数学高考总复习：导数的应用

1、数学高考总复习：导数的应用编稿：林景飞 责编：严春梅、知识结构：二、高考考点：1. 了解导数概念的某些实际背景如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等；2. 了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义；3. 熟记根本导数公式；4. 掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么.会求某些简单函数的导数；6. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；7. 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号 ，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；8. 了解定积分的实际背景，了解定积分的根本思想，了解定积分的概念及其根本定理。三

2、、知识要点：一导数的相关概念1、 导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：匚表示运动物体在时刻 '的瞬时速度； 气球半径厂关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、 导数的几何意义： 过曲线y=fx上任意一点x,y的切线的斜率就是 fx在x处的导数，即。也就是说，曲线y=fx在点Px。, fxo处的切线的斜率是，切线方程为丁-儿二F心兀-兀Q。二求导数的方法：1、几种常见函数的导数公式:丁' (a Q)；丄；i人；1 : .-1 1.龙1 二二-*|八-厂 (In 心-X2、导数的四那么运算法那么：，1厂-：|V,I j 厂.(-) =j(卩工0)三导数的应用1、求切线方程的一般

3、方法，可分两步:1求岀函数 ,'1'在II处的导数丿r 1；2利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.假设在曲线上，可用上法求解；假设不在曲线上，可设岀切点，写岀切线方程，结合条 件求岀切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性1函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适中选用方法，有时须将区间(a,b)划分成假设干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。2函数的单调性与其导数的关系：设函数 y=f(x)在某个区间内可导，那么当' '"1 '-时f

4、S <0f(x)为增函数；当.时f(x)为减函数。3、求函数的极值与最值1函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有假设干畑)二0个，而且极小值未必小于极大值。仅是函数f(x)在点xo处有极值的必要条件，点xof T才)是f(x)的极值点，当且仅当在xo的左右的符号产生变化。f(x)在闭区间a,b上必有2函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。y=fx,并注明其定义域,3在实际问题中，要由实际问题的背景构造岀相应的函数关系式当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，那么此点即为函数fx的最值点四定积分的概

5、念及其应用1.定积分的定义：如果函数 /W 在区间a,b上连续，用分点=;x0<xl<x2<< 亡耳二心将区间分为n个小区间，在每个小区间I再小上任取一点爲i=1,2,3，作和式，当一1时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间a,b上的定积分.记作2.定积分的性质:1二为常数3/X必=仗必 +3. 微积分根本定理：女口果刃丽蚀，且/在k上，那么了能=,其中叫做了FE+d三也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在勺上的改变量.因此，微积分根本定理可以写成形式:注：求定积分主要是要找到被积函数的 ，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于.由此，求导运算与求原

6、函数运算互为 .4. 定积分的几何意义：在几何上表示由曲设函数"在区间於"I上，当冷时，定积分 线厂恥以及直线"较汀与川上，当八丸时，由曲线肿二*以及直线7 处 与x轴围成的曲边梯形位于 尤轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在7W 既取正值又取负值时，曲线 p 二 /W 的某些局部在丁轴的在卞轴下方的图形的面积赋予符号，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线上方，而其他局部在 轴下方，如果我们将在 二轴上方的图形的面积赋予正号,直线-'与兀轴所围成的各局部面积的代数和5. 应用定积分求面积1如图，由曲线乃=広"丹二兀不妨及直线S

7、o ®围成图形的面积公式为：&如-仏如2如图，在区间皿上£-，那么曲边梯形的面积为1画岀草图，在直角坐标系中画岀曲线或直线的大致图像；2借助图形确定岀被积函数，求岀交点坐标，确定积分的上、下限;3写岀定积分表达式；4求岀平面图形的面积7 利用函数的奇偶性求积分：假设函数卩二了在区间卜M上是奇函数，那么假设函数尸=/伝)在区间F上是偶函数，那么四、经典例题：例1.求以下函数的导数:2只-张+旅41们_ 厂“ t ; 2- .； 3丁解:1b= (x，sin x)1 = 2x sin je4racosx2法一f (2x2 - 3x -1) 'jce - (xJx

8、)'(2x3- 3x +1)(2i<3 一 3尤 +血41)'尤丘一 (x丘丁(2用-3xA-Jx +1)2 2法二y1 = W 3二 + L + xy = 3+ 昇JT2 -1 j33丿例2.运动曲线的方程为:，求t=3时的速度，加速度。分析:由导数的物理意义知，t=3时的速度就是求函数在t=3时的导数值,解：运动曲线的速度为:/- 1p(0 = sw = (-5-t=3时的速度:呦“討茅"I啥运动曲线的加速度为：a(£) = v £)二卜卜£ 十曾二(-r2 + 2宀4f丫 二吕 一*+4n <a(3) = _-2 + 4

