03-2 任意激励的受迫振动与隔振

1、燕山大学Yanshan University4.5 任意激励下的响应规律任意激励下的响应规律系统振动微分方程：系统振动微分方程：)(tFKxxCxm 对于任意激励的受迫振动对于任意激励的受迫振动, ,常用常用杜哈美积分杜哈美积分( (卷积积分卷积积分) )法求系法求系统响应。统响应。杜哈美积分法的基本思想：杜哈美积分法的基本思想：在在t=d间隔内，质量间隔内，质量m受到一受到一个微冲量个微冲量F d的作用。根据动的作用。根据动量定律，质量量定律，质量m在在d时间内将时间内将获得一速度增量获得一速度增量dv和位移增量和位移增量dx：1.2Fddvdxdv dmF F(t)(t)是时间的任是时间的

2、任意函数，如图所意函数，如图所示。示。其中，其中，dx为高阶无穷小为高阶无穷小量，忽略不计，即假设量，忽略不计，即假设系统来不及发生位移。系统来不及发生位移。燕山大学Yanshan University根据有阻尼自由振动对初始条件的响应：根据有阻尼自由振动对初始条件的响应：)sin()(tAetxdtn根据上述思想，问题简化为：根据上述思想，问题简化为：000,xxdv000,xxdv2200021000()nddnvxAxxtgvxtemFdtevdxdtddtdnnsinsin0 当当t 时，即在微冲量尚未作用前，系时，即在微冲量尚未作用前，系统不发生运动；统不发生运动； 当当t 时，在微

3、冲量时，在微冲量Fd作用下，系统作用下，系统相当于在初始条件相当于在初始条件 作作用下的自由振动。用下的自由振动。燕山大学Yanshan University 由于微冲量由于微冲量Fd不是作用在不是作用在t = 0时时刻，而是作用在刻，而是作用在t = 时刻，相当于时时刻，相当于时间右移了间右移了，因而系统在微冲量，因而系统在微冲量Fd作作用下用下的响应：的响应： 当激振力当激振力F()由瞬时由瞬时 = 0到到 = t连续作用时，系统的响应等于连续作用时，系统的响应等于一系列微冲量一系列微冲量Fd从从 = 0到到 = t分别连续作用下系统响应的叠加。分别连续作用下系统响应的叠加。)(sin)(

4、temFddxdtdn有阻尼杜哈美积分：有阻尼杜哈美积分：dteFmxdttdn)(sin1)(0无阻尼杜哈美积分：无阻尼杜哈美积分：0)(sin10dtFmxntn燕山大学Yanshan University以上两式的适应条件：以上两式的适应条件：零初始条件。零初始条件。任意初始条件（任意初始条件（t=0、x0、 ），有阻尼杜哈美积分：），有阻尼杜哈美积分： 0 x dteFmtxtxxexdtddddntnn)(sin1cossin0000任意初始条件（任意初始条件（t t=0=0、x x0 0、 ），无阻尼杜哈美积分：），无阻尼杜哈美积分：0 x 0)(sin1cossin000dtFm

5、txtxxntnnnn在通常情况下，一般都假定初位移在通常情况下，一般都假定初位移x0和初速度和初速度 均等于零。均等于零。0 x 燕山大学Yanshan University例例1 1 求无阻尼振动系统对正弦激振力求无阻尼振动系统对正弦激振力F()=F0sin的响应。的响应。响应方程响应方程001sinsin()tnnxFtdm0000221sinsin()cos() cos()21111sin()sin()22(sinsin)ttnnnnnttnnnnnnnnnntdttdtttt 结论：结论： (1)(1)式中第一项代表强迫振动，是以激励频率式中第一项代表强迫振动，是以激励频率进行的稳态

6、振动；进行的稳态振动； (2)(2)式中第二项是以固有频率式中第二项是以固有频率n n进行的自由振动。只要系统有阻尼存进行的自由振动。只要系统有阻尼存在，就迅速衰减，所以是瞬态振动。在，就迅速衰减，所以是瞬态振动。)sin(sin1220ttmFxnnn解：由无阻尼杜哈美积分解：由无阻尼杜哈美积分燕山大学Yanshan University例例2 2 求无阻尼振动系统对阶跃载荷求无阻尼振动系统对阶跃载荷F F0 0的响应。的响应。解：解：结论：结论： (1)(1)阶跃载荷阶跃载荷F F0 0使系统产生周期为使系统产生周期为T=2n、振幅为、振幅为F0k的振动；的振动；(2)(2)弹簧最大变形为

