2020-2021学年湖南省A佳大联考高一下学期3月入学考试数学试题(解析版)

1、2020-2021 学年湖南省A 佳大联考高一下学期 3 月入学考试数学试题一、单选题1设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 A=1，4，7，B=1，3，5，则B Ç(A)U等于（）A1，3B1，5C3，5D4，5【答案】C【分析】根据交集与补集的运算先求出A ，再求 B Ç( UUA)即可【详解】故选：C.A = 2,3,5,6 ， B = 1,3,5，则 B Ç(UA)= 3,5.U2. 已知函数 f (x)= 2x - 7 + log x ，则 f (x)零点所在的区间是（）2A（0，1）【答案】CB（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】根据零点

2、存在性定理判断即可.【详解】由题意知： f (x)是定义在(0, +¥ )上的连续函数，且 f (x)在(0, +¥ )上单调递增，由于 f (1)< 0 ， f (2)< 0 ， f (3)> 0 ，根据零点存在性定理，可知 f (x)在区间(2,3 )只有一个零点，故选:C.3. 函数 f (x)=22x2 - x sin x 的大致图象可能是（）AB第 1 页 共 16 页CD【答案】A【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用x = p4时的函数值的符号进行排除即可2【详解】由题意 f (- x )=(- x)2 - (- x)sin( - x) =2

3、 x2 - x sin x = f (x )，22所以函数 f (x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 C，D.pæ p ö2 æ p 2p ö当 x =4 时， f ç 4 ÷ =2 ç 16 - 4 ÷ < 0 ，排除 B，èøèø故选：A.4. 设函数 f(x)ì1+ log=í2(2 - x), x < 1， f(-6)+ f(log10)= （）î2x-1, x ³ 12A3【答案】CB6C9D12【分析】根

4、据函数解析式分别求出 f (-6), f (log10) 的值，从而可求得结果2【详解】由-6 < 1 Þ f (-6)= 1+ log2 éë2 - (-6)ùû = 4 ，由log 10 > 1 Þ f (log 10)= 2log210-1 = 5 ，22所以 f (-6)+ f (log 10)= 9 ，2故选：C.5. 要得到函数 y =2 sin x 的图象，只需将函数 y =2 cos æ 2x - p ö 的图象上所有的点6ç÷èø（）A. 横坐标

5、伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动p 个单位长度6pB. 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动3个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12D. 横坐标缩短到原来的12p（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度3（纵坐标不变），再向左平行移动p 个单位长度6【答案】B第 2 页 共 16 页【分析】 y =2 sin x =【详解】 y =2 sin x =cos æ x -2çè2çcos æ x -èp ö ，然后可得答案.2 ÷øp ö2÷ ，

6、48;将 y =cos æ 2x - p ö 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），变为26ç÷èø2æp ö6y =cos ç x -÷ ，èø2pæp ö再向右平移个单位长度，得到 y =3故选：B.cos ç x -÷ ，2èø6. 已知定义在 R 上的偶函数 f (x)满足，对于任意x ， xö()12Î(-¥,0 )且 x1¹ x ，都有2é

7、; f (x )- f (x )ù (x - x)< 0 ， a = fæ log 1，b = f40.3 ，c = f(0.42 )，则下列不等式ë12 û12ç2 4 ÷øè成立的是（）A a < b < c【答案】BB c < b < aC c < a < bD b < c < a【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得 f (x)在(-¥,0 )上为减函数，结合偶函数14得到 f (x)在(0, +¥ )上为增函数，由指数、对数的运算

8、性质可得log2据此分析可得答案> 40.3 > 0.42 > 0 ，【详解】对于任意 x ， x12Î(-¥,0 )且 x1¹ x ，都有é f (xë21)- f (x2)ù (xû1- x )< 0 ，21414得 f (x)在(-¥,0 )上为减函数，因为 f (x)为 R 上的偶函数， 则 f (x)在(0, +¥ )上为增函数，且 log2= 2 ，1 < 40.3< 2 ， 0 < 0.42 < 1 ，则 log> 40.3 > 0

9、.42 > 0 ，所以c < b < a .2故选：B.7. 已知定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x + 2)= f (x)，且 x Î0,1时， f (x)= x ，则函数 g (x)= f (x)- cosp x 在 x Î-4,2 上的所有零点之和为（）A2B4C6D8【答案】C【分析】函数 g (x)= f (x)- cosp x 的零点，即方程 f (x)- cosp x = 0 的根，也就是两函数 y = f (x)与 y = cosp x 图象交点的横坐标，由题意可得函数 f (x)的周期为 2，画出两函数的图象，根据图象可求得

