数学必修2第四章知识点小结及典型习题

1、第四章圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆,定点为圆心，定长为圆的半径 .二、圆的方程：标准方程和一般方程一标准方程:x a2 y b2 r2，圆心a,b，半径为r圆的参数方程还未学习，暂作了解r cos ,为参数 r sinx2为参数r cosr sin1、求标准方程的方法一一关键是求出圆心a, b和半径r待定系数法：往往圆上三点坐标，例如教材P119 例 2利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是: 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法无需记，关键能理解 条件相切

2、和相交。方程形式圆心在原点x2过原点a2 b2 a2 b20圆心在x轴上圆心在y轴上x2圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点x2b2b2二圆的一般方程x2Dx Ey FD2E24F与x轴相切 与y轴相切 与两坐标轴都相切1圆的一般方程的特点:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0 没有xy这样的二次项.D、E、F,只要(2)求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数求出这三个系数，圆的方程就确定了 .如教材R22例4几何特征较明显。(3)与圆的标准方程相比拟，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程 那么指出了圆心坐标与半径大小，2、Ax2By2CxyDxE

3、y F0表示圆方程，那么A BC 02DAACD2B 00E2 4AF3、常可用D2E24F0来求有关参数的范围。24、 1当 DE24F0时，方程表示圆，此时圆心为扌，半径为r 2 D4F;2当 D2E24F0时，表示一个点;3当 D2E24F0时，方程不表示任何图形。例：假设方程x2y2 ax22ay 2a a 10表示圆,那么实数a的取值范是。2 a 03三注意求圆方程的方法：条件，假设利用圆的标准方程，2或 a>23一般都采用待定系数法：先设后求。 需求出23确定一个圆需要三个独立a, b, r;假设利用一般方程，需要求出D, E, F;占八、1、判断方法：点到圆心的距离d与半径

4、r的大小关系2、d r 点在圆内；dr 点在圆上；d r 点在圆外涉及最值:1圆外一点B，圆上一动点P ,讨论PB的最值 PPB m;/ _BnJ.BC rPmaxBMPBmin |NB| |BC r, |PBmaX MB | bQ rmin另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。三、点与圆的位置关系2圆内一点A，圆上一动点P ,讨论PA的最值|PAmin |AN r |AC、PAmax | AM| AC思考：过此 A点作最短的弦？此弦垂直AC例：假设点1，1在圆x a知识要点 根本图形 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线I与圆C相切意味着什

5、么？ 圆心C到直线I的距离恰好等于半径r 常见题型一一求过定点的切线方程1切线条数：点在圆外一一 3条；点在圆上一一1条；点在圆内一一无 2求切线方程的方法及注意点i点在圆外 y a2 4的内部，那么实数a的取值范围是。A. 1<a<1 B. 0<a<1C.a< 1 或 a>1四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：D.a= ± 1判断方法如下:一直线与圆的位置关系 有相离，相切，相交 三种情况，1、设直线I : Ax By Cy b 2 r2，圆心C a, b至U直线I的距离为dAa Bb C，那么有B2d r 直线l与圆C相离；d r 直线l与

6、圆C相切；d r 直线l与圆C相交;这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围22、设直线 l:Ax By C 0，圆 C: x a2r，先将方程联立消元，得到一元二次方程之后，令其中的判别式为那么有0 l与C相离0 l与C相切l与C相交注：如果圆心的位置在原点，可使用公式XX。yy。2r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标,二直线与圆相切r表示半径。如定点p x, y0，圆:y b2 r2, x0a 2y。b 2 r2第一步：设切线I方程y y0 k x xd第二步：通过d r k,从而得到切线方程千万不要漏了!特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时

7、，应补上ii点在圆上1) 假设点x0, y0在圆x判断直线与圆相交的一种特殊方法一种巧合 关于点的个数问题如：1、假设圆X 32 y 52 r2上有且仅有两个点到直线 4x 3y 20的距离为1,那么半径r的取值范围是.答案：4,62、直线I : 3x +4y 12=0与圆C: C： (x 3)2 + ( y 2)2=4.请选择适当的方法判断直线l与圆C的位置关系；假设直线I与圆C相交，请求出直线I被圆C截得的弦长。解法1:代数法解法2:几何法总结:(1)代数法：设直线与圆的方程连立方程组，消元后所得一元二次方程为ax2 bx2 c 0 ,v''1 芒其两个不等实根为 X1 ,