7、静变形的两倍。弹簧最大变形为静变形的两倍。)cos1()(cos)(sin002000tKFtmFdtmFxntnnntn阶跃载荷响应曲线阶跃载荷响应曲线燕山大学Yanshan University例例3 3 求无阻尼振动系统对矩形脉冲的响应。求无阻尼振动系统对矩形脉冲的响应。解：解：(1)0(1)0t tt t1 1时，振动系统的响应时，振动系统的响应由下式表示由下式表示(2) t t1 时时，F()=0)cos1 (0tKFxn10200011( )sin()sin()cos() costtnnnnnnFxFtdtdmmFtttK燕山大学Yanshan University另外一种解法另外

8、一种解法当当tt1时，激振力已经除去，系统以时，激振力已经除去，系统以t= t1时刻的位移和速度为初始条件、时刻的位移和速度为初始条件、按固有频率按固有频率n进行自由振动进行自由振动。011011(1cos)sinnnnFxtKFxtKcos)(cossin)(sin)cos1)(cos)(sin)(cos10111101111tttKFttttttKFttxttxxnnnnnnnnn无阻尼自由振动对初始位移无阻尼自由振动对初始位移 x1 和初始速度和初始速度 的响应的响应1x )cos1 (0tKFxn燕山大学Yanshan University振幅：振幅：式中：式中：T T系统自由振动的周

9、期。系统自由振动的周期。TtKFtKFtKFxxAnnn1010102121sin22sin2)cos1 (2结论：结论：常力除去后，振幅随比值常力除去后，振幅随比值t1T的变的变化而变化。化而变化。 (1)(1)当当t1=T2时，时，A=2F0K。系统响应如。系统响应如图图 (b)(b)所示。所示。(2)(2)当当t1=T时，时，A=0，即除去，即除去F0后，系统停止后，系统停止不动。其响应如图不动。其响应如图(c)(c)所示。所示。燕山大学Yanshan University产生这种现象的原因：产生这种现象的原因：)cos1 (sin)cos1 (12002000011tKFtdtKFtK

10、FdFWntnntn 当当t1 =T2时，时， ，所以，除去，所以，除去F0 后，系统保持这个能后，系统保持这个能量继续振动；当量继续振动；当t1 =T时，时，W=0，所以，所以， F0 除去后，系统静止于除去后，系统静止于平衡位置，不再运动。平衡位置，不再运动。KFW202F F0 0在在t t1 1时间内所作的功为时间内所作的功为燕山大学Yanshan University例例4 图示为一弹簧图示为一弹簧质量系统，箱子由高质量系统，箱子由高h处静止自处静止自由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量m上的最上的最大力是多少？假定质量大力是多少？假定质量

11、m和箱子之间有足够的间隙，不和箱子之间有足够的间隙，不会碰撞。会碰撞。 解：设解：设x与与y分别代表质量分别代表质量m与箱子与箱子的绝对位移，在自由下落过程中，的绝对位移，在自由下落过程中，质量质量m的运动微分方程为的运动微分方程为)(yxkxm 以以z=x- -y代表质量代表质量m相对于箱子的相对位移，有相对于箱子的相对位移，有yzzn 2式中式中mkn燕山大学Yanshan University假定箱子的质量远大于质量假定箱子的质量远大于质量m，因而可以认为质量，因而可以认为质量m的的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是由高运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是由高h处自由处自由下落，故有下

12、落，故有由杜哈美积分，有由杜哈美积分，有221gty gy 或tnnnntgtgz 0 2)cos1 (d)(sintgznnsinyzzn 22nzzg 这就是在箱子着地前质量这就是在箱子着地前质量m相相对于箱子的位移与速度。对于箱子的位移与速度。燕山大学Yanshan University设箱子着地的瞬时为设箱子着地的瞬时为t1，由自由落体知，由自由落体知ght21在着地瞬时，质量在着地瞬时，质量m的相对位移和相对速度为的相对位移和相对速度为同时箱子的速度为同时箱子的速度为1gty 11211(1 cos)sinnnnngztgzt 2(1cos)sinnnnngztgzt 燕山大学Yan

