到，如果进行我们可以看到，如果进行kkzkhzH)(这样的变换，有可能简化离散时间系统的分析。这样的变换，有可能简化离散时间系统的分析。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nx对于一个离散时间序列对于一个离散时间序列，我们定义它的，我们定义它的z变换变换(z-Transform)nnznxzX)()(zXnx

2、Z)(nxZzXjrez 在在z变换里面，为了分析方便，我们取复数的极坐标形式，即变换里面，为了分析方便，我们取复数的极坐标形式，即 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(| )(nxFeXzXjezjnnjenxnnjnernxzX)(可见，离散时间傅里叶变换可以通过可见，离散时间傅里叶变换可以通过z平面上半径为平面上半径为1的单位的单位园上的园上的z变换的确定。变换的确定。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心无穷级数必然存在收敛问题。无穷级数必然存在收敛问题。 nnx| |nnrnx|作为无穷级数的作为无穷级数的z变换存在收敛问题和收敛域，其

3、收敛与否只变换存在收敛问题和收敛域，其收敛与否只与在与在z的模有关。说明变换的收敛域在复平面上是环形的。的模有关。说明变换的收敛域在复平面上是环形的。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题10.1 求信号求信号nuanxn的的z变换。变换。 解解： 傅里叶变换只有在傅里叶变换只有在1|a时才收敛。时才收敛。 010)()(nnnnnnnazzaznxzX11azaz azzazzX111)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心Re ImaZ平面平面本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nunx111)(1zzzzX1z本书由

4、天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题10.2 求信号求信号的的z变换。变换。 解解： 1nuanxn111)()(nnnnnnnzazaznxzX11zaaz azzzazazX111)(111az本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心Re ImaZ平面平面本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题例题10.3 求信号求信号的的z变换。变换。 解解： 321nununxnn00332)(nnnnnnnnzzznxzX11313211)(zzzX本书由天疯天疯上传于世界工厂网

5、世界工厂网-下载中心下载中心)31)(21 (32)(111zzzzX121z2z131z3z3z本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心Re Im32 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nnznxzX)(这个无穷级数也许在某些这个无穷级数也许在某些z点上收敛，在某些点上收敛，在某些z点上不收敛。点上不收敛。 z变换在变换在z平面上的那些收敛的点组成的区域，称为该平面上的那些收敛的点组成的区域，称为该z变换的变换的收敛域收敛域(ROC Region of Convergence)。我们。我们一般使用平面的阴影部分表示收敛域。本节我们讨论一般使用平面的阴

6、影部分表示收敛域。本节我们讨论收敛域及其性质。收敛域及其性质。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(njrnxFreXzXnnjnernxnnrnx| |ROCerj00ROCerj0:本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心下面我们先引入一些概念：下面我们先引入一些概念：有限时宽有限时宽 0| :|:nxNnN0| :|:nxNnN右边信号右边信号 0| :|:nxNnN左边信号左边信号 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心12)(NNnnznxzX01N0znz在零处不收敛在零处不收敛nz在无穷大处不收敛在无穷大处不收敛0

7、2Nz本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心n 1 n 1 n例题例题10.4 分析信号分析信号的的z变换。变换。解解： 1Zn 2RROC 1 1znZ2 RROCznZ 102 RROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心010rrROCrROCzrzz0:例题例题10.1就是例子就是例子非因果的右边序列的非因果的右边序列的z变换的收敛域不包含变换的收敛域不包含无穷大无穷大。ROCr 010Nnnrnxnnrrn01:0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心01N11Nnnrnx10Nnnrnx01N11Nnnrnx111Nnn

8、rnx01nnrnx00nnrnxMROCr 1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ROCzrzz00:例题例题10.2就是例子就是例子左边序列的左边序列的z变换的收敛域不包含变换的收敛域不包含零零。ROCr 00)(, 0NxN本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nx0rz 0rz 性质性质6：如果：如果是双边序列，而且园是双边序列，而且园属于收敛域，则收敛域为包含属于收敛域，则收敛域为包含的圆环。的圆环。 0nanx1, 0Nnotherwisea例题例题10.6 求信号求信号 的的z变换，其中变换，其中为大于零的实数。为大于零的实数。 解解：

9、10)(NnnnzazX111)(1azazNazazzzXNNN11)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0NNaz12kjekNjaez2k=0,N-1 o o o o o o o o o o o o o o o o a 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nnx0 1nununxnn例题例题10.7 求信号求信号解：解：将信号分解为左边信号和右边信号，将信号分解为左边信号和右边信号，的的z变换。变换。111znunz1111 1znun1z本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)1)(1 ()/1(1111)(111111

