弹性力学绪论

1、1-1 1-1 弹性力学研究内容弹性力学研究内容1-2 1-2 弹性力学基本假定弹性力学基本假定1-3 1-3 弹性力学几个基本概念弹性力学几个基本概念1-4 1-4 弹性力学问题的提法弹性力学问题的提法1-5 1-5 弹性力学参量的张量记法弹性力学参量的张量记法1-1 1-1 弹性力学研究内容弹性力学研究内容一一. . 研究内容研究内容材力材力: : （内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料 的宏观力学性质、破坏准则等。的宏观力学性质、破坏准则等。 结力结力: :（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下（内容）杆件系统（杆系结构）

2、在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。的应力、变形、位移等变化规律。 （任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力: :（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。位移等分布规律。 （任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 二二. . 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力：1. 1. 研究对象研究对象杆件（

3、直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结力：杆件系统（或结构）杆件系统（或结构）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等2. 2. 研究方法研究方法材力：材力：借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。析，放弃了材力中的大

4、部分假定。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学结果弹性力学结果材料力学结果材料力学结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸 弹性力学以微元体弹性力学以微元体为研究对象，建立方程为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果的一般规律。所得结果更符合实际。更符合实际。3. 3. 数学理论基础数学理论基础材力材力结力结力 常微分方程（常微分方程（4 4阶，一个变量）。阶，一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法：能量法（变分法）、差分法、有数值解法：能量法（

5、变分法）、差分法、有限单元法等。限单元法等。三三. . 与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩土力学、振动理论、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩土力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。有限单元法等课程的基础。1-2 1-2 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定d0ddlimdssss 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。较好；研究物体的微观力学性质

6、时不适用。作用：作用： 使得使得 、 、u 等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。( , , )x y z( , , )uu x y z( , , )x y z并保证各量的极限，如并保证各量的极限，如存在。存在。如如二二. . 线弹性假定线弹性假定 假定物体完全服从胡克（假定物体完全服从胡克（Hooke）定律，应力与应变）定律，应力与应变间成线性比例关系（正负号变化也相同）。间成线性比例关系（正负号变化也相同）。比例常数比例常数 弹性常数（弹性常数（E、）脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料 比例阶段，可视为线弹性

7、的。比例阶段，可视为线弹性的。三三. . 均匀性假定均匀性假定作用：作用： 可使求解方程线性化可使求解方程线性化 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、 ）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。四四. . 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、 ）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；金属金属 上述

8、假定符合较好；上述假定符合较好；木材、岩石木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；上述假定不符合，称为各向异性材料；符合上述符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。个假定的物体，称为理想弹性体。五五. . 小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。位移远远小物体的原来的尺寸。1,1作用：作用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。使求解的方程线性化。附：附： 工程力学问题的建模分析过程

9、工程力学问题的建模分析过程 工程力学问题建立力学模型的过程中，一般进行三方面简化：结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。 在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：线性化 对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。 模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证，一般通过实验验证：直接实验验证 直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型实验 相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相

10、似的。1-3 1-3 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念一一. . 外力外力体力、面力（材力：集中力、分布力。）1. 1. 体力体力VbF 弹性体内单位体积上所受的外力。弹性体内单位体积上所受的外力。bb0limVFFV 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkbxFbyFbzFbbbbxyzFF iF jF kFbx、Fby、Fbz为体力矢量在坐标轴上的为体力矢量在坐标轴上的投影，称为体力分量。投影，称为体力分量。单位：单位： N/m3kN/m3说明：说明：(1)(1) 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数(2)(2) 的形式是任意的的形式是任意的( (如重力

11、、磁场力、惯性力等如重力、磁场力、惯性力等) )(3)(3) Fbx、Fby、Fbz 的正负号由坐标方向确定的正负号由坐标方向确定bFbF2. 2. 面力面力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力Sps0limSppS 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxpypzpsxyzpp ip jp kpx 、 py、 pz 为面力矢量在坐标轴上的投为面力矢量在坐标轴上的投影，称为面力分量。影，称为面力分量。单位：单位：1N/m2 =1Pa ( (帕帕) )1MN/m2 = 106Pa = 1MPa ( (兆帕兆帕) )说明：说明：(1)(1) ps 是坐标的

12、连续分布函数；是坐标的连续分布函数；(2)(2) ps 的加载方式是任意的；的加载方式是任意的；(3) (3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。xpypzp二二. . 应力应力1. 1. 一点应力的概念一点应力的概念内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.SCP0limCSNCppS(1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量:P点的点的应力应力的极限方向的极限方向p由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度

13、应力分量应力分量N(法线法线)NN法向分量法向分量N 正应力正应力切向分量切向分量N 切应力切应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布应力关于坐标连续分布( , , )Nx y z( , , )Nx y zNppC2. 2. 一点的应力状态一点的应力状态 通过一点通过一点P 可作无穷多个截面，各个截面上应力状况的可作无穷多个截面，各个截面上应力状况的集合集合 称为称为一点的应力状态一点的应力状态x面的应力：面的应力：,xxyxz y面的应力：面的应力：,yyxyzz面的应力：面的应力：,zzxzy 根据空间的三维性，用三个特殊截面来代表。即通过一根据空间的三维性，

14、用三个特殊截面来代表。即通过一点点P 可作三个相互垂直的截面，该三个截面上应力状况的集可作三个相互垂直的截面，该三个截面上应力状况的集合就完整地代表了合就完整地代表了P点的应力状态点的应力状态1）P 点的位置点的位置 P(x，y，z)2）C 截面的方位截面的方位 N(l1，l2，l3)3） 的数值大小的数值大小P点全应力的完整意义：点全应力的完整意义：共九个分量共九个分量用矩阵表示：用矩阵表示：xxyxzyxyyzzxzyz 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。xyxyyxyzzy切应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：zxxz第第1个下标个下标 x ，表示表示 所在面的法线方向；