8、 X2.那么其两点弦长为|AB|=|a|。几何法；设直线l : Ax+By+C=0，圆C： (x a)2 (y b)2 r2，圆心C(a, b)到直| Aa Bb C |'22线 I 的距离 d = A 2 B 2 ，弦长 |AB|=2 - r d 。 y2 r2上，那么切线方程为 x°x y°y r2会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目2 222) 假设点x0, y0在圆x a y br2上，那么切线方程为x0 a x a y0bybr2碰到一般方程那么可先将一般方程标准化，然后运用上述结果 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就

9、是一一判 断点与圆的位置关系，得出切线的条数。如: 1、过点P 1,1作圆X2 y2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程。答案：3x 4y 1 0和x 12、经过点P(1， 2)点作圆(x 1)2 (y 2)24的切线，那么切线方程为3、经过点P( 4， 8)点作圆(x 7)2 (y8)29的切线，那么切线方程为4、经过点P(1， 2)点且与圆(x 1)2 (y3)25相切的直线方程为3求切线长:利用根本图形,2 2AP CPAP CP r2求切点坐标：利用两个关系列出两个方程AC rkAC k AP1三直线与圆相交1、求弦长及弦长的应用问题：垂径定理 及勾股定理一一很常用弦长公式：|.厂

10、寸X1X21 k2x12X24X1X2暂作了解，无需掌握:直线过定点，而定点恰好在圆内3、圆x2 y2 4x 4y 10 0的上点到直线x+y 14=0的最大距离和最小距离为和。最大距离和最小距离的差为 五、圆与圆的位置关系：1、判定方法：常通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比拟来确定。2y 4x 4y 20，试判断圆说明：上述圆系不包括 C2 ；当1时，表示过两圆交点的直线方程公共弦2过直线Ax By C 0与圆x2y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为设圆 Ci: (x ai)2+(ybi)2=r2, C2： (xa2)2+ (y b2)2= R2 (设 R>r)当d 当d

11、当R 当d 当d 注意：R r时两圆外离，此时有公切线四条；R r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;R r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；R r时，两圆内含；当d 0时，为同心圆。圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连接圆心与切点或者连圆心与弦中点如：圆 Ci： x2 y2 2x 8y 80和圆 C2： x2和位置关系，假设相交，试求出它们的交点坐标。2、两圆公共弦所在直线方程2 2 2 2圆 G : x y D1x E1y F1 0，圆 C2: x y D

12、2x E2y F2 0，那么D1 D2 xE1E2 yF1 F20为两相交圆公共弦方程补充说明：假设G与C2相切，那么表示其中一条公切线方程;假设G与C2相离，那么表示连心线的中垂线方程两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例：圆C1： x2 y2 2x 0和圆C2: x2 y2 4y 0 ,试判断圆和位置关系，假设相交，那么设其交点为 A、B，试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。3、圆系冋题2 21过两圆C1 : x yD1xE2F10 和 C2: x2yD2xE2y 1F20交点的圆系方程为x2 y2 D1xEF12 2x y D2XE?yF201x2 y2 Dx Ey F

13、 Ax By C 0数学思想方法简介方程思想与坐标法r2有三个方面的应用:直线方程Ax+By+C=0与圆的方程(x a)2(y b)21通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间 的交点情况，从而判定直线与圆的之间位置关系，圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。| Aa Bb C2通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d = A 2 B 2 ，并比拟d与半径r的大小解决圆与直线的有关性质问题。或圆心距与圆半径的和或差大小的比拟，解决圆与圆之间的性质问题。(3)利用方程，任给一个坐标x的值，就可以求另一个坐标y的值解决实际问题专项练习：(1) 过原点且倾斜角为

14、 60°的直线被圆x2 y2 4y 0截得弦AB长为(2) 一圆上的两点 A(2， 3)、B( 2， 5)，且圆心 C在直线x 2y 3=0上，求此圆 C的方程求以点M(2， 1)为圆心且与直线 3x 4y+5=0相切的圆M的方程 求圆心在直线3x y=0上，与x轴相切，且被直线xy=0截得弦长为2, 7的圆C的方 程。 过点M( 3， 3)的直线1被圆C: X y 4x 求圆心在直线2x+y=0上，并且经过点 A(2， 1)，与直线x+y=1相切的圆方程 圆C与圆G : x2 y2 2x 0相外切，并且与直线1 : x+ - y=0相切于点P(3,-)的圆C的方程 以点P为圆心的圆

