微积分下第九章2(2)

1、http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法1一、利用极坐标系一、利用极坐标系计算二重积分计算二重积分二、小结二、小结第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法(2)http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法2D rdrr drddrr 2221)(21 ddrddrr2)(21 ddrr Ddyxf ),(一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分 d d Ao.)sin,cos( Ddrdrrrf 极坐标下的极坐标下的面积元素面积元素)( ddro rdrdd drrddr http:/mooker.80.hk二重积分的计算法

2、二重积分的计算法3.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图区域特征如图(极点在区域外极点在区域外), ).()(21 r Ddyxf ),(.)sin,cos( Ddrdrrrf o AD)(2 r)(1 rhttp:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法4AoD)( r.)sin,cos()(0 rdrrrfd(2)区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(极点在区域边界上极点在区域边界上)DA

3、O )( rhttp:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法5 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd (3)区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0(极点在区域内部极点在区域内部) 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:积分积分再对再对先对先对 rhttp:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法6思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)

4、(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(二重积分的计算法二重积分的计算法http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法77直角坐标系与极坐标系中直角坐标系与极坐标系中圆的方程圆的方程直角坐标直角坐标)0( a极坐标极坐标222ayx a ,)(222ayax .222axyx cos2a ).22( ).20( 直角坐标直角坐标极坐标极坐标Oxyaa2 http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法88 ,)(222ayax .222axyx cos2a ).232( 直角坐标直角坐标极坐标极坐标Oxya a2 ,)

5、(222aayx .222ayyx sin2a ).0( 直角坐标直角坐标极坐标极坐标Oxya2a http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法99 ,)(222aayx .222ayyx sin2a ).2( 直角坐标直角坐标极坐标极坐标Oxy a2 a http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法101.当区域是圆或圆的一部分当区域是圆或圆的一部分,或者区域或者区域D的的边界方程用极坐标表示较简单边界方程用极坐标表示较简单.何时采用极坐标系来计算何时采用极坐标系来计算? ?2.当被积函数为当被积函数为)(),(),(22xyfyxfyxf 等

6、形式等形式.http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法11解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx例例 写出积分写出积分的的极坐标二次积分极坐标二次积分 Dyxyxfdd),(其中积分区域其中积分区域形式形式,10 ,11),(2 xxyxyxDyxO11122 yx1 yxD 122yx 1yx Dyxyxfdd),( rrrrfd)sin,cos(d 1 cossin1 02 http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法12计算计算,dd)(22yxyxD 为由圆为由圆其中其中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyy

7、x4,22222 及直线及直线, 03 yx03 xy03 yx解解03 xyxOyyyx222 yyx422 32 61 sin4 r sin2 ryxyxDdd)(22 rrrdd2 )32(15 sin4 sin26 3 http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法13解解在极坐标系下在极坐标系下dxdyeDyx 22 arrdred0202 ).1(42ae 例例 计算计算,dd22yxeDyx 其中其中D:,222ayx . 0, 0 yxaDyxO:D,20 ar 0注注: 利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程

8、上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02 xexhttp:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法14解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2二重积分的计算法二重积分的计算法http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法15 Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayx

9、D 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 二重积分的计算法二重积分的计算法0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD对称性对称性质质0 ,0| ),(RyRxyxS http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法16,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率积分概率积分夹逼定理夹逼定理,时时当当 R,时时故当故当 R即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分2d02 xex),

10、1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI二重积分的计算法二重积分的计算法http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法17)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA,双纽线双纽线求曲线求曲线)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.(如图）如图）例例解解在极坐标系下在极坐标系下1DxyOA)33(2 a Dyxdd 2cos20dd46aarr yxdd41D面积面积http:/mooker.80.hk二

11、重积分的计算法二重积分的计算法184因被积函数因被积函数422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD极坐标极坐标 计算计算16:22 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在积分域内变号在积分域内变号.2xoyD1http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法19例例 求球体求球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面xayx222 )0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解 由对称性可知只需求第一卦限由对称性可知只需求第一卦限部分体积部分体积

12、V1, DyxyxaVdd44222xzoy2a14VV 被积函数被积函数( (曲顶曲顶) )为为: :)(4),(222yxayxfz 积分区域积分区域( (底底) )为为: :0,2:22 yaxyxD.cos20 ,20: arD Drrra dd4422http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法20 DrrraV dd4422 20d4 cos2022d4arrra d)sin1(3322033 a)322(3323 axzoy2a0,2:22 yaxyxD.cos20 ,20: arD http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法21

13、0.811.521D2DR DyxdxdyeI)(22 Drrdrde 2 Rrrdred02/4/2 Rre0)21(42 )1(82Re 例例 将累次积分：将累次积分： 22222202200yRxRRyRyxydxedyedxedye化为极坐标下的累次积分，并计算化为极坐标下的累次积分，并计算. .解解，很明显很明显21DDD http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法22二重积分计算步骤及注意事项二重积分计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便：

14、计算要简便：积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法23 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定再确定交换积分次交换积分次1. 交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式, 并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arc

15、tanxyf圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;二重积分的计算法二重积分的计算法http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法24 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号, 以消除被积函以消除被积函二重积分的计算法二重积分的计算法http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法25二重积分在

16、极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法26oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d 将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.原式原式=2 r21

17、 r1练习练习http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法27.22| ),(,22xyxyxDxdxdyID 其中其中计算计算yxo解解.)1, 1(一象限的交点为一象限的交点为易知此二圆周在第易知此二圆周在第,40:1 D 222 yxxyx222 .cos22 rI是偶函数，是偶函数，关于关于轴对称轴对称关于关于yxyxfxD ),(,1D)1 , 1(A cos2240cos2rdrrd.2 练习练习http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法28 三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标

18、与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角平面平面上式可看成是从极坐标上式可看成是从极坐标xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法29.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDD

19、vuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法30例例解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即http:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法31),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 eehttp:/mooker.80.hk二重积分的计算法二重积分的计算法32例例解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,co