函数与导数解答题答案(文科)

1、函数与导数解答题答案(文科)1. (2017省一统21)解：(I)当口 = - 1时，函数 月工)=/，lcr ,f' (x) J- I：!，；：,令f' (x)=0，计算得出 =当之卜x时，f ' (x) 0 ,此时函数 f(T)单调递增；当hE x.历2) 时,f ' (x) I),此时函数f单调递减.，函数 加»的单调递增区间为：E2.+OC)时，单调递减区间为(-ocJn2).(n )对xR，/(比户口/恒成立?百工+ a(f - a2w0 ,令 g(j ) = c'r +(i(f aT ,则 /(工)之。，恒成立? g(f)Ein3O

2、.g' (x)± ' ',；广 二 J：，,一门=o 时,g' (x) = 2， n ,此时函数“呜在R上单调递增，成工) =。恒成立，满足条件.。 0时，令g (x)=0,计算得出才=iit -,则才 bi -时,g ' (x) U ,此时函数g在R上单调递增；才 In 时,g ' (x) U ,Ari此时函数。也在R上单调递减.二当工二6m时，函数g(0取得极小值即最小值，则仪功£)=旷(彳一屈不后。，计算得出一。 U时，令g' (x)=0，计算得出工=ln(-a),则金时,g ' (x) I.)，此时函数

3、 或工)在R上单调递增；1时,g ' (x) 。，此时函数 或心 在R上单调递减.当金=时，函数9 取得极小值即最小值则 ( a)>0 ,计算得出-1W“，< 0.综上可得：a的求值范围是-L.2. (2017省二统21)解:(1)根据题意可以知道函数人工)的定义域为当 n = 3 时，f:r) = -x1方4 2111.1：,一当TE(lkl)或工w+DC)时， > 0 ,汽工)单调递增.当£1*2时，/(J-) < 0 ,汽价 单调递减.综上，/ 的单调递增区间为(n.l) , (N+%),单调递减区间为(L2).(2)由成;r) < H1

4、,得-X2 + Am + (2 - x)ln.r - A, < - / + ,r +,整理得，j'lnx + J'八 I xbix 4- ,T、令Q5 = 丁 i ,则5力=x Inx 2令,i , '同二：;一二【二;凤工)在(1.+oo)上递增,M3) = 1 一加34。，> =2 一配4 > 0,川G存在唯一的零点 工代(3.1)./“如)=Cl - /ru 2 = 0，得/HTn =1八 2.当工喧1.皿)时，,心)< h(必)=0 , Q、工)< 0 ,;.Q在3劭)上递减；当工0心|.卜X)时，0 ,j.Q(h)在(% + oo

5、)上递增.保小二- 一 " I* 1X(j - 1ir/jrtr + x要使k < 一 ,对任意J > 1恒成立,只需k < Q(1)rm = J.又3c办< 1 ,且依Z ,/的最大值为3.3. 解: 门=0 时，f(；r)=工 + ku:,工口J ' (x) = 2工 + 1 ,J (1)=3, /(1) = 1 ,二数尊=汽工)在点(L /(1)处的切线方程为：行一 "一 2 = I】，(2)函数/在-,1上是增函数,M，:f ' (x) = 2一门+ >0 ,在-.1上恒成立,即门<27 + -,在2，1上恒成立,

6、 T )令心)=2上+ - >2而曰1二九勺,当且仅当工=2 时，取等号.fl<2vz2 -F的取值范围为-x.2v(3)。门口 一' 一 n 涂工，rj：0, 1 QX - 1 y.、,9，(x) = " ")< 工 ,1 ;r当"WG时，仪工)在0.4 上单调递减，m叫=(JM =- 14(-(舍去)； f当3 > 0且一< 2时，即口 > ，或心在(0.-)上单调递减,在 ava增，工)mE =认一)=1 + b，" = 3 ,计算得出a =，满足条件;当 门 (1 ，且一之f 时，即I) <门&l

7、t;-,或出 在().1上单调递 a e减，=，/相)="，"-1 = 3，计算付出 门=(舍去)； £综上，存在实数门=J ,使得当Jb(O-e时，有最小值3.4.解：(I)当江时，f(K) (X -K-1)史工,，口(Q (x 2+x-2)e31 ?当日(x) - (x 3+x-2)©工>口时.解得xl或x<-£,函数单调递增，当。(Q _ (一+k 不。时,解得4<x<L函数单调递减，/J (x)在Jx 2)， (1. +x)上为增函数，在(2 I)上为减函数;(2)& (x) (x+2) (x-a) ”，

