工力章弯曲应力

1、 5-1，5-4，5-9(b)、(c)PP 梁的梁的横截面具有对称线横截面具有对称线，所有，所有对称线组成对称线组成纵向对称平面纵向对称平面，外载荷作用，外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线。称平面内弯曲成一条平面曲线。平面弯曲：平面弯曲：P5-1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力MPaPPQ0,0 MQ横力弯曲：横力弯曲：纯弯曲：纯弯曲：aaPPxyQ=0,M 0 与剪力对应 与弯矩对应M中性层 通过实验观察，可以总结出通过实验观察，可以总结出现象：现象：mm,nn变形后仍为直线。 bb伸长，aa缩短；推断：推断：同层纤维变

2、形相 等；中性层没有变形。变形后(小变形)mmnabnaboonmxamnabb变形前ooyz中性轴z假设：假设：平截面假设。 d)y(bb doo mmnabnabdyoo中性层曲率半径中性层曲率半径(1) - yddd)y( ( 与 y 成正比)(2) - yE (中轴性尚未确定, y、 未知)假设假设: : 各层纤维之间无挤压作用各层纤维之间无挤压作用; ; 各条纤维为单向拉压受力。各条纤维为单向拉压受力。xz y( (中性轴中性轴) ) ( (对称轴对称轴) )zydA0 AdAN - (3)- (3) AydAzM0 - (4)- (4)MdAyMAz - (5)- (5) 将(2)

3、代入(3) AAydAdAyE00 将(2)代入(4) AAzydAdAyzE00 0 AdAN -(3)-(3) yE -(2)-(2) AydAzM0 -(4)-(4)zy ( (对称轴对称轴) )xz ydA( (中性轴中性轴) ) (2)代入(5)式： AMdAyyE AzIdAy2)6(1zEIM (6)代入(2)式yIMz - (7)- (7)zy ( (对称轴对称轴) )xz ydA( (中性轴中性轴) ) yE -(2)-(2)MdAyMAz -(5)-(5)称截面对称截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩zIz=bh3 /12bh2 2、上式可用于横力弯曲细长梁。对横力弯曲梁，、上式可

4、用于横力弯曲细长梁。对横力弯曲梁，由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而要发由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而要发生翘曲。但对细长梁，用上式计算正应力生翘曲。但对细长梁，用上式计算正应力, ,误差误差很小。很小。 yIMz 3 3、上式可用于细长曲梁。、上式可用于细长曲梁。4 4、上式可用于细长变截面梁。、上式可用于细长变截面梁。1 1、上式可用于任何具有、上式可用于任何具有纵向对称面的平面弯曲纵向对称面的平面弯曲梁。梁。如三角形，圆形，半圆形，工字型，如三角形，圆形，半圆形，工字型，T T形截面梁。形截面梁。例：例：求C截面k点正应力。 解：解： （1）截面弯矩：)mN(.PaMc 33

5、10321051已知：m.y,m.b,m.h060120180 ,ma,kN.P251 ybh/2h/2kzPaC（2）惯性矩：)(10583. 01218. 012. 0124433mbhIz （3）k点应力：)( 拉MPa.)m/N(.yIMzck093100930601058301032643 ybh/2h/2kzPac 5-2 惯性矩的计算一. 简单截面的惯性矩：hzybyz3z1I12bh4zI64D2z(I)Ay dA 二、 组合截面的惯性矩，平行移轴公式 计算 的步骤1. 确定形心位置，以定出y-z坐标2. 用 求整个截面对z轴的惯性矩zIcyiiiy AAzzIIi 平行移轴公

6、式 已知：Iz，A，a （z过形心）z2zzAa求：I 结论：I =IyzyC3-3-3-313-3-3-3-310270 1050 10150 10300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA yymAmm90yz Iz0=Iz0()+Iz0() 12103010300-93-312100721050-93-34844mm10042m10042.-3-36210301030010904-3-362m10501027010605-2，5-6，5-11，5-12 maxmaxmaxzmaxzzzmax1.MyIMW WIy材料的抗拉压性质相同时： 找 = 而 令 抗弯截面模量3z

7、WD324（1-）3zWd322z1Wbh6型钢：查表5-3 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算（对等截面而言）zmaxmaxWM zmaxWM 弯曲容许正应力强度校核： zmaxWM设计截面： maxzMW 计算承载力： zmaxWM TmaxTcmaxc2. 材料的抗拉压性质不同时cmaxtmax ,经常发生在两个截面上.例：例：选择工字钢型号。已知：MPamlkNP,kNP1706211521 P2P1l/3l/3l/33834M图图(kNm)（1）maxM（2）Wz)cm()m(.MWmaxz333-63223102230101701038 19kN17kN（3）查表：P329323

