二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

1、二次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）一、中考要求：1 .经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的 方法描述变量之间的数量关系.2 .能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达 能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系.3 .会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性 质的经验.4 .能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.5 .理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似 根.6 .能利用二次函数解

2、决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：200a 2010年部分省市课标中考涉及的知识点如下表序 号所考知识点比率1二次函数的图象和性质2.53%2二次函数的图象与系数 的关系6%3二次函数解析式的求法2.510.5%4二次函数解决实际问题810%（二）中考热点:二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力.因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.三、中考命题趋势及复习对策二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全

3、部试题的10%15%,分值约占总分的10%15%,题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合 题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探 索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.考点突破考点1:二次函数的图象和性质一、考点讲解：21 .二次函数的定义：形如 y ax bx c （aw0, a, b,

4、c为常数）的函数为二次函数.2 .二次函数的图象及性质： 二次函数y=ax2 （aw 0）的图象是一条抛物线， 其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时,抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大.y=a（x h）2+k的对称轴是x=h ,顶点坐标是（h, k）。2 二次函数y ax bx c的图象是一条抛物线. 顶点为（_ _b_ ac b）对称轴x=- ； 2a 4a2a当a 0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x上，y随x的增大而增大，xv 2a2ba，y随x的增大而减小；当av 0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且 x- 2b

5、-,y随x的增大而减小，x - , y随x的增大而增大.2a注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1, y ）, （ x2, y ）,即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线xx1x2。2当a。时，当x=一5时，函数有最小值竺泸；当a0时，当x=与时，函数有4ac b2最大值4a3 .图象的平移：将二次函数y=ax2 （aw。）的图象进行平移，可得到y=ax2+c, y=a（xh）2,y=a（x h）2+k 的图象. 将丫=2*2的图象向上（c。）或向下（c。）平移|c

6、|个单位，即可得到 y=ax2+ c的图象.其 顶点是（0,c）,形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同. 将丫=2*2的图象向左（卜。）或向右6。）平移|h|个单位，即可得到y=a（xh）2的图象.其 顶点是（h,。），对称轴是直线 x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同. 将丫=2*2的图象向左（h。）或向右（h。）平移|h|个单位，再向上（k。）或向下（k。）平移 |k|个单位，即可得到 y=a（x- h）2 +k的图象，其顶点是（h, k）,对称轴是直线x=h ,形 状、开口方向与抛物线y=ax2相同.注意：二次函数y=ax2与y= ax2的图像关于x轴对称。平移的简记口

7、诀是“上加下减，左加右减”。一、经典考题剖析：【考题1】 抛物线y= 4（x+2）2+5的对称轴是 【考题2】函数y= x24的图象与y轴的交点坐标是（）A. （2,。）B. （2,。）C. （。，4）D. （。，一 4）【考题3】在平面直角坐标系内，如果将抛物线y 2x2向右平移2个单位，向下平移 3个单位，平移后二次函数的关系式是（）一- 2 一A. y2(x2)3一一 2 一B. y2(x2)3C. y2(x2)23D. y 2(x 2)2 3答案：Bo【考题4】(2003贵阳)已知抛物线y 1(x 4)2 3的部分图象(如图1-2-1),图象再次与x3轴相交时的坐标是()A. (5,

8、0)B. (6, 0)C. (7, 0)D. (8, 0)图 1 2-1解：C点拨：由y 1(x 4)2 3,可知其对称轴为3x=4，而图象与x轴已交于(1, 0),则与x轴精选文档的另一交点为(7, 0)。参考解题小诀窍。【考题5(深圳)二次函数2y axbx c图像如图所示，若点A ( 1 ,yi), B (2, y2)是它的图像上两点，则 yi与y2的大小c . y1 > y2d .不能确定答案：c。点a, b均在对称轴右侧。三、针对性训练：(分钟)(答案：)1 .已知直线y=x与二次函数y=ax2 2x 1的图象的一个交点M的横标为1,则a的值为()A、2 B、1C、3 D、42