10、结果第 3 页 共 16 页【详解】函数 g (x)= f (x)- cosp x 的零点，即方程 f (x)- cosp x = 0 的根，也就是两函数 y = f (x)与 y = cosp x 图象交点的横坐标.由 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (x + 2)= f (x)，可得函数 f (x)的周期为 2.又当 x Î0,1时， f (x)= x ，作出函数 y = f (x)的图象； 函数 y = cosp x 的周期也是 2，图象如下图.函数 f (x)与函数 y = cosp x 具有相同的对称轴，所以函数在区间-4,2上的所有零点之和为-3´

11、2 + (-1)´ 2 +1´ 2 = -6 . 故选：C.8. 一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出，tmin 后剩余的细沙量为 y = ae- k（tcm3），经过 8min 后发现容器内还有一半的沙子，那么再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的十六分之一.A8B16C24D32【答案】C【分析】根据条件可得e-8k= 1 ，解出k 的值，然后可求出答案.2111【详解】依题意：由ae-8k =a 得e-8k =，两边取对数得： -8k = ln= -ln 2 ，222所以k =ln 2 8，所以 y = ae- ln 2 t ，88当容

12、器中的沙子只有开始时的十六分之一，则有ae-ln 2 t =1 a ，所以e-ln 2 t = 1 ，8两边取对数得- ln 2 t = ln 1 = -4ln 2 Þ t = 32 .1616816所以再经过的时间为32 - 8 = 24 (min). 故选：C.二、多选题第 4 页 共 16 页9. 已知集合 A = x ax £ 4， B = 4,2，若 B Í A ，则实数 a 的值可能是（）A1【答案】ABCB1C2D2ìï4a £ 4【分析】由题意可得í，从而可求出a 的范围，进而可求得答案ïî

13、;2a £ 4【详解】因为B Í A ，所以4 Î A ，ìï4a £ 42Î A ，则í，解得a £1.îï2a £ 4故 选 ：ABC 10下列命题，正确的是（）A. 若 f (x)= -x2 + mx +1是偶函数，则函数 f (x)的减区间是(-¥,0 B. 命题“ "x Î R ， sin x < x ”的否定是“ $x Î R ， sin x ³ x ”C若 x > 0 ， y > 0 ， 3 +

14、 1 = 5 ，则3x + 4 y 的最小值为 5xyD "x Î R ， 2 - cos x - sin2 x > 0 为真命题【答案】BCD【分析】由二次函数的性质可判断A，根据全称命题的否定可判断B，由3x + 4 y = 1 (3x + 4 y )æ 3 + 1 ö展开利用基本不等式求最值即可判断C，由5ç xy ÷èø2 - cos x - sin 2 x = æcos x - 1 ö + 3 > 0 即可判断D.ç÷24èø【详解】

15、易知m = 0 ， f (x)= -x2 +1 在(-¥,0 单调递增，选项A 不正确；选项B 显然正确；由 x > 0 ， y > 0 ， 3 + 1 = 5 ，可得xy3x + 4 y = 1 (3x + 4 y )æ 3 + 1 ö = 1 æ13 + 12 y + 3x ö ³1 æ12 y × 3x xy13 + 2ö = 5 ，5ç xy ÷5 çxy ÷5 ç÷èøèøè

16、ø12 y3x当且仅当=时，“=”成立，选项 C 正确；xyæ1 ö32 - cos x - sin 2 x = cos2 x - cos x +1 = çcos x - 2 ÷ + 4 > 0 ，èø故"x Î R ， 2 - cos x - sin2 x > 0 为真命题，选项D 正确.故 选 ：BCD. 11某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按第 5 页 共 16 页礼品数量收

17、取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用y1（千元），乙厂的总费用 y （千元）与礼品数量 x（千个）的函数关系图象分别如图中甲 乙所示，2则（）A. 甲厂的费用 y1与礼品数量 x 之间的函数关系式为 y =11 x + 12B. 当礼品数量不超过 2 千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5 元C. 当礼品数量超过 2 千个时，乙厂的总费用 y 与礼品数量 x 之间的函数关系式为217y =x +233D. 若该公司需定制的礼品数量为6 千个，则该公司选择乙厂更节省费用【答案】ABC【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项.【详解】根据图像甲厂的费用 y1与礼品数量

