同济第三版-高数-(86) 第六节 微分法在几何上的应用

1、 用微分学方法研究用微分学方法研究空间空间曲线就是通过曲线切线来研曲线就是通过曲线切线来研究曲线性质。若将空间曲线看成是两曲面的交线，则曲究曲线性质。若将空间曲线看成是两曲面的交线，则曲线的切线和两曲面的切平面有着密切联系，而切平面的线的切线和两曲面的切平面有着密切联系，而切平面的性质与其法向量的性质密切相关。性质与其法向量的性质密切相关。 切平面在一点的法向量对应曲面上曲线在该点的法切平面在一点的法向量对应曲面上曲线在该点的法线。对空间曲线而言，其在一点的线。对空间曲线而言，其在一点的其法线有无穷多条，法线的全体其法线有无穷多条，法线的全体构成一个平面，这一平面称为曲构成一个平面，这一平面称

2、为曲线的法平面线的法平面，因此空间曲线的切因此空间曲线的切线和法平面有着密切联联系。线和法平面有着密切联联系。 对空间曲线一般可有两种看法，一种是将曲线看对空间曲线一般可有两种看法，一种是将曲线看成是动点运动形成的轨迹，由此导出的曲线方程是参数成是动点运动形成的轨迹，由此导出的曲线方程是参数方程；另一种看法是将曲线看成是曲面的交线，由此导方程；另一种看法是将曲线看成是曲面的交线，由此导出的曲线方程是曲线的一般式方程。出的曲线方程是曲线的一般式方程。 在曲线的一般式方程中，有一种特殊交面式方程对在曲线的一般式方程中，有一种特殊交面式方程对问题的讨论常有重要作用，这就是问题的讨论常有重要作用，这就

3、是曲线的投影式方程。投影式方程既曲线的投影式方程。投影式方程既可以用来确定曲线在坐标面上的投可以用来确定曲线在坐标面上的投影，又是将曲线一般式方程化为参影，又是将曲线一般式方程化为参数式的一种途径。数式的一种途径。 设有空间曲线设有空间曲线 ：x = ( t )，y = ( t )，z = ( t )， t , , . .考虑其切线及法平面方程考虑其切线及法平面方程。 为保证曲线的切线存在，曲线本身需是光滑的为保证曲线的切线存在，曲线本身需是光滑的。 由参数方程表出的曲线光滑的分析条件是由参数方程表出的曲线光滑的分析条件是 x = ( t ), y = ( t ), z = ( t )在各点具

4、有在各点具有连续导数连续导数。 曲线在一点的切线的直观定义是曲线在该点割线的曲线在一点的切线的直观定义是曲线在该点割线的极限位置极限位置。 据此可导出曲线的切线方程：据此可导出曲线的切线方程： 任取任取 M0 ，而，而 M 为为 上点上点 M0 邻近的一点。邻近的一点。 设点设点 M0 , , M 的的坐标分别为坐标分别为 M0( x 0, ,y0 , ,z 0 )，M ( x 0 + x, ,y0 + y , ,z 0 + z ). . 过点过点 M0 , ,M 作割线作割线 M0M ，则割线方向向量为，则割线方向向量为 则割线方程可写为：则割线方程可写为：xyO 0M Mxyz , , 0

5、00.yyzzxxxyz z T 设：设：M0 t 0 , , M t 0 + t，则当，则当 M M0 时，时， t 0， x, , y , , z 0 . 改写割线方程：改写割线方程： 故对割线方程取极限有故对割线方程取极限有则割线方程转化为切线方程则割线方程转化为切线方程 000 yyxxzzxyzttt . 000000limlimlimtttyyxxzzxyzttt , 000000 limlimlim.tttyzxtttttt , , 由由于于 由曲线由曲线 在点在点 M0 处切线方程知，其方向向量为处切线方程知，其方向向量为 ( t0 )= ( t 0 ), ( t 0 ), (

6、 t 0 ) ，于是当于是当 ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )不全为零时，不全为零时，由点由点 M0 可可确定一个垂直于切向的平确定一个垂直于切向的平量面量面 ，称此平面为曲线，称此平面为曲线 在点在点 M0 处的法平面。处的法平面。 法平面方程为法平面方程为 : : ( t 0 )( x- - x 0 )+ ( t 0 )( y- - y0 )+ ( t 0 )( z- - z 0 ).xyOz T 0 Tt0 即即,T 设有投影式给出的空间曲线设有投影式给出的空间曲线考虑其在一点考虑其在一点 M0 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程。 为利用已知结果进行讨论，先将曲线方程

