第二次二重积分计算一课件

1、xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体 baxxAVd)(.aV 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域)y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d z=f (x,y) Dyxy,xfId)d(y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d z=f (x,y) baxy,xf)d()(yQ yyyxfz),( 问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？Q( y ) =是曲边梯形。是曲边梯形。 Dyxy,xfId)d(.

2、二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域). dcyyQ)d(I0 xz yyabcdD dcbaxy,xfy)d(d. baxy,xf)d(Q( y ) = dcyyQ)d(I同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分 badcyyxfxId),(d. Dyxy,xfId)d(z=f (x,y)D是矩形区域是矩形区域 a,b ; c,d 二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形区域是矩形区域)0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)yD: (y) x (y) c y d 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域） Dyxy,xfId

3、)d(0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)(yQ.y问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？D: (y) x (y) c y d yyyxfz),(也是曲边梯形也是曲边梯形 ! Dyxy,xfId)d(. )( )( )d,(yyxyxfQ( y ) = dcyyQ)d(I = 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）.0 xz yx= (y)ycdD dcyyxyxfy)( ) )d,(d(.D: (y) x (y) c y d. Dyxy,xfId)d( )( )( )d,(yyxyxf dcyyQ)d(Q( y ) =I =二重积分的

4、计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）x= (y)z=f (x,y)如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba直角坐标系下计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DX型区域的特点型区域的特点：

5、穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先积分次序：先Y后后X。Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先积分次序：先X后后Y。若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则须进行分割则须进行分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解：解

6、： 积分区域如图积分区域如图 如果积分区域即是如果积分区域即是X-型又是型又是Y-型的型的 ，则重积分既可以，则重积分既可以转化为先对转化为先对x后对后对y的的 ，也可以转化为先，也可以转化为先y后后x的二次积分（的二次积分（累次积分）累次积分）xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解：解：积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解：解：= ayaaaydxyxfd

7、y02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a0y x2a2aaD:axyxax22 2 解：解：0 x 2aD1D2axy2 yaax . yaax . )d,(d20222 aaayxyxfy )d,(d ayaayaaxyxfy. . DD I . )d,(d20222 aaxxaxyyxfxI注：注：这种方法要求这种方法要求 f (x, y) 在在D2上有定义甚至连续上有定义甚至连续解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2

8、1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 0y x1133y = xx = y 2D yyxyxyId yd.31 : , dd 222 yyxyDyxyxyID.2ln21123 . 计算计算例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解：解： 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21

9、(61e 例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解：解： dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 所围区域所围区域 与与 xyxyDyxxyD : , dd 11y = x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形 Dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）. Dddyx

10、xyy = x yyxxyd yd241 .用两种顺序计算用两种顺序计算x0z yab1. . 平面所围成的体积平面所围成的体积与与 求椭圆抛物面求椭圆抛物面xoybyaxz 1 2222 1 :2222 byaxDxyD1 Vx)byax(ybybbadd byybba023223d)(324 204dcos38 ab（定积分三角代换）（定积分三角代换）2423138 abab2 .yxbyaxDd)d( 瓦里斯公式瓦里斯公式= dxxn20sin dxxn 20cos )( , 2! ! !)!1()( , ! ! !)!1(为偶数为偶数为奇数为奇数nnnnnn 二重积分在直角坐标下的计算

11、公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型D: 由四条直线由四条直线 : x=3，x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同围成的区域共同围成的区域 .oxy35583x 2y+4 = 03x 2y+1 = 0D I. 21985)42(31d),(dxyxfyyD1D2D3 321DDDI先对先对y积分【积分【X-型】型】先对先对x积分【积分【Y-型】（需分块）型】（需分块）.213219 8213)12(31)42(31d),(dxyxfyyy 2135)12(313d),(dxyxfyy. 53)43(21)13(21)d,(dxxyyxfx Dyxy,xfId)d(yxoabDyxoabDyxoabD baybaxyxfyId)