8、ae (t), 2)时.f Cx)在上单调递增.在(2 的单调递减.所以fX)皿一f (-(a+4)=5 f (T) -(3a+l(>)e-4>-a-f(0)，故 f(k ) -I (x 2) ., |f C*2)-f (l) -a+4e，IiIJ J-rtA I|f (i!)<加-3 唯成立，BPa (e-2+l) 山之七配/皿咂成立，即iu> " R")恒成立，令K葭)_二，(th 2),易知H(X)在其定义域上有最大值K (1)；, 所以m> * .5.( I )得一故00在匕,2)内递增，/(工)在(0,二)和(2. + 8)内递减.(

9、n)函数,住)的定义域为(0. +8),依题意产(工)工0在k > 0时恒成立，l-2x 1 cIIP«X" + 2x 1 < 0在£ > 0时恒成立，则C < 一L = (一- 1)一 1在X >。时恒成 X" ",立，即。三一工，a的取值范围是(一8 1.设。(工)=：二二一;工 + In工-b (x > 0), 则=，:. (工 > 0)X1也2)2N 4)49,+0-0+9。)/极大值一匕一二 4极小值忸2 b 2/2 In 2 b 2列表:方程g =0在L 4上恰有两个不相等的实数根,(3(1

10、)之 0,.则，。(2) v °， = ln2 2匕 W 二，(近旬> 0丁，b的取值范围为(1口2 2, ：.6.解: 函数/工)=/一 (Lt - 2的定义域是R,f ' (x) = f/若"W。，则f' (x) = c1 - «>(),所以函数 /(H)=b - a.r 递增，若。> 口，则当 i(-oct 加而 时,f ' (x) = cr - a <Q ；当 IE。也.4x)时,f ' (x)=U ;所以，1f1在(-oo: htd ；单调递减,在(Ma + x)上单调递增Jt 12cl F(2)因

11、为a 1 ,- f(x) < 1楸一1)01) <,T + 1,工+1，工工十门 > 0，土 1 >。一 A u + H ,令 9(工)=J仁- 1cJ -工匕工-1小化工-x - 2)如)=(“)? 1 1=(“1产一行，2在 - x；+x)上单调.,11 +工，1令 = 2 ,h ' (x)- l>(,.g)在(0,+ooJ 单调递增，且 MU < 0 , h(2) > 0 ,力(工)在(0. +xj上存在唯一零点,设此零点为 启 ,则iu( 12)当箝金0.箝)时,g ' (x) < 0 ,当 箝后(工场+x)时，分：. =

12、。.；="'' ，：；'!. =1 ' . 一fr11 - 1crB - L由,E'l , I二！,又,.卡<，"上的最大值为2.7.解：(1) 7,门上) = f/一工一仃，,/(0) = 1 什=1 ,"=0 ,)= j-,记 g=(f -1，. £)=工"- 1，当工< 0时，< 0，或心单减；当工;。时，(工)> 0，小工单增，一 :',1- '., 一 - L ,故广 0恒成立,所以人工)在.一X.tX)上单调递增.(2) ' f 门 一 ：.,：

13、；，令，-7；：'.r)-':,-1I当上之0时，/(1)之。，以£)在0. +x)上单增，.闻幻mM = a。) = 1 - mi)当1 一壮0即a<l时，g(f巨0恒成立,即产(工巨0 ,./(1)在0,十M 上单增,L./*4川“ =RO) = 1 - - >0 = -2<a<x/2 ,所以"vz2<a<L六)当1 一 & < U即c > 1时，7蛆t)在().十dc)上单增，且ff(o) = 1 - n < (J ,当 1 < " < J 一 2 时，gUM2) =

14、2 - ln(a + 2) > 口，.二？箝任+ 2)>使= U ,即r-=勾斗化 当金石0.葡)时，祖心< o,即r(J)< o, /(工)单减;当 eW(我:4-oo)时，> U，即 /工)> 0 , /(工)单增.0 0 < 心£：M2 ,由 产, =遍卜 + u,.u = r7" r记， . . 一,/0 = d - 1 > 0 ,金（上）在0）.加2上单调递增,.工工:守:为- - ",.：；*" /匚k综上, . .二 一' .': .8.- i 1.：二当工2 0 时，/)&g

