matlab符号运算基础

1、1三、符号运算基础MATLAB 不仅具有数值运算功能，还开发了实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox符号运算的操作对象是非数值的符号对象2 符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的Maple的基础上。 它最初是由加拿大的滑铁卢(Waterloo)大学开发出来的。 如果要求Matlab进行符号运算，那么首先由Maple计算并将结果返回到Matlab命令窗口。3符号运算的功能 符号线性代数符号线性代数 因式分解、展开和简化因式分解、展开和简化 符号代数方程求解符号代数方程求解 符号微积分符号微积分 符号微分方程符号微分方程 支持可变精度运算支持可变精度运算 支持符号运算并能

2、以指定的精度返回结果支持符号运算并能以指定的精度返回结果4符号运算与数值运算的区别 符号运算使用字符串进行符号分析，而不是基于矩阵的数值分析 数值运算中必须先对变量赋值， 然后才能参与运算 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达 符号运算可以求解科学计算中数学问题的解析表达式精确解 符号运算速度较慢5基本概念 符号变量：预先不要求有确定值的量 符号表达式：代表数字、函数、算子和变量的Matlab字符串或字符串数组 符号方程：含有等号的符号表达式 符号矩阵：数组，其元素是符号表达式 符号算术：使用已知的规则和给定符号恒等式求解这些符号方程的实践，它与代数和微积分中的求解方法

3、完全一样61. 创建符号变量和符号表达式 MATLAB的符号工具箱提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms 函数sym的调用格式 符号变量名=sym(表达式) 注：函数sym可创建一个符号变量，表达式可以是字符、字符串、数学表达式或字符表达式等7 函数syms的调用格式syms 符号变量名1 符号变量名2 注： 函数syms可一次创建多个符号变量 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔8 a=sym(MATLAB)a =MATLAB b=sym(3*x2+4*x+7)b =3*x2+4*x+7 syms c d e c=3xc =3x9 数

4、值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别用matlab函数sym创建矩阵命令格式： A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵需用sym指令定义需用单引号 标识注意与a,b;c,d的区别2. 符号矩阵的创建10 A = sym(a,2*b;3*a,0)A = a, 2*b 3*a, 0注：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 Matlab数值矩阵的一个重要区别。113. 符号常量 当数值常量作为sym( )的输入参量时，就建立了一个符号对象符号常量。 虽然看上去是一个数值量，但已经是一个符号对象了。例：a=3/4; b=3/4; c=sym(3/4); d=sym(3/4); w

5、hos 查看变量类型a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类型；c和d都是符号对象类型。 12 当符号表达式具有多个变量时，只有一个变量是独立变量，MATLAB将基于以下准则选择独立变量：小写字母i和j不能作为自由变量 小写字母x是首选符号变量其余小写字母被选中的次序是：在英文字母中，靠近x的优先，如果与x距离相同，则x之后的优先 大写字母比所有小写字母都靠后4. 符号变量的确定13findsym(s, n): 按以下准则确定顺序给出符号表达式s中的靠近x的n个符号变量根据变量的首字母排序，排序规则为 x y w z v u . a X Y W Z V U . A随后的字母按字母顺序排列，且大写

6、字母比小写字母优先：0 1 . 9 A B . Z a b .zfindsym(s): 按字典顺序给出符号表达式s中的所有符号变量14 syms a x y z t X1 x2 xa xb findsym(sin(pi*t)ans =t findsym(x+i*y-j*z) ans =x,y,z findsym(a+y,1)ans =y findsym(X1 + x2 + xa + xb)ans =X1,x2,xa,xb findsym(X1 + x2 + xa + xb,4)ans =x2,xa,xb,X115 符号表达式的运算与普通数值运算不同，它的运算结果是符号表达式或符号矩阵Matla

7、b6.5及以前的版本提供了很多函数用于符号计算，如symadd, symsub, symmul, symdiv, sympow等由于计算效率和计算精度不高，Matlab7.0及以后的版本已将其删除，相应的计算只需键入数学运算符+, -, *, /, 或4. 符号表达式的基本运算16例 计算表达式 与 表达式 的和、差、积、商与乘方31x 1x syms x s1=x3-1; s2=x-1; s1+s2ans =x3 + x - 2 s1-s2ans =x3 - x s1*s2ans =(x3 - 1)*(x - 1) s1/s2ans =(x3 - 1)/(x - 1) s1s2ans =(x

8、3 - 1)(x - 1)17复合函数compose(f,g)：返回复合函数f(g(y), 其中f=f(x), g=g(y). 其中符号x为函数f中由命令findsym(f)确定的符号变量,符号y为函数g中由命令findsym(g)确定的符号变量compose(f,g,z)：返回复合函数f(g(z)compose(f,g,x,z)：返回复合函数f(g(z), 将函数f中的自变量x用g(z)代替compose(f,g,x,y,z)：返回复合函数f(g(z), 将函数f中的自变量变量x用g(y)代替，然后用指定的变量z代替变量y18 syms x y z t u; f = 1/(1 + x2);