18、x 满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用 y1与礼品数量x 满足的函数关系为 y1= 1 x + 1，故A 正确；2当定制礼品数量不超过 2 千个时，乙厂的总费用 y 与礼品数量 x 之间的函数关系式为233y=x ，所以乙厂的加工费平均每个为= 1.5 元，故B 正确；222易知当 x > 2 时， y 与 x 之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式217为 y =x +，故C 正确；23311713当 x = 6 时， y=´ 6 +1 = 4 ， y =´ 6 +=，因为 y< y ，所以定制礼品数

19、量为 612233312千个时，选择甲厂更节省费用，故D 不正确. 故选：ABC.12. 已知函数 f (x)=3sin x + cos x ，则（）A. 函数 f (x)在ép , 2p ù 上的单调递减区间是ép , 2p ùêë 63 úûêë 33 úûB. 函数 f (x)的图象关于点（ - p ，0）对称3第 6 页 共 16 页C. 函数 f (x)的图象向左平移 m（ m > 0 ）个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称，p则 m 的最小值是3D. 若

20、实数 m 使得方程 f (x)= m 在0,2p 上恰好有三个实数解x ， x ， x ，则123x + x + x123= 8p3【答案】ACD【分析】先对函数化简变形 f (x)=3 sin x + cos x = 2sin æ x + p ö ，然后由三角函数的性6ç÷èø质逐个分析判断即可【详解】易得 f (x)=3 sin x + cos x = 2sin æ x + p ö ，6ç÷èøép2p ùp £ xp5ppp5pp2pf (

21、x)当 x Î êë 6 , 3 úû 时， 3+ £，故当662£ x +£6，即£ x £时，单调633递减，所以函数 f (x)在ép , 2p ù 上的单调递减区间是ép , 2p ù ，选项A 正确；êë 63 úûêë 33 úûæp öæpp öæpö因为 f ç - 3 ÷ = 2s

22、in ç - 3 +6 ÷ = -1 ¹ 0 ，所以ç - 3 ,0 ÷ 不是对称中心，选项B 错误；èøèøèøf (x)的图象向左平移m(m > 0)个单位长度后得到g (x)= f (x + m)= 2sin æ x + p + m ö ，ç6÷且 g (x)是偶函数，所以p6p+ m = kp + p2， k Î Z ，所以m = kp + p3èø， k Î Z ，且m > 0 ，所以

23、当k = 0 时， m=，选项C 正确；min3因为 x Î0,2p ，作出 f (x)在 x Î0,2p 上的图象如下图所示，f (x)与 y = m 有且只有三个交点，所以x3= 2p ，又因为 f (x)= 2 时 x = p3，且 x ， x12p关于直线 x =3对称，所以 x + x= 2 ´ p= 2p，所以 x + x + x= 2p+ 2p = 8p，选项D 正确.123312333故选：ACD.三、填空题13. 若幂函数 f (x)= (m2 + 2m - 2)xm+2 在（0， +¥ ）上是减函数，则代数式 3m+1 的值为第 7

24、页 共 16 页 .【答案】-8【分析】根据幂函数的知识求出m 即可.【详解】由题意得：m2 + 2m - 2 = 1 Þ m = 1或-3 ，又幂函数 f (x)在(0, +¥)上是减函数， 故m = -3 ，则代数式3m +1 = -8故 答 案 为 ： -8 14智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知某噪音的声波曲线类似于正弦函数 y = Asin(x + )（ A > 0 ， 0 £ < ）或余弦函数 y = A cos (wx +j)2（ A >

25、; 0 ， 0 £ < ）图象，其振幅为 2，周期为2p ，且经过点（ p ，3 ），则通过听26感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的一个方程为 .（写出任意一个即可）【答案】 y = -2sin æ x + ö （或 y = -2cos x ）（答案不唯一）6ç÷èø【分析】利用振幅求出A ，周期求出w ，然后利用特殊点求出j ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x 轴对称，即可得到答案【详解】对于正弦函数 y = Asin(x + )（ A > 0 ，0 £ < ），

26、由题意，振幅为2，周期2为2p ，得 A = 2 ， w = 1 ，故噪音的声波曲线为y = 2sin (x + j)，（ 0 £ < ），又该曲线过2点æ p ,3 ö ，则sin æ p+j ö =3 ，由0 £ < ，则p£ p +j < 2p，即jpp ，即j = ç 6÷ç 6÷22663+ 6 = 36 ，èøèø从而噪音的声波曲线为 y = 2sin æ x + p ö ，故听感主动降噪芯片生成

