数学竞赛辅导讲座：高斯函数

1、数学竞赛辅导讲座：高斯函数知识、方法、技能函数y x，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一定义一：对任意实数x,x是不超过x的最大整数，称x为x的整数局部.与它相伴随的 是小数局部函数 y x, x x x.由x、x的定义不难得到如下性质:1y x的定义域为R，值域为z； y x的定义域为R,值域为0,1)对任意实数x，都有x xx,且 0x1.对任意实数x，都有x xx1, x 1x x.y x是不减函数，即假设4x2 那么x1 x2，其图像如图 I - 4-5- 1;Xin n x;x n5xN .yx.其中 x R, n6xy x y;xxny x y;i 1XinXi, X

2、i R ；特别地,i 1na a_ nb.7xyx y，其中 x,yR；一般有Xii 1iXi, Xi1R ;特别地，n Xn x,xR ,n N .8X凶，其中x R,nN .nn【证明】1一7略8令-m, m Z，那么 mXm 1，因此，nmx n(m1) 由于nm，nnn(m1) N，那么由3知，nmxn(m 1),于是，mX m1,故凶m.nnnn证毕取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论X定理一：x R , nN ，且1至X之间的整数中，有个是n的倍数.n【证明】因1,即n x ( 1) n，此式说明：不大于 x而是nn n nnn的倍数的正整数只有这凶个：nn,2n

3、, , n.n定理二：在n !中，质数p的最高方次数是p(n!) 2亠亠PPP【证明】由于 p是质数，因此n!含p的方次数p(n!) 定是1, 2,，n 1,n各数中所含p的方次数的总和.由定理一知，1, 2，n中有卩个p的倍数，有斗个p2的Pp倍数，,所以p(n!)-：pp此定理说明：n! pp(n!) M，其中M不含p的因数.例如，由于 7(2000!)20007 200072+=285+40+5=330,那么 2000!=7330 M，其中 7 ' M.定理三：厄米特恒等式x R,n N,那么x x 丄 nx -nX门nA nx【证法1】引入辅助函数f(x) nx x x 1 x

4、 x - x _ .因 f(x 1) nnnnn11f (x)对一切x R成立，所以f(x)是一个以一为周期的周期函数，而当x 0, 时，nn直接计算知f (x) 0，故任意x R，厄米特恒等式成立1n 1【证法2】等式等价于nx xxx nx nx.消去nnnx后得到与原等式一样的等式，只不过是对x 0,1)，那么一定存在一个k使得k 1x .即k 1nxk，故原式右端nxk1.另一方面，由k1 x k 知,nnnnk1 k 1 k 12k 2kik i1k n 2k n 1x5x55- x55xnnnnnnnnnn在这批不等式的右端总有个等于1，设k t1,即 tnk.这时，xxLnnx

5、nk0,而xn kxn 11，因此原式的左端是k1个1之和,nnn即左端 k 1.故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整，把对任意实数的问题转化为 0,1)的问题；第二步对0,1)分段讨论.高斯函数在格点又叫整点问题研究中有重要应用.下面给出一个定理.定理四：设函数yf (x)在a,b上连续而且非负，那么和式f(t)(t为a,b内的a t b整数表示平面区域 a x b,0 y f (x)内的格点个数特别地，有1位于三角形： y ax b 0,c x d内的格点个数等于ax b(且x为整c x d数；2(p,q) 1，矩形域0,多；0,号

6、内的格点数等于 Px 冋牛.0 x q/2 q0 y p/2 P2214r3r 0，圆域x2 y2 r2内的格点个数等于4n 0，区域：x 0, y 0, xy n内的格点个数等于2- n2.0 x 打 n X这些结论通过画图即可得到 例1：求证：2n 1 n! n 2k 1,其中k为某一自然数1985年第17届加拿大数学竞赛试题证明2为质数，n!中含2的方次数为2(n!)假设n2k 1,那么 2( n!)2k t 11k 12kt1 1 2 22t 1故2n 1n!.反之，假设n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t.使 2t 2s p2t1