7、化为参数为利用已知结果进行讨论，先将曲线方程化为参数式，取式，取 x 为参数，则为参数，则 的程可化为的程可化为 ：x = x，y = ( x )，z = ( x )， x a , ,b . . 若若 y = ( x )，z = ( x )在点在点 M0 处可导，则处可导，则 在点在点 M0 处存在切线及法平面。处存在切线及法平面。 0:0Fyx yxxa bGzx zx , , ,.或或 曲线曲线 在点在点 M0 处的切向量为处的切向量为 曲线曲线 在点在点 M0 处的切线及法平面方程分别为处的切线及法平面方程分别为000 1Tx0 xx ,00 dddd 1 x xyzxxTx0,或或.

8、.xyz 1yx : 2zx :例：例：求曲线求曲线 在点在点处的切线与法平面处的切线与法平面。 求切线与法平面关键是求出曲求切线与法平面关键是求出曲线的切向量。线的切向量。 对于曲线方程的不同形式，相应对于曲线方程的不同形式，相应切向量的形式几求法也有所不同。切向量的形式几求法也有所不同。 按曲线方程的不同表出形式，可按曲线方程的不同表出形式，可有两种方法计算本例切线与法平面。有两种方法计算本例切线与法平面。 222222xyzaxyax,. 0222aaaM, 将第二个方程代入第一个方程，消去变量将第二个方程代入第一个方程，消去变量 y 使曲使曲线线 化为投影式化为投影式 在此隐式投影式方

9、程两边对在此隐式投影式方程两边对 x 求导有求导有2222 22 :xyzaxyax ,.22 22 :axzaxyax ,. d20dd22dzazxyxyax,. dd2d2d2zaxzyaxxy ,.因此因此 求得曲线求得曲线 在点在点 M0 处的切向量为处的切向量为 曲线曲线 在点在点 M0 处的切线及法平面方程为处的切线及法平面方程为00 dd111 0.dd2MMyzTxx , , 1201 .2, 0222:012MaaazxyL,02 :0 .Mxza 0000 0000 2 21d2d2d02dxayaazMxayaazMazzxaxyyx ,. 为利用曲线参数式求解需先将为

10、利用曲线参数式求解需先将 化为参数式。化为参数式。 将第二个方程代入第一个方程，消去变量将第二个方程代入第一个方程，消去变量 y 使曲线使曲线 化为投影式化为投影式 化圆柱面方程为标准型有化圆柱面方程为标准型有 2222 22 :xyzaxyax ,. 22 22 :axzaxyax ,.axzaaaxy 2222 2:22 ,.axzaaaxy 2222 2:22 ,. 观察投影式方程选择参数变换：观察投影式方程选择参数变换： 令：令： 代入代入 的投影式方程解得的投影式方程解得 若若 a 0 ，则可取曲线则可取曲线 的参数方程为的参数方程为 由由 的的参数方程参数方程求点求点 M0 对应的

11、参数值对应的参数值 t 0aaxt cos22,attytzaaxaa222222221cossinsin222, . :sinsin1cos222aatxytzat ,. 02t .aaaM 0222, 由参数方程易由参数方程易求得求得 在点在点 M0 处的切向量为处的切向量为 求得曲线求得曲线 在点在点 M0 处的切线及法平面方程为处的切线及法平面方程为0 0 ttttMTxyz , 21cossinsin222taattta , 2sincoscos2222taaattt , 220201 .222aaa , , , 0222:012MaaazxyL,02 :0 .Mxza 作空间曲线图

12、形一般是较为困难的，其基本方法是作空间曲线图形一般是较为困难的，其基本方法是由所论曲线在各的投影曲线想象空间曲线的图形，再结由所论曲线在各的投影曲线想象空间曲线的图形，再结合相应的投影柱面作出空间曲线的图形。合相应的投影柱面作出空间曲线的图形。 作空间曲线图形可分为三个步骤：作空间曲线图形可分为三个步骤： 由给定曲线由给定曲线 的方程写出其在三个坐标面的投影曲的方程写出其在三个坐标面的投影曲 线线 xy , , yz , , zx 的方程的方程。 由投影曲线由投影曲线 xy , , yz , , zx 的方程想象相应的投影柱的方程想象相应的投影柱 面面 xy , , yz , , zx 的图形