15、t;0 ；当工<0 时，/rM<0 ；，当力=】时，图数在0 +叼上单调递增，在L60)上单调递减(2) 二对于任意的xW0.+*) , /(工)之0恒成立，当工之。时，/(x)mm > 0(W)当时，=/一加之0 ,=在0.+忙)上单调递增，/)1nli =/(0> = 00，故而,1符合题意(ii)当用 > 1 时,由 /(.V)= e 一切=0得工= In w，当 0 < 1 < In ,时j /'(.v) e 一审01当 1 > In 一时，/ 一人 > 0,#)2-xT在(0回 上单调递减；在。口叭+网 上单调递增s/(X

16、)皿=w) w _ win w -1.二所一mln用一=0 .'. lnjrt + -< 1tn设 r(_t) = hi.r + 一 (t > 1)工）=,一=二之0 ，0）=lux + L在（L+工）上单调递增 X X' X*X；,rCm）>r（l） , BPtam+l>l ,这与Inm + Vl 矛盾，制 >1 不符合题意 tnm踪上，E的取值范围是明工】.1一29.解:（1）/（1） 二-, e令，广（工）> o，计算得出了 < ：,令（工）< o,计算得出 二 ：所以JU）的单调递增区间为-X.；）,单调递减区间为：.卜X

17、） , / 的最大值为22“ 1 ,-；2（口）令g（工）=丸工卜际川=W十一旧讯，. .v x,1 2r1 r 2当口 < H < 1时9+。储，所以g 3 = =1斗士 =工，十F3 M工 L, , 1在U <金< 1时，函数y =匚"的值域为（L0 ,函数y = 2.ej -t的值域为（一 1 ©所以在0 < x < 1上，恒有2/.r < Jd，即 e+ 一2/> 0 ,所以u =,'（工）对任意工丘（。/）大于零恒成立，所以足呜 在/）上单调递增；（2）当J'>1时，加工=二；+一，心，所以显然

18、在工之1时有函数1-=工（1-9工）< 0恒成立,所以函数r/=-七< 0在工21时恒成立,所以g'(工) 。对任意rE(L + x)恒成立，所以 矶量)在(L+x)上单调递减；由(1)(2)得，函数 斌工)=-7- |加工|在(ai)上单调递增,在口. + *)上单调递减,所以 观工)的最大值为g(l) = r +=h有且只有一个零点；有两个不等的零点；当二广10.由 f (x) =a2x3 3ax 2+2,求导,f '(x) =3a 2x2 6ax,(I )当 a=1 时,f '(x) =3x2 6x,f '(1) = - 3,f (1) =0,

19、没有零点.；f (x)在点(1,f (1)的切线方程的斜率 k= 3,直线方程y= 3 (x-1 ),即y+3x - 3=0,函数f (X)的图象在点x=1处的切线方程y+3x 3=0 ；A2(n)令 f'(x) =0,得：x1=0,x2=, a(1)当 0V2<1,即 a >2 时,x £ ( 0°,0),2(±,+ 8)时,f '(x) > 0,当 x £ ( 0,二.当 x 在区间(1,1)上，x,f (x) ,f (x)变化，x(-1,0)02(0,-) a2 a(£,+°°) af

20、 ' (x)+0-0+f (x)t极大值J极小值t.一 一2 2日一4二.函数f (x)在【-1,1】上有极大值f(0)=2,极小值f(£)=£口 ？1,即 a=2 时,x£ ( 8,0) , (1,+ R)时，f '(x) > 0,ax ( 0,1 )时 f '(x) < 0,二.函数f (x)在【-1,1】上有极大值f (0) =2,极小值f (1) =a2 - 3a+2 ；2+ °°)时 f '(x) > 0,当一< 1,即 0< a<2 时,x£ (一 0&#