15、所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y ，表示表示 的方向的方向.应力正负号的规定：应力正负号的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。切应力切应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx用微元体表示：用微元体表示：与材力中切应力与材力中切应力 正负正负号规定的区别：号规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时转的规定使得单元体顺时转的剪应力剪应力 为正，反之为负。为正，反之为负。xyyx 在用应力莫尔圆时必须

16、用此规定在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxxyzOP线应变：线应变：rdsrdsd0ddlimdrssss称为称为 P 点沿点沿 r 方向上的方向上的线应变线应变角应变：角应变：srsrrsrsrs称为称为 P 点在点在 rs 方向上的方向上的角应变角应变三三. . 变形变形1. 1. 一点变形的度量一点变形的度量工程应变的定义工程应变的定义变形变形 物体的形状改变物体的形状改变线元长度的改变线元长度的改变两线元间夹角的改变两线元间夹角的改变应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正，缩短时为负伸长时为正，缩短时为负

17、角应变：角应变： 夹角变小时为正，变大时为负夹角变小时为正，变大时为负 过过 P 点所有方向上的线应变和角应变的集合称为点所有方向上的线应变和角应变的集合称为P点的应点的应变状态变状态过过 P 点可有无穷多个方向的线元点可有无穷多个方向的线元2. 2. 一点的应变状态的描述一点的应变状态的描述 根据空间的三维性，用三个特殊方向根据空间的三维性，用三个特殊方向来代表。来代表。xyzOPrstdzdxdy 即通过一点即通过一点P 可作三个相互垂直可作三个相互垂直的线元。的线元。 该三线元长度改变（线应变）和该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整线元间夹角改变（角应变）的集

18、合就完整地代表了地代表了P点的应变状态点的应变状态 根据应变定义根据应变定义三个线应变：三个线应变：rxsytz三个角应变：三个角应变：rsxystyztrzx共六个分量。即该六个分量可完整描述共六个分量。即该六个分量可完整描述P点的应变状态。点的应变状态。相互垂直线元的线应变和角应变也称为相互垂直线元的线应变和角应变也称为工程正应变工程正应变和和工程切应变工程切应变写成矩阵形式写成矩阵形式112211221122xxyxzyxyyzzxzyz其中其中zxxzxyyxyzzy应变无量纲；应变无量纲；四四. . 位移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量应变分量均为位置坐标的函数，即应变分

19、量均为位置坐标的函数，即( , , ),xxx y z( , , ) ,xyxyx y zxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移分量；方向的位移分量；v y方向的位移分量；方向的位移分量；w z方向的位移分量。方向的位移分量。量纲：量纲：m 或 mmSS已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。为了建立数学模型需研究三个方面的关系：为了建立数学模型需研究三个方面的关系：（1）静力学关系静力学关系： 应力与外力应力与外力(体力、面力体力、面力)

20、间的关系；间的关系；（2）几何学关系几何学关系：形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；（3）物理学关系物理学关系： 形变与应力间的关系形变与应力间的关系(本构关本构关系系) 。1-4 1-4 弹性力学问题的提法弹性力学问题的提法综合三个方面的关系建立综合三个方面的关系建立数学模型数学模型数学模型的求解数学模型的求解力学模型力学模型 l前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；其表示方法引用的是记号法；1-5 1-5 弹性力学参量的张量记法弹性力学参量的张量记法l上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标

21、表示法）上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法）开始出现在力学文献及教科书中。开始出现在力学文献及教科书中。 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。这是一种公认的弹性力学参量表示方法。l张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。一一. . 指标符号指标符号位移分量位移分量u、v 、w可可表示为表示为u1 、u2、u3，缩写为缩写为ui（i =1, 2, 3）坐标坐标x、y、z可可表示为表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为，缩写为xi（i =1, 2, 3）单位矢量单位矢量 可可表示为表示为 ，缩写为，缩写为 （i =1, 2, 3）ijk、

22、、ie 在在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可坐标系下具有相同性质的一组物理量，可用一带下标的字母表示。如用一带下标的字母表示。如应力分量：应力分量：xxxyxzyxyyyzzxzyzz可表示为：可表示为：111213212223313233123eee、 、缩写为缩写为(1, 2,31, 2,3)ijij2221,yyyyxyx其中，如其中，如同理，应变分量可缩写为：同理，应变分量可缩写为：(1, 2,31, 2,3)ijij向量向量 表示为表示为a31 12 23 31i iiaa ea ea ea e三阶线性方程组三阶线性方程组11121312122232313233

23、3a xa ya zPa xa ya zPa xa ya zP可表示为可表示为1 12233(1,2,3)iiiia xa xa xPi31(1,2,3)ijjija xPi缩写为缩写为111213212223313233112211221122xxyxzxxxyxzijyxyyyzyxyyzzxzyzzzxzyz二二. . 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和求和，重复指标，重复指标称为称为哑指标（简称（简称哑标）；）；(1,2,

24、3)i iiaa e例：例：(1,2,3;1,2,3)ijjiija xP求和指标求和指标j-求和指标求和指标i-自由指标自由指标11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xPa xa xa xPa xa xa xP1 12 23 3aa ea ea e非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历列出列出，非重复指标出称为，非重复指标出称为自由指标（简称（简称自由标）。）。1 12233iiiia xa xa xPj求和i历列说明：说明：l（1）对于重复次数大于）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。的指标，求和约定无效。例：例：l（2）哑标的有效范围仅限于本项。）哑标的有效范围仅限于本项。l（3）多重求和可采