9、 .已知反比例函数 y= k的图象在每个象限内 y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 xx+k2的图象大致为图1 23中的()图 1-2-34.抛物线y=x24 x +5的顶点坐标是（）A. (2, 1)C. (2, l)B. (2, 1)D. (2, 1)5 .二次函数 y=2 （x 3） 2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（A.开口向下, B.开口向下, C.开口向上, D,开口向上,6 .二次函数 y对称轴 对称轴 对称轴 对称轴2xx= 3,顶点坐标为（3,5） x=3,顶点坐标为（3, 5）x=x=3,顶点坐标为（一3,5）3,顶点（一3, 5）bx c的图象上有两

10、点（3, 8）和（一5, 8）,则此抛物线的对称轴是(A.C.B. x 3D. x 127.在平面直角坐标系内，如果将抛物线y 3x 向右平移3个单位，向下平移 4个单位,平移后二次函数的关系式是()A. y 3(x 3)2 4一， 2B. y 3(x 3)4一， 一、2C. y 3(x 3)42.D. y 3(x 3)48.已知，点A (1, y1), B ( 42, y2 K C (5, y3)在函数yx2的图像上，则y1，y2, y3的大小关系是（）A . y > y2 > y3b. y > y3> yC. y3> y2 > yd. y2 > y

11、I > y2.一9.已知二次函数Vi ax bx c(aw 0)与一次函数y 2 =kx+m(k w 0)的图象相交于点 A (2,4) ,B(8, 2),如图1 27所示，能使的>丫2成立的x取值范围是 210 .（襄樊）抛物线 y x bx c的图像如图所不，则抛物线的解析式为 。11 .若二次函数yx2 bx c的顶点坐标是（2, 1）,则b=, c=。12直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为 .13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线 的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y x2 2mx m2 2m 1，有y= （x

12、m）2 2m 1，所以抛物线的顶点坐x m,一标为（m, 2m1）,即。y 2m 1当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而 y值也随x值的变化而变化，将代人，得y=2x 11.可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标 y和横坐标x都满足y=2x1,回答问题：（1）在上述过程中，由到所用的数学方法是 ,其中运用了 公式，由得到所用的数学方法是 ; （2）根据阅读材料提供的方法，22确7E抛物线y x 2mx 2m 3m 1顶点的纵坐标与横坐标 xN间的关系式 .14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15已知M、N两点关于y轴对称

13、，且点 M在双曲线y=上，点 N在直线上，设点 Mnx的坐标为（a, b）,则抛物线y= abx2+（a + b） x的顶点坐标为 .16当b<0时，一次函数 y=ax+b和二次函数y=ax2+bx + c在同一坐标系中的图象大致是图1 29 中的（）考点2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定.抛物线开口向上，则a>0;抛物线开口向下，则a< 0.2、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0;若抛物线的顶点在 y轴左侧，顶点的横坐标一-< 0,即5 >0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在 y轴右侧，顶点的横坐

14、标A>0,即±<0.则a、b异号.间“左同右异”.3. c的符号：c的符号由抛物线与 y轴的交点位置确定.若抛物线交y轴于正半，则c> 0,抛物线交y轴于负半轴.则c< 0;若抛物线过原点，则 c=0.4. 的符号：的符号由抛物线与x轴的交点个数决定.若抛物线与x轴只有一个交点，则4 =0;有两个交点，则4> 0.没有交点，则< 0 .25、a+b+c与a b+c的符号：a+b+c是抛物线y ax bx c （aw 0）上的点（1, a+b+c）的纵2坐标，a b+c是抛物线y ax bx c（aw0）上的点（一1, a b+c）的纵坐标.根据点的

15、位置，可确定它们的符号 .二、经典考题剖析：_ ，一 .一2,一 .一【考题1】（2003潍坊）已知二次函数 y ax bx c的图象如图 1 2 2所不，则a、b、c满足（）泮|A. av 0, b<0, c>0/B. av 0, b<0, c< 0 t-SC. a<0, b>0, c>0jD . a>0, bv 0, c>0 网 12 2解：A 点拨：由抛物线开口向下可知av 0;与y轴交于正半轴可知 c>0;抛物线的对称轴在y轴左侧，可知<0,则b<0.故选A.2a一 ，一、，,，一 一2.一一、【考题2】（2003