13、的图形。 由投影柱面由投影柱面 xy , , yz , , zx 的图形结合相贯线法作出的图形结合相贯线法作出 空间曲线空间曲线 的图形的图形。例例：作曲线作曲线 的图形的图形。 由由 的方程可直接写出其在的方程可直接写出其在 xOy 平面上的平面上的投影为投影为 由此可知，曲线由此可知，曲线 在在 xOy 平面上的投影平面上的投影 xy 为该平为该平面上圆心在点面上圆心在点( a/ /2, ,0 )，半径为，半径为 a / /2 的圆周。的圆周。2222 22 :xyzaxyax ,. 222 :20 xyaxyaz ,.2222 22 :xyzaxyax ,. 为求曲线为求曲线 在在 xO

14、z 平面上的投影，只需设法消去平面上的投影，只需设法消去方程中的变量方程中的变量 y . . 将第二个方程将第二个方程 x 2 + y 2 = a x 带代入第一个方程得曲带代入第一个方程得曲线线 的的投影式投影式 由此可知，由此可知，曲线曲线 在在 xOz 平面上的投影平面上的投影 xz 为该为该平面上顶点在点平面上顶点在点( a , ,0 )，以，以 x 轴为对称轴的抛物线。轴为对称轴的抛物线。 2222 22 :xyzaxyax ,. 22 :0 xzzaaxa xay ,. 2222 22 :xyzaxyax ,. 为求曲线为求曲线 在在 yOz 平面上的投影，只需设法消去平面上的投影

15、，只需设法消去方程中的变量方程中的变量 x . . 由第二个方程解得由第二个方程解得 代入第代入第一个方程并一个方程并化简得化简得 y 2 = a 2 z 2 - - z 4 . . 求得求得曲线曲线 在在 yOz 平面上的投影平面上的投影 yz 为为 2242xaay, 22 :0yzyzazx ,.Oyzx 222222:xyzaxyax ,.a 与讨论曲线切线与法平面问题相类似，曲面的切平与讨论曲线切线与法平面问题相类似，曲面的切平面与法线是考察多元函数线性化问题的基本工具。面与法线是考察多元函数线性化问题的基本工具。 然而，与研究曲线的切线问题不同的是，什么是曲然而，与研究曲线的切线问

16、题不同的是，什么是曲面的切平面并不是一个明确的概念。为讨论这一问题首面的切平面并不是一个明确的概念。为讨论这一问题首先需弄清究竟什么是曲面的切平面。先需弄清究竟什么是曲面的切平面。 为此需解决三个问题：为此需解决三个问题： 如何定义曲面在一点的切平面；如何定义曲面在一点的切平面； 曲面存在切平面的条件；曲面存在切平面的条件； 曲面切平面及法线的方程。曲面切平面及法线的方程。 设三元设三元方程方程 F( x , ,y , ,z )= 0 满足条件满足条件 Fx( x 0 , ,y0 , ,z 0 ),Fy( x 0 , ,y0 , ,z 0 ),Fz( x 0 , ,y0 , ,z 0 ) 由上

17、讨论知，该三元方程由上讨论知，该三元方程确定了确定了一张曲面片一张曲面片 考察考察曲面曲面 上一点上一点 M0( x0 , ,y0 , ,z0 )处的处的切平面及法线的方程。切平面及法线的方程。 .0 先考虑曲面先考虑曲面 在一点在一点 M0 处处切平面的定义问题切平面的定义问题。 由平面方程的讨论知，为确定曲面由平面方程的讨论知，为确定曲面 在一点在一点 M0 处处的切平面，关键在于确定切平面的法向量的切平面，关键在于确定切平面的法向量考察曲面考察曲面法向量需满足的条件法向量需满足的条件： 若将曲面可看成是曲线按某种方式运动所形成的图若将曲面可看成是曲线按某种方式运动所形成的图形，则形，则

18、在点在点 M0 处的切平面必通过处的切平面必通过 上过点上过点 M0 的任的任一曲线一曲线 在点在点 M0 处的切线。因此处的切线。因此 在点在点 M0 处的法向处的法向 必垂直于必垂直于 在在 M0 处处切线切线的的方向向量方向向量即有即有0 .Mn0 Mn量量0 .MT 曲面曲面 上上的曲线的曲线 在一点处的在一点处的切向量的性质切向量的性质: : 设设 为为 : : F( x , ,y , ,z )= 0 上过点上过点 M0 的任一曲线，的任一曲线，其参数方程为其参数方程为 ：x = ( t )，y = ( t )，z = ( t ). .又设又设 M0 t 0 ，则，则 在在 M0 处

