九年级数学圆与相似的专项培优易错难题练习题附答案解析

1、AB为斜边向三角内部作九年级数学 圆与相似的专项 培优易错难题练习题附答案解析一、相似1.如图，在等腰 RtABC中，O为斜边AC的中点，连接 BO,EO.求证：【答案】（1）证明：在等腰 RtA ABC中，O为斜边AC的中点, OBXAC,/ AOB=90 ； / AEB=90 ； .A, B, E, O四点共圆，/ OAE=Z OBE(2)证明：在 AE上截取EF=BE在等腰RtABC中，O为斜边AC的中点,/ ABO=45 ；/ ABF=Z OBE,AB 班BE.ABFABOE,仪,=二，AF= , OE,.AE=AF+EF，AE=BE+ OE.【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的

2、性质，可证得/AOB=/AEB=90,可得出A, B, E,。四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。(2)在AE上截取EF=BE易证EFB是等腰直角三角形，可得出 BF与BE的比值为， 再证明/ABF=/ OBE, AB与BO的比值为二，就可证得 AB、BO、BF、BE四条线段成比 例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得ABFsBOE,可证得AF=kOE,由AE=AF+EF可证得结论。2.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2 (a0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴正半轴相交于点 C,过点A作ADx轴，垂足为D.八、尸衣一(1)若/AOB=60

3、, AB/ x 轴，AB=2,求 a 的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4, AC=4BC求点B的坐标;(3)延长 AD、BO相交于点 E,求证：DE=CO.OA=OB, / AOB=60 ； .AOB是等边三角形， . AB=2, ABOC, .AC=BC=1, /BOC=30,.oc=Ki，j , .A (-1 ,被)，把A (-1, 3 )代入抛物线y=ax2 (a0)中得：a= ;(2)解：如图2,过B作B已x轴于E,过A作AGLBE,交BE延长线于点G,交y轴于. CF/ BG,AC加一而， .AC=4BC,. .凡=4,.AF=4FG, . A的横坐标为-4,，.B的横

4、坐标为1,.A (-4, 16a) , B (1, a), / AOB=90 ； / AOD+/ BOE=90 ； / AOD+Z DAO=90 ；/ BOE=Z DAO, / ADO=Z OEB=90 ； .ADOAOEB,AD _0L质班, ?16d77, ?16a2=4,用a= 士一 ,.a0,/ a=二;B d,二）；（3）解：如图3, ?百一.-.BCOABAE,X. I I jgf jfCO= =am2n, . DE=CQ【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据 AB/ x轴，得出A与B是对称 点，可知 AC=BC=1由/AOB=60 ,可证得4AOB是等边三角形，

5、利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点 A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作B已x轴于E,过A作AG BE,交BE延长线于点 G,交y轴于F,根据平行 线分线段成比例证出 AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A (4, 16a) , B(1, a),再根据已知证明 / BOE=/ DAO, /ADO=/OEB,就可证明 ADOsOEB,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点 B在第一象限，确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B (m, am2),则A (-mn, am2n2),得出 AD的长，再证明 BO

6、QEOD, BC8 BAE,得对应边成比例，证得 CO=am2n,就可证得 DE=COA、B,与y轴交于点 C,且 OA=1,3.如图，抛物线 y=-x2+bx+c与x轴分别交于点(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过 A、B两点，且与直线 CD相切，求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得DCMsbqc?如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)解： 曲=八0B - 3,代入 y - - / ，d ,得 9 S c 也解得抛物线对应二次函数的表达式为：F 一 - 2r (2)解：如图,设直线CD切

7、。P于点E.连结PE、PA,作CF上极/|点H . : FE上CD. PE 刊. 由J-= =/+二上+ 3,得对称轴为直线x=1, .:- ，一， 二.I 小为等腰直角三角形.一一一二.任二卷I 的I为等腰三角形.设E声=-(7 -禧涔在色月片中，工网=901刃户= “1 4 =白(-nF + 圻；- (4 版- 1 ( i)?+ M, .尸整理，得小的 H二也解得，的=-力土人冠.点p的坐标为 u ，+小质 或a -/ 入身.(3)解：存在点M,使得门2als公BQC .如图，连结【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;x=1,顶点 D (1, 4),点 C (0, 为等腰直角三角形，