27、相等的反向波曲线方6ç÷èø程为 y = -2sin æ x + ö .6ç÷èø对于余弦函数 y = A cos (wx +j)（ A > 0 ， 0 £ < ）：由题意，振幅为 2，周期为2p ，2得 A = 2 ， w = 1 ，故噪音的声波曲线为 y = 2cos (x +j )，（ 0 £ < ），又该曲线过点2æ p ,3 ö ，则cosæ p+j ö =3 ，由0 £ < ，则p£

28、; p +j < 2p，则jpp ，即j = 0 .ç 6÷ç 6÷22663+ 6 = 6èøèø第 8 页 共 16 页从而噪音的声波曲线为 y = 2cos x ，故听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线方程为 y = -2cos x .故答案为： y = -2sin æ x + ö （或 y = -2cos x ）6ç÷èø15. 掷铁饼者取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.若把掷铁饼者张开的双臂近

29、似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米若弓所在圆的半径为米，则掷铁饼者双.“”5484手之间的距离为 米.【答案】 524【分析】由题目可知这段弓所在的弧长，结合弧长公式求出所对的圆心角，再利用三角函数求出该弧所对的弦长即可.【详解】由题意得：弓所在的弧长l =5+=，其所对的圆心角44885a = 8 = ，524则两手之间的距离d = 2R sin = 52 .44故答案为： 52 .4p16. 已知函数 f(x)=9x - 4sin× 3x + 2 ， g (x)= 2ax -1（ a > 0 ）.若"x61Î0,log3

30、2，$x Î1,2 ， f (x21)= g (x24)，则 a 的取值范围是 .êú【答案】é 3 , 5 ùë8 8 û【分析】由题意， f (x)的值域为 g (x)的值域子集，先求得两个函数的值域，再利用包含关系求得 a 的取值范围.p9x - 4sin× 3x + 2()2【详解】因为 f(x)=6=3x -144+1 ，又当 x Î0,log32时， 0 £ 3x -1 £ 1 ， f (x)的值域为é 1 , 1 ù .êú

31、5; 42 û第 9 页 共 16 页因为a > 0 ，所以 g (x)在1,2上单调递增，其值域为2a -1,4 a -1.ì2a -1 £ 1依题意得é 1 , 1 ù Í 2a -1,4a -1，则ï 4 ，解得 3 £ a £ 5 .êë 42 úûêú故答案为： é 3 , 5 ùë8 8 ûíïï4a -1 ³î1882四、解答题x - 1

32、217. 已知函数 f (x)= cos x + a （ x Î R ）的值域为集合A，函数g (x)= ln (4 - x)+的定义域为集合 B，全集U = RB ；(1) 若a = 1，求 A(2) 若 x Î A 是 x ÎB ，B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.U【答案】(1) AB = é 1 , 2ùêë 2úû(2) æ -¥, - 1 ö È 5, +¥ )ç÷2èøø【分析】（

33、1）结合三角函数的值域得A = a -1, a +1，求函数定义域得B = é 1 , 4 ö ，再根据集合交集运算求解即可；êë 2÷（2）根据题意得 AB ，再根据集合关系求解即可.U(1)解：易知当 x ÎR 时， -1 £ cos x £ 1，则函数 f (x)= cos x + a (x Î R)的值域为 A = a -1, a +1ì4 - x > 0ï由，解得 1 £ x < 4 ，即B = é 1, 4 öí1x -&

34、#179; 02êë 2÷îï2ø所以当a = 1时， A = 0,2，所以 AB = é 1 , 2ù .êë 2úû(2)ø解：由（1）得 A = a -1, a +1， B = é 1 , 4 ö ，因为U = R ，所以êë 2÷B = æ -¥, 1 ö È4, +¥)2ç÷UèøUB ，由 x Î A 是

35、x ÎB 的充分不必要条件，则有 AU11故a + 1 <或a -1 ³ 4 ，解得a < -或a ³ 5 ，22第 10 页 共 16 页所以a 的取值范围为æ -¥, - 1 ö È5, +¥ )ç÷2èø18. 已知函数 f (x )= sin æ x - p ö + cosæ x - p ö ， g (x)= 2cos 2 x .ç÷ç÷536èøè

