一阶微分方程的常见类型及解法

1、13-12022-3-22类型一、可分离变量微分方程类型一、可分离变量微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 的常见类型及解法的常见类型及解法类型二、齐次方程类型二、齐次方程类型四类型四*、可用简单变量代换求解的、可用简单变量代换求解的 微分方程微分方程类型三、一阶线性微分方程类型三、一阶线性微分方程 （含贝努利方程）（含贝努利方程）13-22022-3-22分离变量分离变量 类型一、可分离变量的微分方程类型一、可分离变量的微分方程)()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22两边同时积分两边同时积分( )d( )dg yyf xx( )d( )d

2、g yyf xxC可可分离变量分离变量的微分方程的微分方程已已分离变量分离变量的微分方程的微分方程13-32022-3-22例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数为任意常数 )或或说明：说明：在求解过程中每在求解过程中每一步不一定是同解变形一步不一定是同解变形,因此可能增、减解因此可能增、减解.13-42022-3-22例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变

3、量得2dd ,1yxxyx 两边积分得两边积分得由初始条件得由初始条件得 C = 1, 故所求特解为故所求特解为 1)0(y13-52022-3-22类型二、齐次方程类型二、齐次方程ddyyxx令令,yux,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxudd,( )uxuux两边积分两边积分, 得得dln,( )uxCuu积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.求解步骤求解步骤:分离变量分离变量: 13-62022-3-22例例3. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得代入原方程得uuux

4、utan分离变量分离变量xxuuuddsincos两边积分两边积分得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为故原方程的通解为sinyC xx( C 为任意常数为任意常数 )。13-72022-3-22例例4. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:2d2,dyyyxxx变为 方方程程形形,xyu 令则有则有22uxuuu分离变量分离变量2dd,uxuux 积分得积分得,lnln1lnCxuu11d()d1xuuux 即代回原变量得通解代回原变量得通解即即Cuux )1()x yxCy(C 为任意常数为任意常数)13-82022-3-22类型三、一阶线性微分

5、方程类型三、一阶线性微分方程d)d( )(P xxyyQx若若 , 若若 , 称为称为一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程.称为称为一阶线性一阶线性齐次齐次微分方程微分方程;( )Q x 0( )0Q x 13-92022-3-220)(ddyxPxy1. 解一阶线性齐次微分方程解一阶线性齐次微分方程分离变量得分离变量得xxPyyd)(d两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为故通解为( ) dP xxyCe13-102022-3-22对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxPeCyd)(对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解一阶线

6、性非齐次微分方程解一阶线性非齐次微分方程)()(ddxQyxPxy常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exCy【即即即即设通解设通解xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得两端积分得】13-112022-3-22例例5. 解方程解方程 52d2(1) .d1yyxxx解解:原方程通解为原方程通解为225()d()d11252ln12ln123222(1)d

7、(1)d2(1)1d(1)(1).3xxxxxxyexexCexexCxxxCxxC522( ),( )(1) .1P xQ xxx 13-122022-3-22d( )( )(0,1)dyP x yQ x yx1. 解伯努利方程解伯努利方程变形得变形得1d( )( )dyyP x yQ xx令令1,zy利用利用一阶线性非齐次微分方程的方法求解，一阶线性非齐次微分方程的方法求解， 并将变换回代。并将变换回代。求解方法：求解方法：即即11d(1) ( )(1) ( )dyP x yQ xx(1)(1)d)d(P xQzzxx13-132022-3-22例例6. 解方程解方程 22ln .xyyx yx解解:原方程为原方程为21ln,yyxx yx是伯努利方程，是伯努利方程，13-142022-3-22类型四、可用简单变量代换求解的微分方程类型四、可用简单变量代换求解的微分方程解题思路解题思路:13-152022-3-22例例7. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:2sin (1).yxy 解解: 令令 , 1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan(（C 为任意常数）为任意常数）所求通解所求通解:13-162022-3-22例例8. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的