三角形中的辅助线

1、三角形中的辅助线三角形中的辅助线 三角形三角形一章是同学们学习几何证一章是同学们学习几何证明的明的基础基础.在学习过程中在学习过程中,有些同学常常对有些同学常常对几何证明题几何证明题辅助线的添加辅助线的添加方法显得束手无方法显得束手无策策,下面我们就来一起探究三角形中常见下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法辅助线的作法.人说几何很困难，难点就在辅助线人说几何很困难，难点就在辅助线. . 辅助线，如何添？把握辅助线，如何添？把握定理定理和和概念概念. . 还要刻苦加钻研，找出规律凭还要刻苦加钻研，找出规律凭经验经验. . 图中有图中有角平分线角平分线，可向两边作，可向两边作垂线垂线. .

2、 也可将图对折看，也可将图对折看，对称对称以后关系现以后关系现. . 角平分线平行线，等腰三角形等腰三角形来添. 角平分线加垂线，三线合一三线合一试试看. 线段垂直平分线，常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短延长缩短可试验. 三角形中有中线，延长延长中线等中线. 1.三角形中的性质三角形中的性质: (1)(1)三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边, ,两边之差小两边之差小于第三边于第三边; ; (2)(2)三角形的三内角之和为三角形的三内角之和为180180度度; ; (3)(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和角之和.

3、.2.三角形中的线三角形中的线 :中线中线; ;高线高线; ;角平分线角平分线; ;中垂线中垂线. .(1)(1)等腰三角形等腰三角形; ;(2)(2)等边三角形等边三角形; ;(3)(3)直角三角形直角三角形; ;(4)(4)等腰直角三角形等腰直角三角形. .3.特殊的三角形特殊的三角形 :1.中线倍长法中线倍长法2.截长补短法截长补短法3. 角平分线构造全等法角平分线构造全等法4.垂直平分线垂直平分线5.补形法补形法常常 用用 辅辅 助助 线线连连 结结典例典例1:1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.A AC CB BD D1.1.连结

4、连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2.2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形典例典例2:2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .A AC CB BD D连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形E EM M连连 结结连连 结结典例典例3:3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCA AC CB BD D连结连结ADAD构造

5、全等三角形构造全等三角形N NM M典例典例4:4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .A AC CB BD D连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形O O连连 结结典例典例1:1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等

6、A AC CD DB BE E角平分线上向两边作垂线段角平分线上向两边作垂线段典例典例2:2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.A AC CD D过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等B BE E角平分线上向两边作垂线段角平分线上向两边作垂线段典例典例3:3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, ,求证

7、求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?A AC CD DB BF FE E角平分线上向两边作垂线段角平分线上向两边作垂线段2.2.如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延长延长BEBE和和CDCD交于点交于点F F构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F F

8、思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?A AC CD DB BE E角平分线上向两边作垂线段角平分线上向两边作垂线段1212典例典例4:4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.A AC CD D过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等B BF F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?E EP PG GO O角平分线

9、上向两边作垂线段角平分线上向两边作垂线段1.AD1.AD是是ABCABC的中线，的中线，A AB BC CD DE E)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=AEDE=AE，连结连结CE.CE.中线倍长中线倍长如图如图, ,ABCABC中中,A=90,A=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .B BA AC CD DE EAD+AE+DE=AD+AE+DE=BD+CE+DE=BD+CE+DE=BCBC垂直平分线两边连垂

10、直平分线两边连3.3.如图如图,A,A、A A1 1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2 2关于关于ONON对称对称. .若若A A1 1 A A2 2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. .B BA AC CO OM MAB+AC+BC=AB+AC+BC=A A1 1B+ AB+ A2 2C+BC=C+BC=A A1 1A A2 2A A1 1A A2 2N N垂直平分线两边连垂直平分线两边连4.4.如图如图, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求

11、，求ABCABC的周长的周长. .B BA AC CM MAB+BC+AC=AB+BC+AC=AB+BM+MC+6=AB+BM+MC+6=N NAB+BM+AM+6=AB+BM+AM+6=13+6=1913+6=19垂直平分线两边连垂直平分线两边连5.5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .B BA AC CP PAB+AC+BC=AB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6=AM+ BM+AN+N

12、C+6=N NAM+ MP+AN+NP+6=AM+ MP+AN+NP+6=13+6=1913+6=19M MAM+AN+MN+6=AM+AN+MN+6=等腰三角形性质等腰三角形性质例例4.如图如图,BCAB,BD平分平分ABC,且且AD=DC,求证求证AC=180.分析分析:我们要证我们要证AC=180.设法将设法将A和和C“搬搬”到一块到一块,拼成一个平角拼成一个平角,现有以下几种方现有以下几种方式式.又又BEDDEC=180,故故AC=180.证法证法1:如图在如图在BC上上截取截取BE=AB,连连DE,可证可证ABD EBD.得到得到DE=AD=DC,A=DEB,C=DEC,证法证法2:

13、如图如图延长延长BA至至F,使使BF=BC连接连接DF.则有则有BDF BDC,得得CD=DF=AD,C=F.由由BAF为平角可证结论成立为平角可证结论成立.证法证法3:如图如图,过过D分别作分别作ABC的两边的垂线的两边的垂线,E、F为垂足为垂足,则则DE=DF,易证易证ADF CDE,有有C=DAF,故故BADC=180.证法证法4:如图如图,过过A作作BD垂线交垂线交BC于于G,交交BD于于H,连连DC,易证易证ABH GBH, 则则AB=BG,AH=HG,根据等腰三角形的根据等腰三角形的“三线合一三线合一”知知DG=AD=DC.ABD GBD，BAD=BGD,故故BADC=180 .点