9、g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) ans =1/(sin(y)2 + 1) compose(f,g,t)ans =1/(sin(t)2 + 1) compose(h,g,x,z)ans =sin(z)t compose(h,g,t,z) ans =xsin(z) compose(h,p,x,y,z)ans =(1/exp(z/u)t compose(h,p,t,u,z)ans =x(1/exp(y/z)19反函数finverse(f)：返回函数f的反函数，其中f为单值的一元数学函数finverse(f,v) ：若符号函数f中有多个符

10、号变量时，对指定的符号变量v计算其反函数20例 求y=x2的反函数 syms x; f=x2; g=finverse(f)Warning: finverse(x2) is not unique. In sym.finverse at 46g =x(1/2) compose(f,g)ans =x21例 求y=tex的反函数 f=sym(t*ex)f =t*ex g=finverse(f) g =log(x/t)/log(e) g=finverse(f,t)g =t/ex22合并同类项collect (S,v)：合并多项式S中自变量v的同类项collect (S)：以findsym确定的变量合并多

11、项式S的同类项23 syms x f=(x3+x+1)*(x2+1)f =(x2 + 1)*(x3 + x + 1) collect(f)ans =x5 + 2*x3 + x2 + x + 1例 合并多项式 的同类项32(1)(1)xxx24例 合并多项式 的同类项2(1)()ttxxexe s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); e1=collect(s) %合并关于x的同类项系数e1 =x3 + (2*x2)/exp(t) + (1/exp(2*t) + 1)*x + 1/exp(t) e2=collect(s,exp(-t) %合并关于exp(-t)的同类项系

12、数e2 =x*(x2 + 1) + x/exp(2*t) + (2*x2 + 1)/exp(t) e3=collect(s,t) %合并关于t的同类项系数e3 =(x + 1/exp(t)*(x2 + x/exp(t) + 1)25因式分解factor(s)：符号表达式s的因式分解horner(s)：符号表达式s的嵌套形式，即用多层括号的形式表示26例 分解因式 33xa syms x a; f=x3-a3f =x3 - a3 factor(f)ans =-(a - x)*(a2 + a*x + x2)27例 将符号矩阵表达式的各个元素分解为多个因式 33456111xbxxx syms x

13、b; f=x3+b3 x4-1; x5-1 x6-1f = b3 + x3, x4 - 1 x5 - 1, x6 - 1 factor(f)28例 将多项式表示为嵌套形式64325556xxxxx syms x; f=x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6f =x6 - x4 - 5*x3 + 5*x2 + 5*x - 6 horner(f)ans =x*(x*(x*(x*(x2 - 1) - 5) + 5) + 5) - 629例 将数字1025分解为正整数之积 factor(1025)ans = 5 5 41 factor(1025)? Error using = factor at

14、21N must be a scalar. factor(sym(1025)ans =52*4130其它一些函数expand(s)：符号表达式s的展开numden(s)：返回符号表达式s经过分式通分后的分子和分母simplify(s)：利用各种形式的代数恒等式对符号表达式s进行化简simple(s)：通过对符号表达式s尝试多种不同的方法（包括simplify）进行化简，以寻求符号表达式S的最简形式double(s)：将符号表达式s转换为双精度浮点数31subs(s)：用工作空间中的变量替换符号表达式s中的所有变量subs(s, new)：用变量new替换符号表达式s中的自由变量subs(s,

15、old , new)：用变量new替换符号表达式S中的变量old当变量new是数值形式时，显示的结果虽然是数值，但实际上是符号变量. 要强制求值, 需要用vpa或eval函数vpa(s, n)：将s表示为n位有效位数的符号对象digits(d)：设置当前的可变算术（vpa）精度的位数为整数d位. d=digits 返回当前的可变算术精度的位数给d32例 将以下矩阵各元素展开()22(2)ln()21sin()x yxex yxy syms x y; f=exp(x+y) log(x2*y2); 2(x+2)+1 sin(x+y)f = exp(x + y), log(x2*y2) 2(x +

16、2) + 1, sin(x + y) expand(f)ans = exp(x)*exp(y), log(x2*y2) 4*2x + 1, cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)33例 求出下列表达式的分子和分母 23261.16122.8fxfxxx syms x; f=6/x2f =6/x2 n d=numden(f)n =6d =x2 f=1/x3+6/x2+12/x+8f =12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8 n d=numden(f)n =8*x3 + 12*x2 + 6*x + 1d =x334例 化简22cossinxx syms x; f=sin(x)2+cos(x)2f =cos(x)2 + sin(x)2 syms x; f=sin(x)2+