8、 DEP为等腰三角 PE、PA用含m的代数式表示出来，根(2)由(1)中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线 3),由题意可设点 P (1, m),计算易得 4DCF 形，在直角三角形 PED和APQ中，用勾股定理可将 据PA=PE列方程求解；DM 3 DC D4(3)由DCMsbqc所得比例式分两种情况： 及? 4或阳 G,根据所得比例式即可 求解。4.如图1,直线1:与x轴交于点 A (4, 0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0VACV 5 ),以点A为圆心，AC长为半径作OA交x轴于另一点 D, 交线段AB于点E,连结OE并延长交OA于点F.J圈imz爵m田(1)求直线l的函数

9、表达式和tan / BAO的值；(2)如图2,连结CE,当CE=EFW,求证：OCa4OEA;求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求 OEEF的最大值.，农必、q +小尸=-十/ /日P1【答案】(1)解：把A (4, 0)代入广 ，得，X4+b=0解得b=3,3 ,直线l的函数表达式为1， B (0,3), . AOXBO, OA=4, BO=3,tan / BAO=，.(2)证明：如图，连结 AF, .CE=EFZ CAE之 EAF, 又 AC=AE=AF / ACE玄 AEF, / OCE4 OEA, 又 / COEN EOA, .,.OCEAOEA.解：如图，过点 E作EHx

10、轴于点H,tan / BAO=, 设 EH=3x, AH=4x,，AE=AC=5x OH=4-4x,，OC=4-5x,.OCEOEA,OB OC OA =兆,即 OE2=OA OC,(4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x),图解得xi=:芍，x2=0 (不合题意，舍去)(3)解：如图，过点 A作AM, OF于点M,过点O作ONLAB于点N,tan / BAO=寸，3cos/ BAO=, 16.AN=OA cosZ BAO= 5 , 设 AC=AE=r,生EN= -r,1 . ONXAB, AM LOF,I/ ONE=Z AME=90 ； EM=上 EF, 又 / OEN=Z AEM,

11、2 .OENAAEM,OE.忌=瓦，1即 OE- EF=AEEN,16.OEEF=2AEEN=2r ( 口 -r)当 勺.OEEF=-2i2+ 5 r-2 (r15 )2+12b25 (0vrvJ67)8刍当r= 时，OEEF有最大值，最大值为 与I【解析】【分析】(1)将点A坐标代入直线l解析式即可求出b值从而彳#直线l的函数表达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.(2)如图，连结 AF,根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证如图，过点 E作EHIx轴于点H,根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x, AH=4x,从而得出AE、OH、OC,由中相似三

12、角形的性质可得OE2=OAOC,代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.(3)如图，过点 A作AMLOF于点M,过点。作ONLAB于点N,根据锐角三角函数定义1616可求得 AN=OAcos/BAO= 5，设AC=AE=r,U EN=6-r根据相似三角形判定和性质可知 AE = 助3216鬼，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 )，由二次函数的性质即可求此最大值5.如图，在矩形 ABCD中，AB=2cm, / ADB=30. P, Q两点分别从 A, B同时出发，点 P 沿折线 AB-BC运动，在 AB上的速度是 2cm/s,在BC上的速度是 2 / cm/s ;点

13、 Q在BD 上以2cm/s的速度向终点 D运动，过点 P作PNXAD,垂足为点 N.连接PQ,以PQ, PN 为邻边作？PQMN.设运动的时间为 x (s) , ?PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为 y(1)当 PQ AB 时，x=;(2)求y关于x的函数解析式，并写出 x的取值范围；(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分时，直接写出 x的值.2【答案】(1)于自(2)解：如图1中，当0vxwi时，重叠部分是四边形 PQMN.口Ely=2x X/3 x=2N，x2 .同一PQEN. 如图中，当- x W,重叠部分是四边形 如图3中，当1vxv 2时，重叠部分是四边形PNE