19、的切向量为处的切向量为 = ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 ) . . 上任一点上任一点 M 处的坐标为处的坐标为 M( t )=( ( t ), , ( t ), , ( t ). . 由于由于 在曲面在曲面 上，故有上，故有 F( M0 )= F ( t ), , ( t ), , ( t )= 0 . . 为考察切向量的性质，在上式两边对为考察切向量的性质，在上式两边对 t 求全导数有求全导数有0 MT ddFtttt, 0 .xyzFFFtttMMM 由于由于 M0 t 0 ，故对应于故对应于 t = t 0 有有Fx( x , ,y , ,z )t 0 = Fx( (

20、 t 0), ( t 0), ( t 0)= Fx( M0 ), ,Fy( x , ,y , ,z )t 0 = Fy( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )= Fy( M0 ), ,Fz( x , ,y , ,z )t 0 = Fz( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )= Fz( M0 ). . 将将 t = t 0 代入以上全导数关系式有代入以上全导数关系式有 0 xyzt tFFFtttMMM000000 0 xyzMMMFFFttt ,. 结果分析：结果分析： 对给定曲面对给定曲面 而言而言，( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 )

21、为曲面为曲面 上一点上一点 M0 处的一个定向量。处的一个定向量。 由曲线由曲线 的任意性知的任意性知，( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )为曲面为曲面 上一点上一点 M0 处的一个变动的切向量。处的一个变动的切向量。 以上导出的关系式以上导出的关系式( Fx(M0), ,Fy(M0), ,Fz(M0) ( (t 0), ( 0), (t 0)= 0 表示表示 上过点上过点 M0 的任一曲线的任一曲线 在点在点 M0 处的处的切线均与切线均与一个定向量正交，从而一个定向量正交，从而 上过点上过点 M0 的所有曲线在点的所有曲线在点 M0 处的切线均在同一平面上，而该平面的法向

22、量为处的切线均在同一平面上，而该平面的法向量为 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). .0 MnzyOx 曲面曲面 上点一上点一 M0 处的切平面就是处的切平面就是 上过点上过点 M0 的的所有曲线在点所有曲线在点 M0 处的切线所构成的平面。处的切线所构成的平面。 曲面曲面 在点在点 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). . 曲面曲面 在点在点 M0 处的切平面处的切平面 的的方程为方程为 Fx( M 0 )( x- - x 0 )+ Fy(

23、M 0 )( y - - y0 )+ Fz( M 0 )( z- - z 0 )= 0 . .0 Mn 过点过点 M 0 且与曲面且与曲面 在点在点 M 0 处的切平面垂直的直处的切平面垂直的直线称线称为曲面为曲面 在点在点 M0 处的法线。处的法线。 曲面曲面 在点在点 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )处的法线的方向向量为处的法线的方向向量为 =( Fx( M0 ), ,Fy( M0 ), ,Fz( M0 ). . 曲面曲面 在点在点 M0 处的法线方程为处的法线方程为 0 Ms 000000000000 :.xyzyyxxzzLFxyzFxyzFxyz, 设曲面的方程为设曲面的

24、方程为 : z = f( x , ,y ),( x , ,y ) D .考虑考虑 上一点上一点 M0( x 0 , ,y0 , ,z 0 )处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程。 求曲面切平面和法线关键是求出切平面的法向量，求曲面切平面和法线关键是求出切平面的法向量，由平面法向量的性质知，为求切平面的法向量只需确定由平面法向量的性质知，为求切平面的法向量只需确定切平面上的两个不共线向量即可。切平面上的两个不共线向量即可。 在曲面在曲面 上取两条过点上取两条过点 M0 的特殊的曲线的特殊的曲线 1 : z = f( x , ,y0 )， 2 : z = f( x0 , ,y ).考察曲线考察

25、曲线 1 , , 2 在点在点 M0 处的切线的方向向量。处的切线的方向向量。 由偏导数的几何意义，由偏导数的几何意义， 1 , , 2 在点在点 M0 处切线的方处切线的方向向量分别可取为向向量分别可取为 因此有因此有10TM 0011dd0 dd1 0dMMzkxzkxx, , , 20TM 0022d0 ddd0 1dMMzkyzkyy, ,. 10TM 000d1 01 0 dxMzfxyx, , , 20TM 0 00d0 10 1 dyMzfxyy, , , . .zyOx : zfx y ,10 :zfx y , 因此曲面因此曲面 在点在点 M0 处切平面的法向量为处切平面的法向