13、shan University 由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子着地的瞬间，质量子着地的瞬间，质量m相对箱子的位移与速度分别为相对箱子的位移与速度分别为01120111(1cos)sinnnnngzztgzzytgt 取瞬时取瞬时t1为初始瞬时，则箱子着地后质量为初始瞬时，则箱子着地后质量m相对箱相对箱子作自由振动，其相对运动方程为子作自由振动，其相对运动方程为 tztzznnncossin00ttgtttgnnnnnnncos)cos1 (sin)sin(12112)sin(tAn燕山大学Yanshan University212112)

14、cos1 ()sin(tttgAnnnn振幅和相位差为振幅和相位差为1111sincos1tgtttnnn通过弹簧传递到质量通过弹簧传递到质量m上的最大力等于上的最大力等于kA，即，即kAFmax212112)cos1 ()sin(tttkgnnnn燕山大学Yanshan University计算机模拟通过弹簧传递到质量计算机模拟通过弹簧传递到质量m上的最大力上的最大力燕山大学Yanshan University 机器运转时会发生振动，振动不仅会影响到机器本身的结构机器运转时会发生振动，振动不仅会影响到机器本身的结构强度，而且会影响机器的运行性能、降低效率。强度，而且会影响机器的运行性能、降低

15、效率。 机器的振动也会通过基础的传递而影响周围仪器设备，降低机器的振动也会通过基础的传递而影响周围仪器设备，降低其灵敏度和精度。其灵敏度和精度。 为了减小机器的振动或者为了减小传递给基础上的力，常在为了减小机器的振动或者为了减小传递给基础上的力，常在机器与基础之间安装弹簧和阻尼器用来隔振。机器与基础之间安装弹簧和阻尼器用来隔振。3.5 振动系统的隔振振动系统的隔振隔振：隔振：在振源和振动体之间设置弹簧和阻尼器系统，以减小或隔在振源和振动体之间设置弹簧和阻尼器系统，以减小或隔离振动的传递。离振动的传递。隔振分类：隔振分类：主动隔振主动隔振( (积极隔振积极隔振) )，被动隔振，被动隔振( (消极

16、隔振消极隔振) )。主动隔振：主动隔振：隔离机械设备通过支座传递给地基的振动，以减小动隔离机械设备通过支座传递给地基的振动，以减小动力的传递。力的传递。被动隔振：被动隔振：防止地基的振动通过支座传递给需保护的设备，以减防止地基的振动通过支座传递给需保护的设备，以减小运动的传递。小运动的传递。燕山大学Yanshan University 机器本身是振源，通过设置阻尼器和弹簧，使它与地基隔离机器本身是振源，通过设置阻尼器和弹簧，使它与地基隔离开来，隔掉传到基础上的力，以减小它对周围设备的影响。开来，隔掉传到基础上的力，以减小它对周围设备的影响。3.5.1 主动隔振主动隔振间谐激励间谐激励: :F=

17、F0sint主动隔振力学模型主动隔振力学模型系统响应系统响应: :sin()xXt振幅振幅: :2220)2()1 (1KFX通过弹簧传递给基础的力通过弹簧传递给基础的力: :sin()kFKXt通过阻尼器传递给基础的力通过阻尼器传递给基础的力: :)cos(tCXFc传递给基础的合力传递给基础的合力: :)cos()sin(tCXtKXFkc传递给基础合力的幅值传递给基础合力的幅值: :22220222)2()1 ()2(1)2(1)(FXKKCXFt燕山大学Yanshan University传递率或主动隔振系数传递率或主动隔振系数传递率或主动隔振系数传递率或主动隔振系数22220)2()