16、天津）已知二次函数 y ax bx c （a w 0）且av 0, a- b+c>0,则一定有（）A. b2-4ac>0B. b2-4ac= 0C. b2-4ac< 0D. b2- 4ac<02解：A 点拨：a<0,抛物线开口向下，y ax bx c经过（i, a-b+c）点，因为 ab+c>0,所以（1, a- b+c）在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点，所以 b2-4ao 0,故选 A .2【考题3】（2009、重庆）二次函数 y ax bx c的图象如图1 210,则R 1-2-10点（b, 一）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解

17、：点拨：抛物线开口向下，所以a < 0,顶点在y轴右侧，a、b为异号，所以b>0,抛物线交y轴于正半轴，所以 c>0,所以£ <0,所以 M在第四象限.三、针对性训练：（60分钟）21.已知函数y ax bx c的图象如图1 211所示，给出下列关于系数 a、b、c的不等式:a<0,b<0,c>0,2a+ b < 0,a+ b+c>0.其中正确的不等式的序号为2.已知抛物线y2axbx c与x轴交点的横坐标为一1,则a+ c=23.抛物线y ax28.若二次函数y axbx c的图象如图，则 (V > 或 =)bx c中，已

18、知a： b： c=l ： 2： 3,最小彳1为 6,则此抛物线的解析式为4 .已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： . 25 .抛物线y ax bx c如图1212所不，则它关于 y轴对称的抛物线的解析式是29.二次函数y ax bx c的图象如图1214所示，则下列关于 a、b、c间的关系判断正确的是（）A. abv 0B、bc<0C. a+b + c> 0D . a b 十 cv 0210.抛物线y axbxc （a> 0）的顶点在x轴上方的条件是A. b* 2-4ac< 0B. b2-4ao 0C. b2-4ao

19、 0D. c <011二次函数y=3x7.已知二次函数y ax bx c的图象与x轴交于点（一2, 0）, （x1，0）且1vx1<2,与y 轴正半轴的交点连点（0, 2）的下方，下列结论： avb<0;2 a+c>0;4 a+c< 0,2 ab+l>0.其中的有正确的结论是（填写序号） .;y= | x2;y= x x2的图象的开口大小顺序应为（）33A. (1) > ( 2) > ( 3) B. (1) > ( 3) > (2)C. > (3) > ( 1) D. (2) > ( 1) > ( 3)考点3:

20、二次函数解析式求法一、考点讲解：1 .二次函数的三种表示方法：表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系.2 .二次函数表达式的求法：2,一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y ax bx c；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。2.顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可米用顶点式：y a(x h) k其中顶点为(h, k),对称轴为直线 x=h;交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用

21、交点式：y a(x xi)(x x2)，其中与x轴的交点坐标为(xi, 0), (X2, 0)。解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设y ax2 ；已知顶点(0, c),即在y轴上时可设y ax2 c;已知顶点(h, 0)即顶点在x轴上可设y a(x h)2.注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。二、经典考题剖析：【考题1】(2009、长沙)如图1 216所示，要在底边BC=160cm,高AD=120cm的4ABC 铁皮余料上，截取一个矩形 EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交

22、HG于点M,(1)设矩形EFGH的长(2)当x为何值时，矩 以面积最大的矩形 围时，才能使铁桶的AM HG此时AD=BC °HG =y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式； 形EFGH的面积S最大？EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样 体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备 )。120-x y4解： AHG sabc,所以 AM HG,所以 f 二启，所以 y - x 160 AD BC1201603.矩形的面积 S=xy,4 24 23600 3600)S=-x2160x-(x2120x33_42=-(x 60)4800,所以 x=60cm, S

23、 最大=4800 cm 2.围圆柱形铁桶有两种情况：当 x=60 cm时,4,、y - 60 160 80(cm).第一种情况：以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面周长,则底面半径R=巴小铁桶体积2=2/=96吧面) 22第二种情况：以矩形EFGH的长HG=80cm作铁桶的高，宽HE=60cm作铁桶的底面周长,则底面半径R= 2icm铁才甬体稠2="0=72000cm2). 22因为Vi>V2,所以以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面 周长围成的圆柱形铁桶的体积较大.点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比较

