(完整版)三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

1、三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：正弦函数 y=sinx,xC0,2 兀的图象中,五个关键点是：(0,0)(万,1)(,0)(3_,-1)(2,0)余弦函数 y=cosxx0,2的图像中,五个关键点是：(0,1)(-,0)(,-1)(,0)(2,1)222、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性 1sinxycosxytanx图象iiyLyyj O什rl0aT0s定义域RRxxk一,k2值域1,11,1R最值当x2k时,2ymax1；当x2k一2时,ymin1.当x2k时,ymax1；当x2k时,Ymin1.既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶

2、函数奇函数单调性在2k,2k22上是增函数；3在2k一,2k22上是减函数.在2k,2k上是增函数；在2k,2k上是减函数.在k,k22上是增函数.对称性对称中央k,0对称轴xk2对称中央k一,02对称轴xk一.k对称中央,02无对称轴2-例作以下函数的简图例利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足以下条件的 x 的集合:1(2)cosx一23、周期函数定义：对于函数yf(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有：f(xT)f(x),那么函数yf(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.注意：周期 T 往往是多值的(如ysinx2,4,-2,-4,都是

3、周期)周期 T 中最小的正数叫做yf(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)ysinx,ycosx的最小正周期为2(-般称为周期)2正弦函数、余弦函数：T.正切函数：一例求以下三角函数的周期：1y=sin(x+)2y=cos2x3y=3sin(-+)4y=tan3x325例求以下函数的定义域和值域：(1)y=|sinx|,xC0,2 兀,(2)y=-cosx,x0,2 兀1(1)sinx一23-(1)y2sinx(2)y33sinx(3)yIgcosx4-例不求值,比拟大小.(2)振幅变换到原来的 A 倍得到的.它的值域卜 A,A最大值是 A,最小值是-A假设 A0 且1)的图象,可看

4、作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(co1)或伸长(031)到原来的1倍(纵坐标不变)假设 30 那么可用诱导公式将符号“提出再作图3 决定了函数的周期,这一变换称为周期变换(4)相位变换例 5 求函数ysin(2x的单调区间(1)sin(一)、sin(一)；1810(2)cos(解：(1).一_210182(2)cos(23、)、523、)=5cos(-).4cos 旦=cos55且函数 y=sinx,xC一,一是增函数.cos(J=cossin()0且函数 y=cosx,xC0,3cos5日口3即 coscos 一4cos(5235cos0 且 A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐

5、标伸长(A1)或缩短(0A0时或向右当0 时=平行移动|I 个单位长度而得到.用平移法注意讲清方向：“加左“减右y=sinx+与y=sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为相位变换,5、小结平移法过程步骤作 y=sinx长度为 2 的某闭区间沿 x 轴平+移|小|个单位得 y=sinx+|加横坐标伸 长或缩.得 y=sincox+G纵坐标伸 1 长或缩短.坐标*伸长或缩用得 y=sincox沿 x 轴平移|一|个单位V得 y=sincox+G纵坐标伸 V 长或缩短得 y=Asinwx+6的图象,先在一6、函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin；当xx2时,取

6、得最大值为ymax,1-YmaxYmin, ,二二x2为为X?22例如图 e,是 f(x)=Asin(cox+6),A0,|()|的一段图象,2那么 f(x)的表达式为.如图 b 是函数 y=Asinwx+巾+2 的图象的一局部,它的振幅、周期、初相各是A*A=3,B*A=1,4,31,6=一342i334D+A=1,6-例画出函数 y=3sin(2x+),xCR 的简图.-2,2,2一一解：(五点法)由T=,得T=式列表:2x612万712562x+一302汽322 支3sin(2x+)030-30tan3x一的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性3Lk5所求 7E 乂域为x|xR

7、,且x,kz318值域为 R,周期 T 是非奇非偶函数.3kk5在区间,kz上是增函数*318318例函数y=sin2x+J3cos2x-2.(1)用“五点法作出函数在一个周期内的图象.(2)求这个函数的周期和单调区间.(3)求函数图象的对称轴方程.(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的解：y=sin2x+.3cos2x-2=2sin(2x+)-23列表x6123712562x-302_322y2sin(2x-)23-20-2-4-2其图象如图示(2)T2-=n-2由-+2knW2x+w+2kn,知函数的单调增区间为2325n+kn,+kitJ,kCZ*12123由一+2kn2x+一 wn+2kn,知函数的单倜减区间为解：由3xk323518,例求函数y7-232+kn,n+kn,kZk(3)由 2x+=+kit彳寸 x=+汽+函数图象的对称轴方程为 x=+-n,(ke2.122把函数yi=sinx的图象上所有点向左平移一个单位,得到函数y2=sin(x+)的图象；1再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的一倍(