18、1 ()2(1FFTtr评价隔振效果的系数。传递率评价隔振效果的系数。传递率越低，隔振效果越好。越低，隔振效果越好。主动隔振系数主动隔振系数频率曲线频率曲线(1)(1)若使若使Ft F0，即，即Tr15 时，时，Tr曲线近似为水平线，下降效果不很明显，一般曲线近似为水平线，下降效果不很明显，一般取取=2.5=2.55.05.0。2(3)(3)当频率比当频率比 时，隔振系数随着时，隔振系数随着增加而提高，增大阻增加而提高，增大阻尼不利于隔振，因此盲目增加阻尼并不能得到好的隔振效果。尼不利于隔振，因此盲目增加阻尼并不能得到好的隔振效果。 2燕山大学Yanshan University在在重型锻锤隔

19、振系统重型锻锤隔振系统中应用粘滞阻尼减振器中应用粘滞阻尼减振器振振动动造造成成45 度度裂裂缝缝 重型锻锤是机械、冶金、汽车、船舶等行业广泛使用重型锻锤是机械、冶金、汽车、船舶等行业广泛使用的重要设备。锻锤在锻打坯料时将产生严重的振动和噪声，的重要设备。锻锤在锻打坯料时将产生严重的振动和噪声，许多生产车间的劳动条件因之而恶化，锤基的振动，又通过许多生产车间的劳动条件因之而恶化，锤基的振动，又通过土壤传给周围环境，对锻工、厂房、精密仪器仪表及工厂周土壤传给周围环境，对锻工、厂房、精密仪器仪表及工厂周围的居民生活构成一大公害。围的居民生活构成一大公害。隔振技术的实际应用隔振技术的实际应用燕山大学Y

20、anshan University弹簧弹簧粘带阻尼减振器粘带阻尼减振器 锻锤安装减振隔振系统之后，锻锤安装减振隔振系统之后，锻锤使用过程中对周围环境影响较小，锻锤使用过程中对周围环境影响较小，且衰减较快，明显地减少了振动与噪且衰减较快，明显地减少了振动与噪声这一公害。声这一公害。锻锻锤锤直直接接安安装装减减振振器器燕山大学Yanshan University粘滞阻尼减振器的结构与安装使用技术粘滞阻尼减振器的结构与安装使用技术下下底底座座直接直接弹性弹性支承支承隔振隔振系统系统 如图所示为并联粘滞如图所示为并联粘滞阻尼弹簧隔振器成一体安阻尼弹簧隔振器成一体安装于锻锤机体的底部。阻装于锻锤机体的底

21、部。阻尼器的特性基本上不受温尼器的特性基本上不受温度影响。实践证明，它已度影响。实践证明，它已可以作为一种标准隔振方可以作为一种标准隔振方案，几乎可以使用于所有案，几乎可以使用于所有种类的锻锤上。锻锤采用种类的锻锤上。锻锤采用弹簧弹簧粘滞阻尼减振器设粘滞阻尼减振器设备是一种最佳的选择。备是一种最佳的选择。燕山大学Yanshan University Santana轿车整车薄壁上粘贴高阻尼材料，以达到轿车整车薄壁上粘贴高阻尼材料，以达到减振降噪的效果。减振降噪的效果。燕山大学Yanshan University桥梁、高塔等高大建筑的消振桥梁、高塔等高大建筑的消振 高大的桥梁、铁塔等建筑物，四周用

22、钢索拉紧。高大的桥梁、铁塔等建筑物，四周用钢索拉紧。当受到风力、车辆和行人激励时，钢索会产生振动，进当受到风力、车辆和行人激励时，钢索会产生振动，进而使桥梁、铁塔等建筑物稳定性受到威胁。为此，在钢而使桥梁、铁塔等建筑物稳定性受到威胁。为此，在钢索上装有阻尼的动力消振器。索上装有阻尼的动力消振器。燕山大学Yanshan University从从20世纪世纪70年代以来，年代以来，人们开始逐步地把阻尼人们开始逐步地把阻尼减振技术转用到建筑、减振技术转用到建筑、桥梁、铁路等工程中，桥梁、铁路等工程中，并发展十分迅速。并发展十分迅速。在航天航空、军工、汽车等在航天航空、军工、汽车等行业中早已应用了阻尼器来行业中早已应用了阻尼器来减振消能。到减振消能。到20世纪末，全世纪末，全世界已有近世界已有近100多个结构工程多