21、176;,0), ax£ ( 0,.函数f (x)在【-1,1】上有极大值f (0) =2.综上，当a>2时，函数f (x)在【-1,1】上有极大值f (0) =2,极小值f (2) =2aT|a| a当a=2时，函数f (x)在【-1,1】上有极大值f (0) =2,极小值f (1) =a2 3a+2 ；当0<a<2时，函数f (x)在【-1,1】上有极大值f (0) =2;(3)设 F (x) =f (x) - g (x) =a2x3 - 3ax2+3ax - 1, (x £ ( 0,_!】),2对 F (x)求导，得 F (x) =3a2x2 6ax

22、+3a=3a 2x2+3a (1-2x) > 0 (a>0)F (x)在(0,二】上为增函数，则F (x) max=F (二).2J依题意，只需 F (x) max > 0,即 a?- 3ax1+3ax1-1 >0,842 -a2+6a 8>0,解彳导 a> 3+j_或 a< 一 3 V17(舍去).于是，所求实数a的取值范围是(-3+百亍,+ 8).11.* (1)函数的导数为f (x)_工'+ 1(1 + X'-)-由的一个极值点为1，可彳等一)二 口3则，f ' (x)门 71 + 1?由f' (x)，计算得出即为

23、，计算得出可得/1的增区间为(2.-),减区间为 (一工/，弓.卜x);极小值为当门=o时，1工)=，当工可n2,代工)之。，1十工一且。< t<2时，工斗1 >2?<r* 1=2，当且仅当了=I时，人工)取得最小值2,1 一 V 土 I/=.I 1 W5.则/ 在0. 2的值域为0. i； 工十；上2g(G =工"kj：的导数为 g (x)=kJ r 】 I kg(1)在1. 2上有极值，可得i v < 2计算得出_ ,由g(1)在, )递减，在2)递增,可得以工)在1.2的最小值为_聿2kT氯巧一、/*当k=7时，虱1)=矶2) = - 6为q的最大

24、值，符合题意；当A, > 7时，g(l > g,I 一卜为虱工)的最大值， 根据题意可得1 - A < 0，即k > 1，故k > 7成立；当卜< 7时，现1) <更外，8 2k为现比)的最大值，根据题意可得 8 2A < 0，即k > 1，故1 < % < 7成立;综上可得k的取值范围是 (4t 12)."切父-lx1 f «(1 - E;)一儿工(广11)12.( i)解：；/(1)= J(xt -i、i.XX-' (e)=0，,力=U，则 f' (xA "(1 一,同.X-当c

25、 > 口时r 陶(o.f.)内大于0，在忆+x内小于0，；./(T)在(。.白)内为增函数，在(7. +X)内为减函数，即 / 有极大值而无极小值 ；当"< 口时，/(T)在(口.£)内为减函数，在a +dc内为增函数，即y(T)有极小值而无极大值，门< 口，即实数a的取值范围为(-OC.0);(n)(i)证明：当门=6 = I 时，设 j7(j ) = x/(.r) + 2 ="上一 " 十 'g' (x)= eJ 在区间(D+ +ocj 上为减函数，又 g'(i)1 r < 0 ,g (1) = 2存在

26、实数占怎d, 0，使得虱丁母=-R=亿 2出口此时祖工在区间(0.孙)内为增函数，在i山43)内为减函数.又，一；,.： =一”由单调性知，f；i ,可.；，；：'J，.；= I 1. |",；I =；叫1 . 1 v又，,：' ： ''-21n二虱呜 <。，即工)+ 2 < 0 ;I ；： J J ；：' L ；' . ,，；，：,1 I ?，二, 一,当门=I , b = - I 时，设 /t(.L-)=一1 j = Inx + / 一 1可工则 h' (x)- '；：露，X令 t(x) = h ,(x)

27、 _ * 1 - hlX1 1;1> 1，/ > (xL cr -=;> o.X- x£. Ji. ' (x) (L+X)内单调递增，.二当工：> I 时,h' (x)> h ' (1)1 + e - HL当 1 4 F - TH2U 时，即 T»<1 +时,h ' (x)> IJ ,川工)在区间(L + x)内单调递增，/e > O+-1），当H1时，(1)> ?Hl)=仁恒成立；当 1 +1-m < 0 时，即 m > 1 + e 时,h (x)< i),;存在 1T