7、，于是n!中所含2的方次数为2(n!)2s 1 p 2s 2 p由于12s矛盾,(2s 12s22s t) p 2st(2t 1)p 2sp 2s tpn 2s t p.2,那么故必要性得证2st2,故n!中含2的方次数2(n!)n 2,那么 2nn!.这与对任意的n,计算和kS =.K 02第10届IMO试题【解】因影犬扌对一切km成立，因此，-2k 12六.又因为n为固定数,当k适当大时，斗 1,从而斗0,故S22k(庁0 2戸)n.例3 :计算和式S【解】显然有：假设502 305 n 的值.1986年东北三省数学竞赛试题n 0 503xy1,那么x y xy 1,x, y R.503是

8、一个质数，因此，对n=1,2,502,迺都不会是整数，但305n + 305(503 n) 305可见此式左端的两数的小数局部之和等于1, 于曰是，503503503泄 30550 304. 故503503502S n1雳251n1 (鬻305(503 n)503),304 25176304.例4:设M为一正整数，问方程x2x2，在1，M中有多少个解?1982年瑞典数学竞赛试题【解】显然x=M是一个解，下面考察在1，M中有少个解.设x是方程的解将x2x22x xx2代入原方程，化简得 2 x x2x x x2由于 0x4(x1)240x4x24x51(2x5)(2x11)(2x3)(2x75r

9、、11x-,x223亠3x,或x21717x;x_510.0.0.0,1,所以上式成立的充要条件是2x x为一个整数.才，k、才，设x m N,那么必有x(k 0,1, ,2m 1),即在m,m 1)中方程有2m个解.2m又由于1 m M 1,可知在1,M)中方程有2(1 2 (M 1) M (M 1)个解. 因此,原方程在1,M 中有M(M 1) 1个解.例5:求方程4x240x510的实数解.第36届美国数学竞赛题【解】因x x x 1,又x 0不是解.解得x2或x 6或7或8,分别代入方程得4x2290,x4x21890, x4x22290, x4x22690, x<29亍、189

10、222922692经检验知，这四个值都是原方程的解例 6: x R ,n N ,证明：nx 凶 2x 3x卫123n第10届美国数学竞赛试题 这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下【证明】令Ak x回 回，k 1,2,.2k由于A1x,那么n1时，命题成立.设nk1时命题成立，即有A1x, A 2x, Ak 1(k1)x.因为,AkAk 1kx,即 kAk kAk 1kkx对一切k成立，所以kAkkAk 1kx,(k 1)Ak 1(k1)Ak 2(k 1)x,2A2 2A12x, A,x.相加得:kAk(AA2Ak 1)X2x(k1)xkx故 kAk x 2x(k 1)x kx Ak

11、1 Ak2A2 A1x 2x(k1)x kx (k1)x(k2)x2xx(x (k 1)x(2x(k2)x)(k1)x x)kx kx kxkx kxkkxAkkx,即 nk时,命题成立，故原不等式对一切n N均成立,证毕.例7:对自然数n及一切自然数x,求证:x x11 x2x亠nx.苏联数学竞赛题nnn【证明】xxx,那么12、r n 1x x-1 x-xnnn由X-1 及xk 11 知 nx nk,且 nXn k 1.故知nxnnXX1X2Xn 1nx.从而有nnn12n 1X X - nX- nXnnx.n k知-000o例&求出咼的个位数字103第47届美国普特南数学竞赛试题1 XXXX-n1x xxx-nXXXX2-n勻nXXXXn 1nU,n12nx xx - x-nnnx nxnx nx nx,故只要证明1-xx- x-nn,k设存在 k,1 kn, 使xn1-x- x-nnXXn 1Xnx即可.n1, 而x匕1,那么nk 1kx - - x-nn20000【解】先找出%的整数局部与分数局部103 20000,100、200 _200_20010(10 )33100c =100100c103103103(10100)2003200(10100)2100(