15、经过点 A( 1,0)和B(3，4)，线段的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4 矿.(1)求直线CD的方程。(2)求圆P的方程。 一条光线从点 A( 2，3)射出，经x轴反射后，与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切，求反射后的光线所在直线的方程。 一条光线从点 A( 1，1)射出，经x轴反射后，照射到圆 C： (x 3)2 (y 2)2 1的 一点上，求这条光线由 A点入射、反射到圆上的最短路程。 六、空间直角坐标系： 1、 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条且有单位长度的数轴 Ox、 Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做，x轴、y轴、z 轴叫做。在画

16、空间直角坐标系O-xyz时，一般使/ xOy=135 ° ,Z yOz=90 °。 2、 坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy平面、yOz平面、 zOx平面。 3、 在空间直角坐标系中， 空间一点M的坐标可以用有序数组(x , y, z)来表示，有序数组(x, y, z)叫做点M在空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x , y, z)，其中x叫做 坐标，y叫 做坐标，z叫做坐标0截得弦长为4、5 ,求直线I的方程。(6)求圆心在直线xy4=0上，并且经过圆2 2x y6x240和圆xy2 6y 280的交点的圆C方程。求过点M(3 , 1),且与圆C： x2

17、y22x 6y50相切于N(1 ,2)的圆C方程4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中， 令右手大拇指、食指和中 指相互垂直时，让右手大拇指指向为x轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。 注意：(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy , xOz , yOz上非原点的坐标有什么特点？在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上非原点的坐标有什么特点？xM:O严PMQ% y5、空间两点间的距离公式PlP2、(X1 X2)2(y1y2)2(Z1 Z2 )22在空间直角坐标系 O-xyz中，设点P(x, y, z)、A x1, y1, z1、B x2,

18、y2, Z2,2 2 2那么：点P到原点0的距离|OP|= X y z； 2A与B两点间距离公式|AB|= (X2 x1)(y22yi)(Z22Z1)点A与B的中点P x0, y0, z0坐标公式:XoX12X2, yoyi乙Z22专题例题与练习：例1.在空间直角坐标系中，到点M(3 , 1,标为例2.与点P(1,3,5)关于原点对称的点是(A、(一1, 3, 5)2)，N(0, 2，1)距离相等且在y轴上的点的坐例3.空间两点 M(2 , 对称，贝H m+n=例4.如图右侧，正方体(1 , 3, 5)3, 6), N( m,)c、(1, 3，一5)3, 2n)关于xOy平面D、(1， 3，

19、5)ABCD A' B' C'的棱长为 a,|BM|=|2MD 'I 点 N 在 A'上，且 |A ' N|3|NC',|试求 MN 的长. 练习1. 假设点A(1,1,1) , B( 3, 3, 3),那么线段AB的长为(A . 4 3B . 2,3C . 4.2D . 3 . 22. 在空间直角坐标系中，点P( 5, 2,3)到x轴的距离为(A. 5B. 293在空间直角坐标系中，点 那么点P的轨迹是()A .直线B .圆1 弋；DiL./例4图A)C. . 13D/.34P(x, y, z)满足方程(x + 2)2 + (y 1)2

20、 + (z 3)2 = 3,C .球面D .线段1空间中任意一点 只(为，,乙)到点巳区2乙)之间的距离公式:x轴、y轴、z轴CC1的中点的坐标为()1 1D. (2 ,兀,1).4. 点A( 3, 1,4), B(5 , 3, 6),那么点B关于点A的对称点C的坐标为5. 以正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为 建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，那么棱L丄1A.( r , 1 , 1).B.(1 ,三,1). C. (1 , 1,歹).6. 空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为 30的点有(A . 2个B. 1个C . 0个D .无数个7. A(1 , - 2,11), B(4 , 2, 3), C(6 , - 1, 4)，那么 ABC 的形状是()A .等腰三角形B .锐角三角形C .直角三角形D.钝角三角形&在空间直角坐标系中， 一定点到三个坐标轴的距离都是1,那么该点到原点的距离是()A.B. 3D.f七、 求最值问题方法主要有三种：1数形结合；2代换；3参数方程2 21实数x， y满足方程x y 4x 10，求：y1厂飞的最大值和最小值； 一一看作斜率；2y x的最小值；截距线性规划2 23x y的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方2AOB中，0B 3，0