9、 二 4t=3时的加速度：-L例3：运用微积分定理求定积分J；密"冲.1xO,l兀1,2x2J?求函数'' 'L W妙=f0/必+ /o 妙3.一、是奇函数,是偶函数=也+ 77必+ fa1 2 |2 旷+ X2+0 31血2|1 60 5cos 叔"0J：羞cx?s;r+ % = 0 + 2:应心-2xx4法一丄设】-.'.；，那么 A? - / -/'表示二个圆,由积分的概念可知，所求积分就是-圆的面积法二令宀:，那么当二从0变到匸时，相应的t自0变到点评：当被积式为分段函数时，应分段积分；求定积分最常用的方法是微积分根本定理,有

10、时不易找到原函数-，此时可以用其他方法：利用定积分的几何意义，利用函数的奇偶性 等。例4：求由曲线' -围成的平面图形的面积解：由1丿=兀得A (1,1)；所求面积：呂二(2x-云禺 + J】 (2x-例5.对正整数n,设曲线-1 -'在x= 2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数的前n项和的公式是胡二-护(旳十2),切线方程为j +尸二-?-K + 2)(z- 2) 解：令x=0，求岀切线与y轴交点的纵坐标为所以 + 那么数列的前n项和斗二点评：此题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。2工2X 例6.函数_ f ' ' '

11、' 在'与x = 1时都取得极值1求a、b的值与函数f x的单调区间；2假设对x - 1, 2,不等式' 恒成立，求c的取值范围解:孑(耳三 F+处° +加+芒 / (ac) = 3x2 -2ax + h1 a2 , b=- 2f :''-1 - 一 ，函数fx的单调区间如下表:x呻_寸2-31(*)/'W+00+f x极大值极小值所以函数f X的递增区间是与递减区间是7町二F-丄宀2卄匚2：，x - 1，2，2炖耳时，为极大值,而,：，那么为最大值要使 L 'x - 1 , 2恒成立，只需r，' ' '

12、_'，解得 二-'.例7.请您设计一个帐篷， 它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥如下列图试问当帐篷的顶点 0到底面中心一 I的距离为多少时，帐篷的体积最大?解：设001为君擁，那么1咗占丘4由题设可得正六棱锥底面边长为：单位：?6'Jg +鮎宀2 半逖十2耳_/)故底面正六边形的面积为：=单位:帐篷的体积为：V二二 (8十 2工一丄(耳一1)+1二匣(16十 1N F)工一-单位：学V*Cx) = (12-35求导得-令'二，解得二一；不合题意，舍去，'二， 当1宀罷时，V。)n 0，V G)为增函数；当2 *益4时

13、，心)益。，G)为减函数以及运用数学知识解决实际问题当玄_-时，'最大答：当00i为：，时，帐篷的体积最大，最大体积为点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值的根底知识,的能力.例8 设:、是函数.'，| 1 _1 '：'_，1占匚的一个极值点.I求 <与:' 的关系式用；表示，并求的单调区间；H设八0, I 4丿.假设存在吕1,吐E 0片使得91)弋(岂*1 立，求j的取值范围.解：I( L -. -一一 I: - - < J 'J由广(R二° ,得一爭+依一 2辽+&-厲严=)，即得4? = -?- 2a ,/&

14、#39;s) = 一F 十一2)- 3- 2说-a=-只+92)忑一事知旷=_(忑_3)(忙+诅十令1：'" - _，得人 _ 或 1 _"-,由于x = 3是极值点，所以-，恳匸1当；-；，即-:时,在区间*门上,m， 八为减函数；在区间|上，.1八，'仁为增函数；在区间一上，宀为减函数。当.H ，即'时，在区间f:, L-)t，, / ，( ) 为减函数;在区间 浪' 上，r ,人为增函数；在区间上，W为减函数。H由I知，当 a>0时，f (x)在区间0, 3上的单调递增，在区间3, 4上单调递减,寸2 q/(0) = (-3- 2

15、u< 0,/(3)二 6+“(4=-> 0所以f (x)在区间0，4上的值域是'-U °又一在区间0，4上是增函数，且它在区间0,4上的值域是2511(a3 +)一(口 +6二/一口十一二(口 - >0由于"(a3+.所以只需且，解得故a的取值范围是0,二。考查综合运用数学知识解决问题点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识, 的能力。五、咼考真题:1.2007全国卷II曲线一-3111A的一条切线的斜率为1-'，那么切点的横坐标为B. 2答案：A2. 2007天津卷函数聲±1(池R)x +1其中m亡RI当"=

16、时，求曲线' ' '在点'-'处的切线方程;H当“时，求函数-的单调区间与极值.分析：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数 的单调性和极值等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.解:I当4时，""，,2(ia+l)-2x-2i2-2?所以曲线-：-：在点L 处的切线方程为(-2)Z 5252(2(;y" +lj 2x(2 +1)2(rc)(a-i-1)由于二，以下分两种情况讨论.1当-:-时，令，得到'，'当''变化时，八：-的变化情况如下表:fn-