24、得到哪种情况围成的铁桶的体积大【考题2】在直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为 A (0, 2), O (0, 0), B (4, 0), 把 AOB绕O点按逆时针方向旋转 900到4 COD。(1)求C, D两点的坐标；(2)设二次函数解析式为(2)求经过C, D, B三点的抛物线解析式。y a(x xi)(x x2)，由点 C, B 两点的坐标，得 y a(x 2)(x 4)。1将点D (0,4)代入得a=一,214)。x=1 ,它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。即二次函数解析式为 y ，(x 2)(x2【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线 点A,C的坐标分别是(一1, 0), (

25、0, 3)。2(1)求此抛物线对应的函数解析式；(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求 ABP的面积的最大值。(1)已知抛物线的对称轴为x=1 ,设抛物线解析式为4a k 0,23 .y a(x 1) k,将点 A(-1, 0), C(0,一)代入解析式，得 32a k -2122(x 1)2(2) A点横坐标为一1,对称轴为x=1 ,则点B的横坐标为3,设点P横坐标是m ( 1 1 23< m< 3),则点P纵坐标yp -m m 。p 22yp>o)S ABP1 2-m21)m2 2m 3 (m 1)2 4当m=1时，S有最大值，为4。解题小诀窍：当二次函数图像上

26、出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点P的纵坐标的表示方法。【考题4】(2009南宁)目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥一一永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分(如图1 218),在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为 350米，拱高为8. 5米。在所给的直角坐标系中(如图1 2 19),假设抛物线的表达式为y ax2 b ,请你根据上述数据求出 a、b的值，并写出抛物线 的表达式(不要求写自变量的取值范围，a、七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有

27、多大？(结果保留整数)解：(1)因为桥拱高度 OC=8. 5m,抛物线过点 C (0, 8. 5),所以b=8. 5.又由已知， 得 AB=350m ,即点 A、B 的坐标分另为 (一175, 0) , (175, 0).贝U有 0= 1752 - a+ 8. 5, 解得a= 0. 00028,所求抛物线白解析式为 y=0 . 00028+8. 5;(2)由1 2 20所示，设DE为水位上升4m后的桥拱跨度，即当y= 4时，有4=0. 00028 + 8. 5,所以 x=± 126. 77.所以 D、E 两点的坐标为(一 12 6.7 7, 4) , ( 12 6.7 7, 4).所

28、 以 ED = 12 6. 7 7+12 6. 77254米.答：当水位上涨 4m时，位于水面上的桥拱跨度为254m.点拨：理解桥拱的跨度 AB即为抛物线与x轴两交点之间的距离 .【考题5】(2009k海口)已知抛物线 y=x2+(2n1)x+n21 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于 x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A作x轴 的平行线，交抛物线于另一点D,再作AB±x轴于B, DCx轴于C.图 1 2-21当BC=1时，求矩形 ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值

29、？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由抛物线过原点，得n2- 1=0o解这个方程，得 ni=1, n2= 1。当n=1时，得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限；当 n=- 1时，得y=x23x,此抛物 线的顶点在第四象限 .，所求的函数关系为=x2 3x.(2)由 y=x2- 3x,令 y=0,得 x2- 3x=0,解得x1=0,x2=3。.,抛物线与x轴的另一个交点为(3,0), ,.它的顶点为(0, _9),对称轴为直24线x= 3,其大致位置如图所示。 2; BC=1,由抛物线和矩形的对称性易知OB=X (3 1)=1.B(1,0) , A

30、点勺横坐标2x=1 , 又点A在抛物线y=x23x上，点 A的纵坐标y=123X1=-2.1 . AB=|y|=| 2|=2. . .矩形ABCD 的周长为： 2(AB+BC)=2 X (2+1)=6.;点A在抛物线y=x23x上，故可设A点的坐标为(x, x2 3x),2 .B 点的坐标为(x,0). (0<x< 9)2. BC=3 2x, A 在 x 轴下方，x 2 3x<0,AB=|x2 3x|=3x x2 ,矩形 ABCD 的周P=2(3x - x2)+(3 - 2x)= - 2(x- i)2+ 22 a=-2< 0, .当x= 1时，矩形ABCD的周长P最大彳

31、1为-.此时点A的坐标为A(1 ,-).2224解题小诀窍：在此类求三角形面积、四边形周长和面积的最值问题时，解题的关键是如何用一个未知数将其表示出来【考题6】(2009、单B县)如图1224, OAB是边长为2 +南 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将 OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A', 折痕为EF.(1)当A' E/x轴时，求点A'和E的坐标；1 2(2)当A' E/x轴，且抛物线y -x bx c经过点A'和E时，求该抛物线与 x轴的6交点的坐标;(3)当点A'在OB上运动但不与点 0、B重合时，能否使