10、1zzzzzzX)(112zzz1z)(zX两个收敛域没有重叠，两个收敛域没有重叠，不收敛；不收敛；1两个收敛域的重叠区域为一个圆环两个收敛域的重叠区域为一个圆环. 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nx性质性质7 如果如果的的z变换变换是有理的，那么它的是有理的，那么它的ROC就被极点所界就被极点所界定，或者延伸至无限远。定，或者延伸至无限远。 )21)(1 (1)(11zzzX例题例题10.8 分析分析z变换变换解解： 的收敛域的情况。的收敛域的情况。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中

11、心)()(njrnxFreXzX取一个固定的取一个固定的rROCrezj2)(21dereXrnxnjjn2)(21drereXnxnjj20jrez以以r为半径做圆周运动。为半径做圆周运动。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心dzzzXjnxn 1)(21jzddjredzj这就是这就是z反变换式反变换式. 在工程上大量应用的在工程上大量应用的z变换都是变换都是有理有理z变换变换(Rational z-Transform)，也就是可以用有理函数来表达的，也就是可以用有理函数来表达的z变换。变换。所谓所谓有理函数有理函数(rational function)，就是能够表

12、示为两，就是能够表示为两个多项式之比的函数。本书我们将局限于有理个多项式之比的函数。本书我们将局限于有理z变换，变换，并且利用一些现有的分析结论来计算并且利用一些现有的分析结论来计算z反变换。反变换。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心假设一个有理函数，有如下形式：假设一个有理函数，有如下形式：1.)(10111vavabvbvbvGnnnnrvvvbvbvbvGrnn)1.()1 ()1 (.)(11211011121rikkiikivBvG111)1 ()(ikB被称为被称为留数留数（Residue）。）。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心i

13、iiiiGddkBikkkiiik|)()1()()!(11对于只存在一阶极点的情况，上面两式简化为：对于只存在一阶极点的情况，上面两式简化为： riiivBvG11)1 ()(iGBii|)()1(1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)31)(21 (1)(111zzzzX3z解解： 113121)(zBzAzX13212|3112/1111zzzA22313|2113/1111zzzB本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心11312211)(zzzX)3(22nununxnn2|z3|z本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心3

14、2 z例题例题10.10 如果例题如果例题10.9的收敛域改为的收敛域改为 求其求其z反变换。反变换。解解： 1322nununxnn2|z3|z本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心2z例题例题10.11 如果例题如果例题10.9的收敛域改为的收敛域改为 求其求其z反变换。反变换。解解： 2|z3|z 132 12nununxnn本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nnznxzX)()(zXnx是一个幂级数。如果我们能够将解析式是一个幂级数。如果我们能够将解析式幂级数的系数就是幂级数的系数就是进行幂级数展开，进行幂级数展开，解解： 13246)(zz

15、zzXnnznxzzzzX246)(13 12 1436nnnnnx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心111)(azzX例题例题10.13 求求z变换变换的反变换。的反变换。az 11az 右边序列右边序列 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心.14433221zazazaaz11 az1 11 az1az221zaaz 22za3322zaza 33za nuanxn本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心210833. 05833. 01zz0833. 05833. 02zz本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下

16、载中心)().(2()(1 (Naxaxax) 1(.)2() 1 (1NbxbxbNNa=roots(b) 和和 b=poly(a) 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心对于例题对于例题10.8，Matlab的结果如下：的结果如下：在一阶极点的情况下：在一阶极点的情况下：21110833. 05833. 01)311)(411 (zzzz函数函数residuez可以求一个有理可以求一个有理z变换的部分分式展开，变换的部分分式展开，NMzNazaazMbzbb) 1(.)2() 1 ()(.)2() 1 (111111)(1)(.)2(1)2() 1 (1) 1 (zNP

17、NRzPRzPRLzLKzKK)(.)2() 1 (1R P K=residuez(b,a) 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心对于例题对于例题10.8我们用我们用Matlab进行计算进行计算 110.333611.99600.249711.0040)(zzzX1131124111)(zzzX比较比较本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心对于多阶极点的情况，对于多阶极点的情况，P(j) = . = P(j+m-1)，在展开式里面，在展开式里面，有如下形式：有如下形式： mzjPmjRzjPjRzjPjR)(1 () 1(.)(1 () 1()(1)(

18、1211下面我们来考虑：下面我们来考虑：21121)3 . 01)(5 . 01 ()5 . 01 (1)(zzzzH2111211)3 . 01 (8437. 03 . 017461. 45 . 010977. 0)5 . 01 (125. 35 . 018125. 7)(zzzzzzH本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(11zXnxZ1RROC )(22zXnxZ2RROC )()(2121zbXzaXnbxnaxZ210RRRROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心1nuanxna

19、zR:1 12nuanxnazR:221nnxnxnx收敛域为全平面收敛域为全平面 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zXnxZxRROC )(0000zXzzznxznnxnnnnnnnnn)(00zXznnxnZ0，可能xRROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心序列向左边移动，可能会消除序列向左边移动，可能会消除0这个极点，但这个极点，但是也可能会加上无穷大这个极点；是也可能会加上无穷大这个极点； 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zXnxZxRROC )()()(000zeXzenxznxezXjnnjnn