14、Q.S3p色y= -(2-x+2) xNx-2x (x-1) =x2 -2Jj g2()r * yftx 宜 W D237/ -九, 4 A/5t7 x s或7时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分【解析】【解答】解：（1）当PQ AB时，BQ=2PB, .2x=2 （2-2x）,故答案为 s.【分析】（1）由题意BQ=2x,PB=2-2x,当PQLAB时，根据含30直角三角形的边之间的关 系得：BQ=2PB,从而列出方程，求解即可；(2) 如图1中，当0vxw附，重叠部分是四边形 PQMN.由题意知：AP=2x, BQ=2x, 故平行四边形 AP边上的高是，金，根据平行四边形的面

15、积计算方法得出y与x之间的函数关系式；如图中，当一，vxWl时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去 AEM的面积，即可得出 y与x的函数关系式； 如图3中，当1vxv2时，重叠部分是 四边形PNEQ.根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平行四边形NPQM的面积减去4MNE的面积，即可列出 y与x之间的函数关系；(3) 如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值 相等，即tan/EAB=tan/ QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值； 如图5中，当直线 AM经过CD的中点E时，满足条件.根据等角的同名

16、三角函数值相 等，即tan/DEA=tan/ QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综上所述即可得出答案。6.已知一次函数y二-4x-12的图象分别交x轴，y轴于A, C两点。01(1)求出A, C两点的坐标；(2)在x轴上找出点 B,使ACBAOC,若抛物线过 A, B, C三点，求出此抛物线的解 析式；(3)在(2)的条件下，设动点 P、Q分别从A, B两点同时出发，以相同速度沿 AC、BA向 C, A运动，连接 PQ,设AP=m,是否存在 m值，使以A, P, Q为顶点的三角形与 4ABC 相似*存在，求出所有 m值；若不存在，请说明理由。【答案】(1)解：在一次函数

17、 y=-4x-12中，当x=0时，y=-12;当 y=0 时,x=-16，即 A(-16,0),C(0,-12)(2)解：过C作CB, AC,交x轴于点B,显然，点B为所求。则 OC2=OA?OB,此时 OB=9,可求得 B(9,0);17此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= /=x2+1二x-12(3)解：当 PQ/ BC时，如图(l)AAPQsACB；则有:心 25 - A 五=F-当 PQ AB 时,AAPQs ACB;有:网以 25 - fh ni7 =，出,即 20 = 35 ,123解得m= 9 .【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0,可得A的坐标，令x=0,可得

18、C的坐标（2）要使ACBAOC,则B点必为过C点且垂直于 AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出 B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解： 当PQ/ BC时，APQsACB; 当PQLAB时，AAPQAACBM 据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.7.操作：134加和都是等边三角形， Df ,绕着点按顺时针方向旋转，切是 周、川广的中点，有以下三种图形.探究：B“/ C1）（1）在上述三个图形中，月火灰是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；（2）如:缈”的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；（3

19、）与侬有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.1BO -BC【答案】（1）解：良是等边三角形，由图（1）得AOLBC,.加木帆,.也即3.1.证明：曲:初=，AO:HO -. A AOA 入声山AAAOBBBO（3）证明：在图（3）中，由（2）得 AOA 汉城 Z3 4 ,/ 2+Z 4=/ 1 + Z 3,即 / AEF =/ AOB / AOB=90 ；- 一姑尸-9（/血，上 .AC【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AOBC, BOd BC=- AB,根据勾股定理计算即可求得 AO= 4 BO,即AO： BO是一个固定的值 KG : 1； （2）由等边三角形的