32、 A' EF成为直角三角形. 若 能，请求出此时点 A '的坐标；若不能，请你说明理由.困 1 -? - 24解：(1)当A' E/x时，/EA' 0=90° ,因为 AOB为等边三角形，所以/ A' OE=60/A' EO=30 °,A' 0= 2 EO,设 OA' =a，则 0E=2a ,由勾股定理得 A' E=，3a ,由题意意可知A A' EFAAEF,所以A' E=A E ,所以 A' E=#3 a=AE ,因为 AE+0E=2+ 3 , 所以 a=OA ' =

33、1 , A' E=乖，所以 A' (0,1), E(# , 1)由题意知，点 A' (0,1), E(J3 , 1)在 y=-1x2 63b c3 b= 6c=1c 1bx c的图象上，则方程组1-(3)26所以y=x2 ®1,当y=0时，得 66-1x2 亘 1 0,解得 x1=2qJ3,x273,66所以，抛物线与x轴的交点坐标为(2、/3 , 0),( # , 0)不能.理由：因为要使 A' E叨直角三角形，则90°角只能是/ A' EF或/A' FE .若 /A' EF=90 ° ,因为 FA'

34、; £与4 FAE 关于 FE 对称，所以/ A' EF= / AEF = 90° , /AEA ' =180此时A、E、A '应在同一直线上，点 A'应与O点重合，这与题设矛 盾.所以/ A' EF=90°,即AA' EF不能为直角三角形.同理，/A' FE= 90°也不成立，即 A' EF不能为直角三角形.点拨：此题是代数、几何综合题，注意利用几何图形之间的关系.【考题7】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,

35、4), B点在y轴上。(1)求m的值及二次函数的解析式；(2) P为线段AB上的一个动点(点 P与A,B不重合)，过点P做x轴的垂线与二次函数 图像交于点E,设线段PE的长度为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3) D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点 P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请说明理由。解：(1) .点A (3,4)在直线y x m上，4=3+m ,m=1。设所求二次函数为 y a(x 1)22点A (3,4)在二次函数为 y a(x 1)上，2 4 a (3 1) ) . . a=1.所求二次函数

36、为y (x 1)2,IP y x2 2x 1(2)设P、E两点的纵坐标是 yP, yE ,所以，PE=h= yPyE =(x+1) (x2 2x 1)=x2 3x,2即 h= x 3x(0vxv3).(3)存在。要使四边形 DCPE是平行四边形，必有 PE=DC，点D在直线y x 1上，点D的坐标为(1,2)。所以 x2 3x=2,解得x12,x2 1 (不合题意舍)，所以点P坐标为(2,3)时符合题意。三、针对性训练：(45分钟)1 .二次函数的图象经过点(一3, 2), (2, 7), (0, 1),求其解析式.2 .已知抛物线的对称轴为直线x= 2,且经过点(一1, 1), ( 4, 0

37、)两点.求抛物线的解析式.3 .已知抛物线与 x轴交于点(1,0)和(2, 0)且过点(3, 4),求抛物线的解析式. 24 .已知二次函数 y ax bx c的图象经过点 A (0, 1) B(2, 1)两点.(1)求b和c的 值；(2)试判断点P ( 1, 2)是否在此抛物线上？5 .已知一个二次函数|y ax2 bx c的图象如图1 2 25所示，请你求出这个二次函数_1/ 、的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程.26 .已知抛物线 y ax bx c过二点(一i, 1)、(o, 2)、(i, i).(i)求抛物线所对应的二次函数的表达式；(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)

38、这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？27 .当x=4时，函数y ax bx c的最小值为一8,抛物线过点(6, 0).求:(1)顶点坐标和对称轴；(2)函数的表达式；(3) x取什么彳I时，y随x的增大而增大；x取什么彳1时，y随x增大而减小.8 .在AABC中，/ ABC=90°，点C在x轴正半轴上，点 A在x轴负半轴上，点 B在y轴正半轴上(图1 226点的抛物线的解析式.9.已知：如图 1 2 27所示，直线y= x+3与x轴、1所示)，若tan/ BAC=-,求经过A、B、C精选文档y轴分别交于点B、C,抛物线y= x2y ax bx c有两个不相等的实数根；当二次函数