14、评：点评：1.四种证法都利用了四种证法都利用了“拼拼”的方法的方法,所不同所不同的是有的是有截取截取、延长延长、作垂线作垂线等方法等方法.2.前三种方法是利用前三种方法是利用构造全等三角形构造全等三角形和和等等腰三角形腰三角形作转化作转化,第四种方法是反复运用等腰三第四种方法是反复运用等腰三角形的性质进行转化角形的性质进行转化,这些方法具有代表性这些方法具有代表性.3.几何证题中要学会几何证题中要学会转化思想转化思想,它是一种常它是一种常用的数学思想方法用的数学思想方法,必须熟练掌握必须熟练掌握.1.已知已知:BC平分平分EBD,AFBC,F是是ED的中点的中点.求证求证:EG=AD分析分析:

15、有中线且证明有中线且证明两线段相等两线段相等,一般延一般延长构造全等三角形长构造全等三角形.延长延长GF到到 H使使FG=HF, 连接连接DH .证明证明:延长GF到 H使FG=HF, 连接DH . EBDCFAGH,.EBCDBCEGFAAHADDHEGAD F是ED 的中点EF=FD EGF DHF EGFH EG=DH,EGFEBCDBCA AFBC2.在等腰三角形在等腰三角形ABC的底边的底边BC上取任意一点上取任意一点D,过点过点D作作DEAB, DFAC.过点过点B作作AC边上的边上的高高BG.求证求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上

16、的高距离之和等于一腰上的高.分析分析:如图所示要证两线如图所示要证两线段之和等于第三边要么段之和等于第三边要么截长要么补短两种方法截长要么补短两种方法都行都行.由题意三条线段都由题意三条线段都是高线也可用面积相等是高线也可用面积相等来做来做. DE+DF=BG方法一方法一:(截长法截长法)H过D做DH BG交交BG于于H.则则DF=GH, BDE DBH得得BH=DE DE+DF=BG方法二方法二:(补短法补短法)延长FD,过B做BH FD交交FD于于H.则则HF=GB, BDE DBH得得DH=DEH方法三方法三:(等积法等积法)连接ADABCADCABDSSSBGDFDEBGABDFDEA

17、BACABBGACDFACDEAB)(2121213.已知如下图示已知如下图示:D、E为为ABC内两点内两点,求证求证:ABACBDDECE.ABCDENM分析分析:本题求证几边之和大于另外几边之和的问题,通常构造三角形通常构造三角形,利用利用两边之和大于第三边两边之和大于第三边,从而求解.有两种方法.ABCDENM证明证明:(法一法一)将将DE两边延长两边延长分别交分别交AB、AC 于于M、N,在在AMN中中,AMAN MDDENE; (1)在在BDM中中,MBMDBD; (2)在在CEN中中,CNNECE； (3)由由(1)(2)(3)得得:AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEAB

18、ACBDDEEC 法二法二:如右图如右图, 延长延长BD交交 AC于于F,延长延长CE交交BF于于G,在在ABF和和GFC和和GDE中有中有: ABAF BDDGGF(三角形两边之和大三角形两边之和大于第三边于第三边) （1）ABCDEFGGFFCGECE(同上同上)（2）DGGEDE(同上同上)（3）由由(1)(2)(3)得得:ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC.4.如图如图:已知已知D为为ABC内的任一点内的任一点,求证求证:BDCBAC.AD .CBEF分析分析:要证明两角的大小要证明两角的大小,尽尽量把这两角向一个三角形中量把这两角向一个三角形中转化转

19、化,利用大角对大边利用大角对大边;如果如果不行可以利用三角形的外角不行可以利用三角形的外角定理定理;也可以放缩也可以放缩.同理同理DECBAC,证法一证法一:延长延长BD交交AC于点于点E,这时这时BDC是是EDC的外角的外角,BDCBACAD .CBEBDCDEC,即：即：BDCBAC.AD .CBF证法二证法二:连接连接AD,并延长交并延长交BC于于FBDF是是ABD的外角的外角BDFBAD，同理，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD12345.已知已知ABC,AD是是BC边上的中线边上的中线,分别以分别以AB边、边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形边为直角边各向形外作等腰直角

20、三角形,如下图如下图, 求证求证EF2AD. ABCDEF分析分析:本题要证倍半需延长短的线段.G延长AD到G 使DG=AD, 连接BG证明证明:延长AD到G 使DG=AD, 连接BG.可证BGD CAD23，BG=AC,ABE和ACF是等腰直角三角形.BAE=CAF=90,AB=AE,AC=AF.EAF=360-90-90-(1+2)=180-(1+2) EF=AG=2ADGABCDEF1 23在ABG中ABG=180-(1+3)ABG=EAF,可证可证EAF ABG (SAS)6.如图如图:已知已知ACBD,ADAC于于A ,BCBD于于B,求证求证:ADBC分析分析:要证两线段的长相等要证两线段的长相等,需需要构造全等三角形要构造全等三角形,利用全等利用全等三角形对应边相等即可三角形对应边相等即可.可