20、性质 可得 AO BC, Vo上BC ,由同角的余角相等可得I/现域=/筑/，由（1）可得AO:BO = A 03:1 可得d4”/白瓦/，根据相似三角形的性质可得.江:必二5：，； （ 3）在图（3）中，由（2）得二加 班康，根据相似三角形的 性质可得/1 = /2,根据对顶角相等得/ 3=/4 ,则/ 2+/4=/1 + /3=/AOB=90 ,即 AA 上 88；8.如图，过。外一点P作。O的切线PA切。于点A,连接PO并延长，与。交于 C、D两点，M是半圆CD的中点，连接 AM交CD于点N,连接AC、CM.（1）求证：CM2=MN MA;（2）若 / P=30, PC=2,求 CM 的

21、长.【答案】（1）解：* 6中，川点是半圆G的中点,团团I,Y铮=不匐又:st 心就，：J AVC s JCM Ah即1京-出,期！；(2)解：连接|您、网,丁 E4是，的切线, ： PAO 蚓 ?又 ：，产的1I1二 OA -P0 =-(PC + CO) 门Q金q设a 4的半径为士，PC - 2解得：，匕,又 丁 是直径，；二cw 阿 ?1 CM岫 ?：股是等腰直角三角形，,：|在RE JCMD中，由勾股定理得 W T城二切，即立犷二犯尸叫则 ，= ,/!/ 久后9 # L-.JH 一 .团田【解析】【分析】(1 )由f* 州知 Nf：故=上NO ,根/ CMA=Z NMC据证AAMOACM

22、N即可得；(2)连接 OA、DM,由直角三角形 PAO中/ P=30知/ IOA =-P0 = -(PC CO)二 二，据此求得 OA=OC=2再证三角形 CMD是等腰直角三角形得 CM的长.二、圆的综合9.如图，已知 4ABC中，AB=AC, Z A=30, AB=16,以AB为直径的。与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DEL AC于点E.(1)求证：DE是。的切线；(2)求CE的长；(3)过点B作BG/ DF,交。O于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2) 8-4 J3 (3) 4兀【解析】【分析】(1)如图1,连接AD, OD,由AB为。O的直径，可得 AD BC,

23、再卞据AB=AC,可得 BD=DC,再卞据 OA=OB,则可得 OD/ AC,继而可得 D已OD,问题得证；(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出 DE=1 BF, CE=EF根据/A=30, AB=16,可得BF=8,继而得DE=4,由DE为。的切线，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16-CE),继 而可求得CE长；(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG/ DF,可得/ CBG4 CDF=30 ,再根据 AB=AC可 推导得出Z OBG=45 ,由OG=OB可得Z OGB=45 ,从而可得/ BOG=90 ,根据弧长公式即 可求得？G的长度.【详解】(1)如图1,连接AD,

24、OD； .AB为。的直径，/ ADB=90 ；即 ADXBC, .AB=AC,BD=DC, .OA=OB, .OD/AC, .DEXAC, DEXOD,/ ODE=Z DEA=90 ； .DE为。O的切线；(2)如图2,连接BF,.AB为。的直径，/ AFB=90 , .BF/ DE, .CD=BD, .DE=1 BF, CE=EF2 / A=30 , AB=16,.BF=8,，DE=4,. DE为。O的切线，ED2=EF?AE.42=CE? (16-CE),.CE=8- 4y/3 , CE=8+4/3 (不合题意舍去)；(3)如图3,连接OG,连接AD,1. BG/ DF,/ CBG=Z C

25、DF=30,.AB=AC,/ ABC=/ C=75 ；/ OBG=75 - 30 =45 ；.OG=OB,/ OGB=/ OBG=45 ；/ BOG=90 , Bg的长度=908 =4兀.180【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键10.如图，AB是圆。的直径，射线 AM LAB,点D在AM上，连接OD交圆。于点E,过点D作DC=DA交圆。于点C （A、C不重合），连接 OC、BC CE（1）求证：CD是。的切线；（2）若圆。的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形 OADC是正方形； 当A

26、D=时，四边形 OECB是菱形.【答案】（1）见解析；（2）1 ;J3. ,【解析】试题分析：（1）依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 /CEO=60,依据平行线的性质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解： AMXAB,/ OAD=90 :-. OA=OC, OD=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形， .AO=AD=1.故