8、7cmWz 计算值如果如果: : Wz 小于计算值，验算小于计算值，验算 max，不超，不超过过 的的5%，工程上允许工程上允许例：例：图示结构的最大拉拉应力发生在梁的哪个部位上？(P140类似)zy1y2中性轴中性轴已知：m.y,m.y0380072021 DP1=24kNP2=9kN20cm30cm30cmBCA选20a,D1.82.7BCAM(kNm)yIM 分析：)mN(.yMC23210303801072 )mN(.yMB23112907201081 ：zy1y2中性轴中性轴P1=24kNP2=9kN20cm30cm30cmBCA最大拉应力发生在B截面上部。设计截面：设计截面： ma

9、xzMW 例例 已知简支梁的最大弯矩已知简支梁的最大弯矩M Mmaxmax=7.5kN=7.5kN m,m, =160=160MPaMPa求：按正应力强度条件选择下列求：按正应力强度条件选择下列 截面的尺寸并比较其重量。截面的尺寸并比较其重量。MkNm5 . 72 dD2 bh工字钢工字钢解：圆形323DWZ62bhWZ矩形圆环圆环)1 (3243DWZ工字钢工字钢329PWZ查表mmD2 .7816032105 . 736圆形mmD9 .79)5 . 01 (16032105 . 7346圆环mmb3 .4141606105 . 736矩形p329工字钢:39 .46 cmWZ10349cm

10、WZ2148cmA 226 .37 cmA 2334 cmA 2414cmA 4321:AAAA1:43. 2:69. 2:43. 32mmkN155-2，5-6，5-11，5-12 5-15, 5-16，5-17，补充题5-4提高梁抗弯能力的措施提高梁抗弯能力的措施一、梁的合理截面形式一、梁的合理截面形式1、根据截面模量来选择、根据截面模量来选择 应选截面面积较小，应选截面面积较小，Wz较大为好。较大为好。图图(a) A = 40.5cm2 Wz=30.4cm3图图(b) A = 40.5cm2 Wz=60.8cm3图图(c) A = 42cm Wz=309cm3Z90cm45cmNo.22

11、a(a)(b)(c)2、根据应力分布规律选择工字型、箱形截面。、根据应力分布规律选择工字型、箱形截面。AAA3、根据材料特性选择、根据材料特性选择( max)拉拉 和（和（ max）压压 同时达到同时达到材料的许用应力。材料的许用应力。 对于抗拉压性能相同的材料，采用对称于对于抗拉压性能相同的材料，采用对称于中性轴的截面形状。中性轴的截面形状。对于抗拉压性能不相同的材料，选截面使对于抗拉压性能不相同的材料，选截面使中性轴偏于强度较弱的一边（即受拉侧）。中性轴偏于强度较弱的一边（即受拉侧）。但应注意：应同时考虑到刚度、稳定以及加工但应注意：应同时考虑到刚度、稳定以及加工方面的要求。方面的要求。二

12、、变截面梁二、变截面梁(等强度梁）等强度梁） M(x)= -Fx W(x)= bh2(x)/6 max =M(x)/W(x)= BLAF xbh (x)6)(bFxxh三、合理安排支座三、合理安排支座,合理安排载荷：合理安排载荷：将简支梁改为外伸梁。载荷靠支座。将简支梁改为外伸梁。载荷靠支座。载荷宽分布。载荷宽分布。P144-145四、超静定梁的利用四、超静定梁的利用:将静定梁改为超静定梁。将静定梁改为超静定梁。1. 关于中性轴对称截面：ss12s12s12sss()2M,2sAAAAssMdAydAyydAydAsssW Ws令 塑性抗弯截面系数5-5*塑性弯曲的概念 max2222MM11

13、1.W2,W2 4461 412.W242 36sWh hbbhbhrDDszs 强度条件： 矩 形： 圆 形： 312zWD1.51.7szszWWWW矩 形： 圆 形： 扩大得多 sseMsssMbIQSzz Q 截面上的剪力;Iz ,b 截面对中性轴的惯性矩、截面宽度; zS 过所求应力点水平线到截面边缘所包围面积对中性轴的静矩。 1 dAbhzxyyy1dxA*5-6* 梁弯曲时的切应力梁弯曲时的切应力对某一截面：Q、Iz、b是常量, 只随Sz*改变。ozyAS h/2byzh/2bIQSzz )yh(b/ )yh(y)yh(b2242222 yy0A*代入 得：)yh(bhQ2234