36、;ø2(1) 若a 是第三象限角，且 f (a )= -5，求 g (a )的值；êú(2) 设 F (x)= f (2x)+ g (2x)，讨论F (x)在区间é0, p ù 上的单调性.ë2 û255【答案】(1)1-(2)在é0, p ù 上递增，在ép , p ù 递减êë8 úûêë 82 úû5【分析】（1）根据和差角公式展开即可得 f (x)= sin x ，进而sina = -，再根据同角三

37、2555角函数关系得cosa = -，最后结合半角公式求解即可；( )æp ö2xpép5p ù（2）结合（1）得Fx=2 sin ç 2x +÷ +1 ，再结合题意得+ 4 Î ê,ú ，进而解p £ 2xpppè4 øp5pë 44 û4(1)+ £和422£ 2x +£即可得单调区间.44解： f (x )= sin æ x - p ö + cosæ x - p öç&#

38、247;ç÷36èøèø3= æ 1 sin x -cos x ö + æ1ö3cos x +sin x= sin xç 22÷ç 22÷èøèø5因为 f (a )= -5，所以sina = -55255因为a 是第三象限角，所以cosa = -，g (a )= 2cos 2a2= 1+ cosa = 1 -.255(2)解：由（1）得 F (x)= f (2x)+ g (2x )= sin 2x + cos 2x

39、 +1 =2 sin æ 2x + p ö +1 ，ép ù因为 x Î êë0, 2 úû ，所以2x +ç÷4èøp Î ép , 5p ù4êë 44 úû要使 f (x)为增函数，则p4£ 2x+ p £4p ，解得0 £ x £ p28要使 f (x)为减函数，则p £ 2x + p £ 5p ，解得p £ x

40、63; p24482综上所述，当x Î é0, p ù 时， f (x)在é0, p ù 上单调递增，在ép , p ù 单调递减.êë2 úûêë8 úûêë 82 úû19. 已知函数 f (x)=3 sin (2021 + x )sin æ 3 + x ö + sin 2 x -1.ç÷2èø(1) 求函数 f (x)的对称轴方程；第 11

41、页 共 16 页(2) 若对于任意的x Î é- , ù ，都有 f (x )- m £ 1 恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】(1) x =(2) é- 1 , 1-3 ùêë123 úûk + ， k Î Z23ê22úëû【分析】（1）利用诱导公式及倍角公式化简变形，再由正弦函数的性质求出 f (x)的对称轴；（2）把 f (x )- m £ 1 转化为ìïm £ f (x)+1恒成立，然后分别

42、求最值即可.îíïm ³ f (x)-1(1)f (x)=3 sin (2021 + x )sin æ 3 + x ö + sin 2 x -1ç÷2èø=3 (- sin x)(- cos x)+ 1- cos 2x -1 =3 sin 2x - 1 cos 2x - 1 =æx - ö - 1 .2222sin ç 2÷6èø2令2x - = k+ ， k Î Z ，得 x = k + ， k Î Z .6223

43、函数 f (x)的对称轴方程为： x =(2)k + ， k Î Z .23由 f (x )- m £ 1 ，得-1 £ f(x)- m £ 1 Þ ìïm £ f (x)+1 恒成立，îíïm ³ f(x)-1 x Î é- , ù ， - £ 2x - £ ， -3sin2x -£ 1 ，êë123 úû362ç÷£æ ö6

44、2èøûë f (x)Î é- 1+3 , 1 ù ，ê22 ú由m £ f (x)+1恒成立得m £ - 1+3 +1 = 1 -3 ，22由m ³ f (x)-1恒成立得m ³ 1 -1 = - 1 ，22é1 1-3 ù即实数m 的取值范围为： ê- 2 ,2ú .ëû20已知函数 f (x)= log (2ax2 - x - 2)（ a > 0 且a ¹ 1 ）.a(1) 若a =

45、3 ，求 f (x)的单调区间；2(2) 若 f (x)在区间1,3 上是增函数，求实数 a 的取值范围.第 12 页 共 16 页【答案】(1)减区间为æ -¥, - 2 ö ，增区间为(1,+¥)ç÷3èø(2) æ 3 , +¥ öç÷2èø【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性的求法可得答案（2）令 g (x)= 2ax2 - x - 2 ，则可得a > 0 ，且a ¹ 1，则函数 g (x)的图象为开