20、nj)(00zeXnxejZnjxRROC 0nxenj相当于相当于调制调制 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心下面从几何的观点，来考虑一下复变函数下面从几何的观点，来考虑一下复变函数)(0zeXj的形状。的形状。)()()(11000zXzeeXzeXjjj1zz )()(1zXzX)(0zeXj)(zX0复平面上的曲面复平面上的曲面是曲面是曲面逆时针旋转角度逆时针旋转角度而形成的。而形成的。 以原点为中心以原点为中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心10zej1z0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(000zzX

21、zznxznxznnnnn)(00zzXnxzZn:|1010zzzRzzRzROCxx本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)1()(000zerXzzXj)(0zzX)(zX是由是由旋转再加尺度变化，而形成的。旋转再加尺度变化，而形成的。 下面是收敛域证明：下面是收敛域证明： 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心1、充分性、充分性xRzz021021:zzzRzxnnrnx1nnnnnnnnnrnxrrnxzrrnxz1100100)( ROCzzz1022、必要性证明，省略。、必要性证明，省略。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下

22、载中心)(zXnxZxRROC )()(11zXznxznxnnnn)1(zXnxZ1|12xxRzRzRROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心xRz121211:zzRzxnnrnx1nnnnrnxrnx11)1( ROCzz12/12、必要性证明，省略。、必要性证明，省略。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心xRxR1概念上，时间反转右（左）边序概念上，时间反转右（左）边序列变成左（右）边序列，相应地，列变成左（右）边序列，相应地，信号的变换的收敛域信号的变换的收敛域ROC从外从外（内）园变成内（外）园。（内）园变成内（外）园。 本书由天疯

23、天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心/0knxknxkmnkmnnnkznxmkmkzkmxmkmzkkmx)(kzX本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(kZkzXnx:|/111/1kkzzRzzR本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zXnxZxRROC )(*zXnxZ实序列实序列 )()(*zXzX)()(*zXzX实序列的实序列的z变换的零极点是共轭出现的。变换的零极点是共轭出现的。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(11zXnxZ1RROC )(22zXnxZ2RROC nnznxnx*21n

24、knknxkxz21knnzknxkx21本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kknnznxkx21)()()(2121zXzXzXzkxkk)()(*2121zXzXnxnxZ21RRROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心相乘可能对消一部分极点。例如：相乘可能对消一部分极点。例如： 11nnx 12nnx*21nnxnx收敛域的证明如下：收敛域的证明如下： 2111RRerzjMrnxnn11Nrnxnn12本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nnrnxnx121* nnkrknxkx121 nnkrknxkx121nnk

25、rknxkx121nknkrnxkx121本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心Mrkxkk11 MN ROCz 1本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心nkkxnw解：解： *nunxkxnwnk)(11)(1zXzzWxRROC单位圆外部单位圆外部 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zXnxZxRROC nnznxzX)(两边对两边对z求导求导 dzzdXznnxZ)(xRROC 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)1log()(1azzXaz 例题例题10.16 求求的反变换的反变换 解解： 将拉

26、氏变换式往这我们熟悉的形式将拉氏变换式往这我们熟悉的形式111 az靠。靠。11211) 1(11)(azazzaazzdzzdXznnxZ11 1) 1(azanxnZ本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1)(1nuaannxn 1)(nunanxn)( 1) 1(nuaanxnn本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心az 例题例题10.17 求求的反变换的反变换 解解： 211)1 ()(azazzX111aznuaZn211212)1 ()1 ()()(1(azazazzaznunaZnnunanxn本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下

27、载中心下载中心因果序列因果序列 0:0nxn)(lim0zXxz由定义式直接获得由定义式直接获得 分子的阶次小于分母的阶次。分子的阶次小于分母的阶次。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(zX)(zH)()()(zXzHzYnnznhzH)()(zH称为该称为该LTI系统的系统的系统函数系统函数或者或者转移函数转移函数。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心系统的频率响应系统的频率响应: )(jeHjezzH| )(下面我们讨论下面我们讨论LTI系统的性质与它的系统函数的关系。系统的性质与它的系统函数的关系。10.6.1 因果性因果性如果如果LTI系统是因果的，这就意味着其单位冲激响应必须是右系统是因果的，这就意味着其单位冲激响应必须是右边序列，也就意味着系统函数的收敛域边序列，也就意味着系统函数的收敛域ROC必须为园的外部。必须为园的外部。也就是说，系统函数的收敛域也就是说，系统函数的收敛域ROC为园的外部，只是系统因为园的外部，只是系统因果的果的必要条件必要条件，还不是充分条件。，还不是充分条件。 0:0nhnROC本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心因此，因此，分子多项式的阶次不能高于分母多项式的阶次也是分子