14、6 max边缘切应力为零02 hy)( 中性轴剪应力最大,为平均剪应力的1.51.5倍。AQ)(maxy230 h/2byzh/2)yh(bhQ22346 1bIQSz*z b1 腹板宽度Iz 全截面对中性轴的惯性矩 Sz* 图示阴影面积对z轴的静矩腹板翼缘h/2h/2y bzb1max A*yz zzHIQS* Iz 全截面对中性轴的惯性矩 图示阴影面积对 z 轴的静矩ozylS*翼缘竖向剪应力忽略ly0A* 翼缘宽度 Q 方向同 H P150P150 bISQzmaxzmax 按正应力条件选择截面；再按剪应力强度条件校核。在以下几种情况下，要注意梁的剪应力强度在以下几种情况下，要注意梁的剪

15、应力强度 校核：校核： 梁的跨度较短或者在支座附近作用有较大的梁的跨度较短或者在支座附近作用有较大的荷载。因在此情况下荷载。因在此情况下M较小，而较小，而Fs较大。较大。 铆接或焊接的工字型截面梁，腹板截面厚度铆接或焊接的工字型截面梁，腹板截面厚度一般较薄，但高度较大，这时就应对腹板的剪一般较薄，但高度较大，这时就应对腹板的剪应力进行校核。应力进行校核。有些梁由几部分经焊接、胶合或铆接而成的，有些梁由几部分经焊接、胶合或铆接而成的，对于焊接面、胶合面或铆钉等一般要进行剪切对于焊接面、胶合面或铆钉等一般要进行剪切强度计算。强度计算。返回例：一铸铁外伸梁，例：一铸铁外伸梁， 拉拉= 40M pa，

16、 压压= 120M pa， =2Mpa,试校核梁的强度。试校核梁的强度。(已知：已知：Iz=29 10-6 m4，Szmax=15.12 10-6m3) 解：解：正应力强度校核正应力强度校核 截面截面A：A6m10kN.m4mBF=2kNC5kN3kNMpa3918102910335310106331max.ZAIyM拉Mpa6501029671461062max.ZAIyM压截面B：Mpa440102967146108632max.ZBIyM拉Fs:8kN m10kN mM:3kN2kN53.33146.67Z1010满足正应力强度条件。满足正应力强度条件。%5%1%10040404 .40

17、%10053.33146.67Z 校核梁的剪应力校核梁的剪应力Mpa11110201029102151033663maxmax.maxbISFzZS此梁安全此梁安全返回求 max的步骤： 找全梁的Qmax； 求中性轴处的 。说明：说明：A*也可选在z轴下面，但图示阴影求Sz*更方便。例：例：求螺栓受的剪力，设两梁为一整体。bzy1y2A*aabl螺栓解：解：横截面剪力：PQ 横截面剪应力：abPb)a(baabPbIQSz*z 4312223 中性层剪应力： 螺栓受力：aPlblQ43 PP 螺栓lba 2、本章基本公式：、本章基本公式： =My/Iz max=Mmaxymax/Iz 或或 m

18、ax=Mmax/Wz =FsSz*/(Izb) max : 矩形矩形 max = 3/2 平平 圆形圆形 max = 4/3 平平 工字型工字型 max = 腹腹 圆环形圆环形 max = 2 平平5-15, 5-16，5-17，补充题公式适用范围：纤维受拉为正，受压为负；a.弯矩、剪力共同存在的截面(剪力弯曲);b.要有纵向对称面且荷载作用于该面内。(剪力对正应力影响很小)纵向对称面纵向对称面杆件轴线杆件轴线R1R2一. 关于中性层对称的截面 maxcTmaxmaxmaxmaxzz minMyMwI、而23z343z3zbhbhhW126W0.1()6432dW0.1DDDDD4矩 形： 2D圆 类： 实心2 （1-） （空心； =）5-3 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算二. 关于中性轴不对称截面：三. 多方面用途 1. 校核 2.设计梁（长度，截面等） 3.确定载荷cmaxtmaxcmaxctmaxT ,经常发生在两个截面上.期中测试题 学号末位为：9、0： 3-4、 4-