39、y ax bx c的图象与x轴有一个交+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另个交点.(1)求抛物线的解析式;1(2)若点P在直线BC上，且SAPAC=2 S册AB,求点P的坐标.曲 I 2 2710四边形DEFH为4ABC的内接矩形(图1 2 28), AM为BC边上的高，DE长为x,矩 形的面积为y,请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、考点讲解：1 .二次函数与一元二次方程的关系：2(1) 一兀二次方程ax2 bx c 0就是二次函数y ax bx c当函数y的值为。时的情况.2 .(2)二次函数y ax b

40、x c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、2没有交点；当二次函数 y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+ bx+c=0的根.2(3)当二次函数y ax bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程点时，则一元二次方程 ax2+bx+c=。有两个相等的实数根；当二次函数y= ax 所以 SAABP=2 - AB . |yp|=27。+ bx+c的2图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y ax bx c没有实数根.解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| xi x2|来表示。二、经典考题剖析：2【考题1

41、】(2003湖北模拟)关于二次函数y ax bx c的图象有下列命题：当 c=0时，函数的图象经过原点；当c>0且函数的图象开口向下时，ax' +bx + c=0必有两个，、， 一 14ac b2r 一一 一，不等实根；函数图象最高点的纵坐标是 ；当b=0时，函数的图象关于 y轴对4a称.其中正确的个数是()A. 1 B. 2C. 3 D. 4解：C 点拨：显然正确；由 a< 0及c>0,得4加2-4ao0.所以正确.由于 a的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定.所以不正确.因为b=0时，对称轴为x=0.所以正确.8分)求：/交的交点坐标;利用二是什 L 4M0?

42、【考题2】(2003青岛模拟，已知二次函数 y=x2 6x+8 ,(1)抛物线与x轴y轴相(2)抛物线的顶点坐标；(3)画出此抛物线图象，图象回答下列问题：方程x2 -6x+8=0的解么？x取什么值时，函数值大于X取什么值时，函数值小于解：(1)根据题意，得 x2 6x+8=0 .贝U ( x2) (x 4) = 0, xi=2 , x2=4 .所以与 x 轴交点为(2,0)和(4, 0);当x1=0时，y=8.所以抛物线与y轴交点为(0, 8)。2(2) x 6 3 y 4ac b 1，抛物线的顶点坐标为(3, 1)。2a 2 14a(3)图1 229所示.由图象知， x2-6x+8=0的解

43、为x1二2 ,旭=4.当x<2或x>4时，函数值大于 0;当2vx<4时，函数值小于 0.点拨：二次函数y= x2- 6x+8与x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2- 6x+8=0的两个解，用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线与x轴的交点坐标.【考题3】(2009k天津)已知抛物线 y = x2-2x-8,(1)求证：该抛物线与 x轴一定有两个交点；(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为 A、B,且它的顶点为 P,求 ABP的面积.解：(1)证明：因为对于方程 x2- 2x 8=0,其判别式4 = (2) 2 -4X (8) -36>0,所以方程x2 2x8=0有两个实

44、根，抛物线 y= x2- 2x- 8与x轴一定有两个交点；(2)解：因为方程 x22x 8=0有两个根为x二2 , x2=4 ,所以AB=| x一x21 =6.又抛物线顶点P的纵坐标yp = 4ac = 9,4a点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用.三、针对性训练：(45分钟)1.已知函数y=kx2- 7x 7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()7.7 A.k_B.k_且 k04477C .k_D.kk0442 .直线y=3x 3与抛物线y=x2 x+1的交点的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D.不能确定23 .函数y ax bx c的图象如图12 30

45、,那么关于 x的方程ax2 bx c 0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根2,4 .二次函数y ax bx c的图象如图1 231所示，则下列结论成立的是()A. a> 0, bc>0, < 0B.av 0, bc> 0, < 0C. a>0, bc<0, < 0D.a<0, bc<0, > 0-25 .函数y ax bx c的图象如图1232所不，则下列结论错误的是()A. a> 0B. b2 4ao0C、ax2 bx c 0的两根之和为负D、ax2 bx c 0的