26、量为 于是求得曲面于是求得曲面 在点在点 M0 处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程为为1020 TMTM 0 n M0000 1 0 0 1 xyfxyfxy, , , 0000 1 0 0 1 xyijkfxyfxy, 0000 1 xyfxyfxy,. 0000000 : 0 xyfxyfxyyyzzxx ,;00000001 : .xyyyzzxxLfxyfxy, 对于显式曲面方程对于显式曲面方程 : z = f( x , ,y ),( x , ,y ) D . 令：令：F( x , ,y , ,z )= f( x , ,y )- - z，则曲面方程化为隐式方程则曲面方程化为隐式方

27、程 : F( x , ,y , ,z )= f( x , ,y )- z = 0 . 因为因为 Fx = fx( x , ,y )，Fy = fy( x , ,y )，Fz = - -1 . .故求得曲面故求得曲面 在点在点 M0 处的处的切平面及法线的方程切平面及法线的方程为为0000000 : 0 xyfxyfxyyyzzxx ,;00000001 :.xyyyxxzzLfxyfxy, 曲面曲面 的的方程以显式方程以显式 z = f( x, ,y )给出时，给出时， 上一点上一点M( x , ,y , ,z )处的法向量可取为处的法向量可取为 = ( fx( x,y), ,fy( x,y)

28、,-,-1 ). 为确定起见，通常约定法向量总是向上的，即法向为确定起见，通常约定法向量总是向上的，即法向量与量与 z 轴的交角是锐角，故取轴的交角是锐角，故取 在点在点 M 处的法向量及处的法向量及相应的方向余弦为相应的方向余弦为 =( - - fx( x,y),-,- fy( x,y),-,-1 ).0 Mn0 Mn 若记若记: : x = x - - x 0 , , y = y - - y0 , , z = z - - z0 , , 则曲面则曲面 : z = f( x , ,y )在点在点 M0 处的切平面方程可写为处的切平面方程可写为 z = fx( x 0 , ,y0 ) x + f

29、y( x 0 , ,y0 ) y . . 由此由此联想到联想到 z = f( x , ,y )在点在点( x0 , ,y0 )处的全微分处的全微分 d z = fx( x 0 , ,y0 ) x + fy( x 0 , ,y0 ) y . . 比较二者的形式看出比较二者的形式看出，函数函数 z = f( x , ,y )在点在点( x0 , ,y0 )处的全微分的几何意义处的全微分的几何意义就是用曲面在该就是用曲面在该点切平上对应的点切平上对应的增量近似代替曲面在该点的增量，即增量近似代替曲面在该点的增量，即 z = f( x 0 + x , ,y0 + y )- - f( x 0 , ,y0

30、 ) d z = fx( x 0 , ,y0 ) x + fy( x 0 , ,y0 ) y . .yO0z x y xz zf x y ,M dz z 000 Pxy, d z z 例：例：求曲线求曲线 在点在点处的切线与法平面处的切线与法平面。 由于曲线方程由交面式给出，由于曲线方程由交面式给出，为求曲线在指定点为求曲线在指定点 M0 处的切线方程处的切线方程只需求出两曲面在点只需求出两曲面在点 M0 处的切平面。处的切平面。 求切平面方程的关键是求出求切平面方程的关键是求出曲面曲面在点在点 M0 处的处的法向量。法向量。 222222xyzaxyax,. 0222aaaM, 构成曲线构成

31、曲线 的两曲面的方程分别为的两曲面的方程分别为 1: : F( x , ,y , ,z )= x 2 + y 2 + z 2 - - a 2 = 0， 2 : G( x , ,y , ,z )= x 2 + y 2- - a x = 0 . 为求曲面为求曲面 1 , , 2 的法向量先计算各偏导数：的法向量先计算各偏导数： 022axxFMxa,xxFxyzax 22222 ,yyFxyzay 22222 ,022 ayyFMya,zzFxyzaz 22222 ,0222 ayzFMza,222xxGxyaxxa ,022 0axxGMxa,222 yyGxyaxy,022 ayyGMya,22 0zzGxyax,0 0zGM. 求得两曲面求得两曲面 1 , , 2 在点在点 M0 处的法向量分别为处的法向量分别为 曲面曲面 1 , , 2 在点在点 M0 处的切平面方程分别为处的切平面方程分别为 从而求得曲线从而求得曲线 在点在点 M0 处的切线方程为处的切线方程为 0 10 21 12 xyzMnMF F Fa aaa , , , 1:2220222aaazxyzaxy , 2:02ay . .0222 :MxyzaLay,. 2 0 10 000 1 0 xyzMnMGG Gaa , , ,例：例：证明曲面证明曲面 ( a 0 )上任一点处的切平