刚体绕定轴转动微分方程

1、关于刚体绕定轴转动微分方程现在学习的是第一页，共15页w设定轴转动刚体某瞬时的角速度为，角加速度为F)e(iF) i (iw设其上第i个质点所受的外力为 ，内力为w因刚体作定轴转动，故只考虑力矩的效应)()() i ()e(FFFiizizmmw第i个质点所受的力Fi对转轴z轴之矩为zF)e(iaitainrimi)()() i ()e(FFizizmmrmii2)(e)(e)(e)FFFizinitzm)()()(e)(e)(e)FFFizzinzitzmmm)(e)Fitzmramiitirrmiii对整个刚体)()()(i)(e)FFFizizizmmm)(e)Fizm现在学习的是第二页

2、，共15页rmJiiz2令)(e)FizzmJ即刚体对z轴的转动惯量转动惯量,它是转动刚体惯性的度量定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。刚体定轴转动微分方程现在学习的是第三页，共15页ORdxxrmJiiz2lxdxlm0232lmRzOrmJiiz2Rmi2Rm2ROrrdrRmJ022222RmmimJzzrdrlxzO现在学习的是第四页，共15页riyzxOmi Jz= JC+ md2刚体对任一定轴z轴的转动惯量Jz ，等于它对通过质心C且与z轴平行的C轴的转动惯量JC，加上其质量m与两轴间的距离d的平方乘积。rmJiiz2)(22yxm

3、iii)()( 22yyxxmiCiCi)()(2222yxmmyxiiiiCCymyxmxiiCiiC22z 轴过质心C, 则 00ymymxmxmCiiiCiii故C zxydri【证明】设质心C的坐标为 (xC,yC),则任一点mi的坐标满足: xi=xC+ xi, yi=yC+ yirmdmJiiz22即JdmC2JJCzmin显然 0yxCC现在学习的是第五页，共15页【例6-1】图示质量为 m长度为l 的均质直杆OA和质量为 m 半径为 R的均质圆盘 C在A点刚性连接，求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转动惯量。【解】 JO = JO(OA) + JO(C)2)(31mlJOAO

4、2)()()(RlmJJCCCOmlRmRmlJO223342222)(21RlmmROCA现在学习的是第六页，共15页w 由质心运动定理得 w 刚体的平面运动可视为随质心（基点）的平动和绕质心的转动的合成。w 由相对于质心的动量矩定理得 CrCFriCm )(FiCCMJ )(FiCCiyCixCMJFymFxm w应用时多取投影式DO现在学习的是第七页，共15页【例6-6】均质圆轮C质量为m，其上绕以细绳，绳的一端固定于O点。求其下降时质心 C 的加速度和绳的拉力。OC【解】1）轮C作平面运动运动微分方程为TCmg)(FiCCiyCMJFym TrrmTmgymC 22 ryC2）轮C左边

5、沿与绳接触点I为瞬心3）求解mgT31gyC32 yC I现在学习的是第八页，共15页AO【例6-7】 均质圆盘O和C的质量分别为M和m，半径分别为R和 r。圆盘O 可绕通过点 O 的水平轴转动，绳的一端绕在圆盘O上，另一端绕在圆盘 C上。求当圆盘C下落时质心C的加速度及绳AB段的张力。TCBTmgMgNyA OyB yCr C【解】1）轮O作定轴转动其平面运动微分方程为)(FiOOOMJ CCrry点C的绝对加速度mMMmgT23mMgmMCy23)(2 2）轮C作平面运动FymiyC Tmg )(FiCCCMJ TrTR点B为相对瞬心CrBCyyy 4）求解CrAyy 点A的加速度 OAR

6、y 其平面运动微分方程为现在学习的是第九页，共15页【例6-8】长为l 质量为m 的均质直杆A端用细绳悬挂于天花板上，B端静止放置于光滑水平面上。求突然剪断绳时点 B 的加速度及杆AB的角加速度。OABCmgNatCBaC【解】1）AB杆作平面运动列平面运动微分方程) 1 (NmgamCsin5 . 0NlJC)2(sin6Nml 2）分析B点的加速度aaaanCBtCBCB因=0，故0anCB求aB的投影0sinaaatCBCBy）（即4cos5 . 0laB)sin31 (22sin32gaBlg)sin31 (sin62)3(sin5 . 0laCcosaatCBBxcos5 . 0 l

7、3）求解aC现在学习的是第十页，共15页AOCBr【例6-9】图示半径为r质量为m的均质圆轮上缠以无重水平细绳，A端固定。轮心O处作用一水平常力FO，轮与水平地面间的动滑动摩擦因数为f。设力FO足够大，使轮心O水平向右运动，轮子转动使不可伸长细绳展开。求在FO作用下轮心O从静止开始走过s段路程时轮子的角速度和角加速度。FCmgNFFO【解】1）列轮子运动方程FxmixO FFFamCOO)(FiOOMJ FymiyO Nmg 0rFFrmC)(224）摩擦条件：F=Nf2）C为瞬心，则满足 aO= r， vO= r5）求解：mrmgfFO3)2(23）匀变速运动学条件msmgfFrO3)2(2

8、aO022vasOO现在学习的是第十一页，共15页C【例6-10】质量为m半径为r的均质圆柱C无初速的放在质量为M倾角为 的斜面上，斜面与地面光滑接触 。不计滚动阻力，求斜面的加速度、圆柱中心 C 点的相对加速度和角加速度。mgNaraeae【解】1）若斜面与圆柱光滑接触，圆柱受力如图。sin)cos(NaamamerCx0JC0 cos)sin(NmgamamrCy整体的动量在水平方向守恒0)cos(aMaameergmMmae)sin(22sin2gmMmMarsinsin)(2求解：显然圆柱只滑不滚。现在学习的是第十二页，共15页CmgNaraeFae2）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作纯滚动。)cos(aamamerCxFrJC)sin(amamrCy整体动量水平方向守恒0)cos(aMaameergmmMmaesin232sin2gmmMmMarsin23sin)(22求解rarcossinFNsincosFNmg圆柱的牵连运动为平动grmmMmM)sin23(sin)(22现在学习的是第十三页，共15页CmgNaraeFae3）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作既滑动又滚动。)cos(aamamerCxFrJC)sin(amamrCy整体动量水平方向守恒0)cos(aMaameergmmfMfmaesin2sin5 . 0cos