46、两根之积为正6 .不论 m为何实数，抛物线 y=x2 mx+m 2 ()A .在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方7 .画出函数y =x2 2x3的图象，利用图象回答：(1)方程x2 2x3=0的解是什么？(2) b取什么值时，函数值大于 0?(3) b取什么值时，函数值小于 0?8.已知二次函数 y =x2x 6 -(1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；(2)画出函数图象；(3)观察图象，指出方程 x2-x-6=0的解；(4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积考点5:用二次函数解决实际问题一、考点讲解：1.二次函数的应用：（1）二次函数

47、常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形1 .S=hl ,我们要用x分别把h, l表不出来。经 2济问题：总利润=总销售额一总成本；总利润 =单件利润x销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：对称轴图1-2-33在取值范围内；取值范围在对称轴左边；取值范围在对称轴右

48、边。2.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.二、经典考题剖析：【考题1】（2003贵阳，12分）某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：152030y *>252010若日销售量y是销售价x的一次函数；（1）求出日销售量y （件）与销售价 x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：（1）设此一次函数解析

49、式为y kx b.则 15k b 25 ,解得：k= 1,b=40,20k b 20即：一次函数解析式为y x 40（2 ）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w 元，w=（x 10）（40 x）x2 50x 4002=（x 25） 225。产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元点拨：求（1） （2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可.【考题2】（2009、鹿泉）图1 233是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料， 得到下表中的数据：x/51020304050y/m0.1250.524.5812.5(1)请你以上表中的各对数据(x, y)作为点的坐

50、标，尝试在图1 234所示的坐标系中画出y关于x的函数图像；(2)填写下表:x510203040502 xy根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：(3)当水面宽度为36m时，一般吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：(1)图象如图12 35所示；(2)如下表所示；y= x2;S102030 50一SOO2网20020020031 o(3)当水面宽度为36m时，相应的x=18,则y= 赤 x 182 =1 . 62,此时该河段的最大水深为1. 62m.因为货船吃水深度为 1. 8米，而1.62 <1.8,所以当水面宽度为

51、36m时, 该货船不能通过这个河段.【考题3】我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为 P= - (x30) 2+ 10万元。为了50响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元。若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且 5年修通。公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资49194x 万元可获利润 Q = - 50 (50x) 2+ (50x) +

52、 308万元。若不进行开发，求 10年所获利润的最大值是多少？若按此规划进行开发，求 10年所获利润的最大值是多少?根据、计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。1解：(1)若不修路,由P=-50 *30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润 M1 =10 X 10=100万元;1(2)若对产品开发，在前 5年中，当x=25时，每年最大利润是 P=- (25 30) 2 +5010=9.5,则前5年的最大利润 M2 =9.5X 5=47.5万元;1设5年中x万元是用于本地销售的投资P=- (2530) 2+ 10,则将余下的(50x)

53、万5049194元全部用于外地的投资Q = - 50 ( 50 x) 2 + 50 (50x) + 308,才有505可能获得最大利润，则后 5年的利润是M31249 2 1942，_ =(x 302 10 5 ( 一x2 x 308) 5 5 (x 20)2 3500.故当 x = 20 时，M3取得最50505大值为 3500万元.所以，10年的最大利润为 M=M 2 +M3 =47. 5+3500=3547. 5万元； (3)因为3547. 5> 100,故有极大的开发价值.【考题4】学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.。恰好在水面中心，安置在柱子顶

54、端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图1-2-36所示，建立平面直角坐标系(如图 1 237),水流喷出的高度y(m)与水面距离 x(m)之间的函数关系式是y x2 5x 3，请回答下列问题： 22(1)花形柱子OA的高度；(2)若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？把x 0代入抛物线y把y 0代入y2 533x x 3 ,得 y 万 1.5OA=1.5 米2 53 /口 O R Qx ；x I ,得 x2 5x 3 0，222221- 2x 5x 3 0。一一 1x1 3, x22 又.x>0,.x 3。，OB=3 ,半径至少是 3米.点拨：以学校要建圆形喷水池为背景材料，将学生送到了一个“设计师”的角度， 运用二次函