46、口向上，对称轴为 x =(1)1 的抛物线，然后分0 < a < 1 ， a > 1两种情况求解即可4a当a =3 时，2f (x)= log323x2 - x - 2 ，()2由3x2 - x - 2 > 0 得： x < - 3 或 x > 1 ，所以函数的定义域为æ -¥, - 2 ö È (1,+¥) ，ç÷3èøy = log t令t = 3x2 - x - 2 ，则3，23ç÷3因为t = 3x2 - x - 2 在æ -

47、65;, - 2 ö 上递减，在(1,+¥)上递增， y = logèø2t 在(0, +¥) 上递增，所以函数的减区间为æ -¥, - 2 ö ，增区间为(1,+¥).ç÷3èø(2)令 g (x)= 2ax2 - x - 2 ，易知a > 0 ，且a ¹ 1 ，则函数 g (x)的图象为开口向上，对称轴为 x =1的抛物线，4a当0 < a < 1 时，要使函数 f (x)在区间1,3上是增函数，则 g (x)= 2ax2 - x -

48、 2 在1,3上单调递减，且g (x)min> 0 ，ì 1 ³ 3则ï 4a，解得a Îf ；íïîg(3)= 18a - 5 > 0当a > 1时，要使函数 f (x)在区间1,3上是增函数，则 g (x)= 2ax2 - x - 2 在1,3上单调递增，且g (x)min> 0 ，ì 1 £ 133即ï 4a，解得a >，符合题意，所以a >.í( )22ïîg 1 = 2a - 3 > 0综上所述：实数a 的取值范围

49、为æ 3 , +¥ ö .ç÷2èø21. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020 上半年我国疫情严重，在党的正确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复第 13 页 共 16 页产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产某款手机，前期投入成本40 万元，每生产1 万部还需另投入 16 万元.设该公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万ì400 - kx,0 < x £ 40部的销售收入为R (x)万元，且满足关系式R (x)= ï8400

50、40000，已知该公司一íïîx-, x > 40x2年内共生产该款手机 2 万部并全部销售完时，年利润为 704 万元. (1)写出年利润W (x)（万元）关于年产量 x（万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.ì-6x2 + 384x - 40,0 < x £ 40í40000【答案】(1)W (x)= ïï8360 -16x -îx, x > 40(2)当 x = 50 ，W 取得最大值为 6760 万元【分析】（1）根据

51、题意求出k 值，分段分别求出利润W (x)（万元）关于产量x （万部）的函数关系式，再分段写出利润W (x)（万元）关于年产量 x（万部）的函数解析式即可；（2）当0 < x £ 40时，W (x)= -6x2 + 384x - 40 ，利用二次函数求出最大值，当 x > 40 时，W (x)= 8360 -16x - 40000 ，利用基本不等式求出最大值，再比较两者的大小，取较大x者即为W (x)的最大值. (1)因为生产该款手机 2 万部并全部销售完时，年利润为 704 万元. 所以2(400 - 2k )- 40 - 2 ´16 = 704 ，解得k =

52、 6 ，ì400 - 6x,0 < x £ 40则 R (x)= ï840040000íïîx-, x > 40x2根据题意有W (x)= xR (x)-16x - 40 ，当0 < x £ 40时，W (x)= x (400 - 6x)-16x - 40 = -6x2 + 384x - 40 ，xèø当 x > 40 时，W (x)= x æ 8400 - 40000 ö -16x - 40 = 8360 -16x - 40000 ，çx2÷

53、;xì-6x2 + 384x - 40,0 < x £ 40í40000ï所以W (x)= ï.(2)8360 -16x -îx, x > 40当0 < x £ 40时，W = -6 (x - 32)2 + 6104 ，所以W= W (32)= 6104 ；max第 14 页 共 16 页当 x > 40 时，W (x)= 8360 -16x - 40000 ，x40000 ´16xx由于 40000 +16x ³ 2x= 1600 ，当且仅当 40000 = 16x ，即 x =

54、 50 Î(40, +¥)时，取等号，所以此时W 的最大值为 6760.x综合知，当 x = 50 Î(40, +¥)，W 取得最大值为 6760 万元.22. 设函数 fk(x)= 2x + (k - 2)× 2- x （ x Î R ， k Î Z ）.(1)若 f (x)为奇函数，求 k 的值；k(2)若存在 x Î-1,1，使得 f1(x)+ mf2(x)£ 4 成立，求实数 m 的取值范围；(3)设函数 g (x)= l f (x)- f (2x)+ 4 ，若 g (x)在 x Î1, +¥ )上有零点，求实数l 的取值13范围.【答案】(1) k = 1(2)