27、答案为：1 .;四边形OECB是菱形，.OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1, .AD=.回故答案为：71点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等 边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.11.如图，AB是半圆。的直径，半径 OCAB, OB=4, D是OB的中点，点 E是弧BC上 的动点，连接AE, DE.(1)当点E是弧BC的中点时，求 4ADE的面积；3(2)右 tan AED -,求 AE的长

28、；(3)点F是半径OC上一动点，设点 E到直线OC的距离为m,当 DEF是等腰直角三角 形时，求m的值.【O D B【答案】(1) Sade 672 ； (2) AE 16 V5 ； (3) m 2V3 , m 2灰， 5m 一 7 1 .【解析】【分析】OH= 2+a,则 EH= OH=2+a,S ADE的值；AF AD根据DF/ BE故.EF BDx,进而求出AE的长；m的值.(1)作 EHIAB,连接 OE, EB,设 DH=a,则 HB= 2-a, 根据RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出(2)作 DUAE,垂足为 F,连接 BE,设 EF= 2x, DF= 3x

29、,得出AF= 6x,再利用 RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出 (3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出 【详解】解：(1)如图，作EHIAB,连接OE, EB,设 DH=a,贝U HB=2-a, OH=2+a,点E是弧BC中点，/ COE= / EOH= 45 ,-.EH=OH= 2+a,在 RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a) 2= ( 6+a) ( 2 - a),解得 a= 2 J2 2，a= 272 2，EH=272，SAade= In ADn EH 6.2；2O D H B(2)如图，作 DFAE,垂足为F,连接BEO D B设 EF= 2x, D

30、F= 3x1) DF/ BEAF AD EF BDAF 6 1 =3 2x 2.AF = 6x在 RtAFD 中，AF2+DF2=AD2(6x) 2+ (3x) 2= (6) 2一 2解得x= 2 5516 ,AE= 8x= 755(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图O D H B设 DH= a由 DF=DE/ DOF=Z EHD=90 , / FDO+Z DFO=Z FDO+Z EDH,/ DFO=Z EDH.,.ODFAHED.OD=EH= 2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH2) ) 2= ( 6+a) ? (2-a)解得a=及J3 2m= 2百当点E为等腰直角三角形直角顶点

31、时，如图O D H B同理得AEFCADEH设 DH=a，贝UGE= a, EH= FG= 2+a在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2+a) 2= (6+a) (2-a)解得a= 2,2 2m= 272当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图O D H B同理得 EFM FDO设 OF= a,则 ME=a, MF = OD = 2 .EH=a+2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(a+2) 2= (4+a) ? (4-a)解得a= J7 1m=61【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的 判定与性质.A,速度12.如图所示，AB是半圆。的直

32、径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点为1cm/s,若AB 10cm,点。到AC的距离为4cm.(1)求弦AC的长;(2)问经过多长时间后， APC是等腰三角形.【答案】(1) AC=6; (2) t=4或5或14s时，4APC是等腰三角形;5【解析】【分析】AC的(1)过。作ODLAC于D,根据勾股定理求得 AD的长，再利用垂径定理即可求得 长；(2)分AC=PC AP=AC AP=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过。作ODLAC于D,易知 AO=5, OD=4,从而川=加入2-01)3,，AC=2AD=6；(2)设经过t秒4APC是等腰三角形，则 AP=10-t 如图2

33、,若AC=PC过点C作CHIAB于H, / A=Z A, / AHC=Z ODA=90 ；.AHCAADO,-rr 八 1 0-t.AC： AH=OA： AD,即 AC： - =5： 3,解得 t=-si, | 5 |,14 一A ,，经过 =s后4APC是等腰三角形；5又 AC=6,则 10 - t=6 ,解得 t=4s,.经过4s后4APC是等腰三角形；如图4,若AP=CP P与O重合,图4则 AP=BP=5,，经过5s后4APC是等腰三角形.14|口综上可知当t=4或5或-s时，4APC是等腰二角形.【点睛】 本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当 BPC是等腰三角形时，点 P的位置有三种情况.13.