17、jOO j1!说丿1a(1 >s a1 a )a0+o/W极小值/极大值oo a 所以了E在区间I/丿，仙+8内为减函数，在区间函数.1U 昇口"、X11 /1函数 戈在'处取得极小值T ，且八函数 '在二 了处取得极大值,：；，且' J ''.当丁变化时，的变化情况如下表:(6町a乩一一1a(1 】1 2 丿+00+/W极大值极小值/- 1内为增函数，在区间务i 内为-,*8所以I；在区间八'.；减函数.函数J；在人 处取得极大值 ，且'1 .函数“处取得极小值3. 2007安徽卷设-r "I令 '&#

18、39;'，讨论'，；在0，+ 内的单调性并求极值;H求证：当 x>1 时，恒有' 丫 ' ' " " I分析：本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力.解：21nz2a f小/V) = i+a > o)I根据求导法那么有=对Q) = x- 21njb> 0)故、-，刖>)二 1-？二匸(0)于是'， 列表如下: 2)2乳 *8肥0+呻极小值02故知二、込,在内是减函数，在 1 '内是增函数,所以在上_处取得极小值n由

19、 心知，八的极小值-.于是由上表知，对一切L c'，恒有从而当“时，恒有“"，故' 在内单调增加.所以当开A1时，/工?了1二0，即兀TTt?片+涮nx 故当 7 > 1 时，恒有 x > if x - 2a In x +1 .4. 2007湖北卷定义在正实数集上的函数 其中丄、J 设两曲线，>:-有公共点，且在该点处的切线相同.I丨用：表示，并求的最大值；II求证："；分析：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：I设'- ：1 与'一 '在公共点宀"处的切线

20、相同./rA=丙+2 口由题意xj +勿吗=3di2ln jt0 亠色'，或一一* 舍去.b = a1->r2a1 -3aaln a = a -Lna即有 <5 -. n令紅二孑-至也心0)那么如©二逊-畑) 于是当 i(l-31ni) :>0 ,即 0 uf 时，削；当1，即时，；fnr 1Q以辺ROkj为增函数，在I>故门在于是*：在门'的最大值为为减函数,3 I2F(x) = /(x)鼠(盘)二F -2iHX 3a lax> 0)n设一一；,故'“在"为减函数，在*为增函数,于是函数 九；在上的最小值是一 7 厂&

21、#39;' ： _'' _ '7,故当-匸时，有 即当 2%, /WsW5. 2007山东卷设函数I,其中一(I) 当J 时，判断函数在定义域上的单调性；(II) 求函数的极值点；Jr 】1 ln(+1) > 飞一飞(III) 证明对任意的正整数 灯，不等式“"1 都成立.八刃M是小和定义域(TW)分析：(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性, 同作用的结果;b>r0<-,b <0II需要分类讨论，由I丨可知分类的标准为：'CIII丨构造新函数为证明不等式效劳构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。解

22、：函数m 一的定义域为2x2 + 2x+i) =TH令:1 '，那么上递减，在即当,1上时，函数在定义域y上单调递增。(1 ,-KOI 2 丿上递增,bj呂(耳瓜址二一；+臼>0当 一时，= 2x2 + 2x > 0 , (_1,-Ko)、 a *在i.上恒成立II分以下几种情形讨论:1由I丨知当厂时函数-无极值点.b =-2当 -时,込+丄尸21-,-KO2b戈时，函数几在7十对上无极值点。b<23当'时，解- 得两个不同解亠J1-肚X1 =-i+ji-劝-i+丿一血上有唯一的极小值点° <b<2 时，“弐-*), 'lj在厂

23、I ' i 1都大于0，-' XI在- 上小于0 ,亠占2b可_此时'''J有一个极大值点1斗J1动 % 2和一个极小值点 综上可知:-1+亦' ' '时，'"在 '上有唯一的极小值点2时，'以丿有一个极大值点和一个极小值点h>-2时，函数山当 i = -l 时，=+ U令上二 -.：''上 一 '丨丄 1 .如f _號十万一 1'贝9在I厂山.上恒正，"力在0枷上单调递增，当工0严时，恒有垃"0 = 0即当川0，+®时，有+1

24、口忑+1 n 0Jnx+l >x3-?，_ 1 1 1 X In +1 A 2 g 对任意正整数打，取 打得 ；注意：不能论述清楚：时，函数在！ “丿上无极值点；当° -时，不能发现珂芒卜1.他，误判断为函数的极值点；在证明不等式时不能挖掘函数了舀的潜能找不到解题的突破口。点评：用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给岀了明确的取值范围后，应根据 '导函数的特点迅速判断' 1'或* -'求得的根