28、li曰 1. +g)，使得 h，(时)=0.用心 在区间1.羽)内单调递减，在(上山内单调递增.由 h(.ru) < h(l) = e ,，h(£)> e不恒成立.综上所述，实数m的取值范围为 x, 1+e.，实数m的最大值为：1 +匕I13.(1)函数 /1定义域为0* +oc) ,= 2m，I工31由已知得，所以h一，八/22所以凡=1_1='t，由/(X)> o得工>1,由尸(工)<。得I)<工< 1X X故函数/工)的单调递增区间为1. 4-OC)，单调递减区间为(0.1) . (2)令娟)="上) -(/T)，则(

29、fix) = ,r - - F -,XX-1 户1 _ r.*.由一一 3一上=-，令 /f(T)= £ 一 一工，贝u /(T)=_ 1 ,当工；> 1时，/(1)> 0 ,所以hr在1+X)上为增函数，所以 加工)> h(l = 0，所以c1-J > 0 ,即：-rl-J > -，xx.-121 t 1 2t + 1,r2 - 2hT + 1所以，而，x ；LX X1X2X2所以g'(上> > 0 ,所以虱工在(L+oc)上为增函数，所以祖力 > 斌1) = 0 ,即：/(x) >el-Jx14.(1)函数/力= hl

30、.f定义域为(0. +DC)由已知得f' (1)=卿："+1 = |，所以H = 1 ；(2)因为门之- 2，所以cJ +ff>cJ 2 ,所以只需证明_> |),令 g(工)=cr Ig(工 > 0)，则 g (x)= b J -，所以g(滩0.+ x)上为增函数，而 g'(1)= c 1 - 1 < (，g (2H 1 - - > 0， 2n所以g'(难0.+X)上有唯一零点,11且,当 上E(0.a。时,g' (x)< 0 ,当 hE(h作+x)时,g' (x)> 0 ,所以q(工)的最小值为,由

31、 g (4 J = rf|,"' = 0 , 迎得：，丁Lt'H = 2 - 由1 ,勒所以,A)而 小口 L2i ,所以 g(g) > 0 ,所以 g(i) > gUx) > 0 ,即：/-=Iht > U，所以，当 fl> - 2 时，/(0 > (I.V|2 J 2x 115 . (1)当口 1 0时,/(土)= 21口十 f'S=，一 藕= (1 )Q)，由I>0,解得> ；,所以/(工j在1%：；，上是减函数，在+001上是增函数 J? 一一谷1所以/（上）的极小值为 f （一）= 2 ？卜2,无极大值

32、.十(2 (3)工-I gz+l)(2jr - 1)当-2<仃<（|时，八那01）和（十上是减函数，在上是增函数;2 Q当q = -2时（工）在（0、+m）上是减函数;当Q < -时，/"）在|（1+gi和上是减函数，在（一工,上是增函数.（3）当卜3<n< -2K，由（2）可知ffg在上是减函数，一2.所以用/一 门界)1 </(D- /(3) =- + (fi-2)ln3,J由（m + 】口3K -21n3>i/（r1）- 门）|对任意的匕 （3.为由,可£ L3恒成立,所以(e + 1113m - 2ln 3 > |/(

33、xi) 一 /(xa)|max4n + S 对任意：4Y 2恒成立，2 ，一即对任思3（1-3 < a < -2恒成立,由于当一3<a< -2时，T < 4十怖父3S，所以旧<16 .(1)解：/p(x)=2(r-sinx)，设式刈=xf inx，则屋/=1ro§>当工20时,我©之。，即g（x）为增函数， 则 ra）=2g（x）> 2g（o）=o，所以 /（X）在工6。+工）上是增函数 因此 /（必.二/（°）二2（2）证明：由（1）得，当丫2。得，当工之。时,广（工）之。，即w 口工工，/（工）2 ，即 CO5X

34、>1 ，所以 sinx-cosx+lWx+ 2V下证工+ 一 £ 工一 1即可得结论.， r X,令人（尤）=/ -彳-工一1，则h'（.T）=0" -X-1，/(力:/-1，当工20时M-12 0,所以h 是增函数，且h U) >*'(0)=0,3，所以网才是增函数，力2网0) = 0，可得/一二_工一1之0,即,一1之三+工，2所以结论成立.-1 hix k 1 ln,r + k17.(1)：.，力：二溪X"令厂(工)> 0 ,得0<工<,令尸(工)< 0 ,得工)M+1 ,故函数y1在上单调递增，在

35、1;*卜+1.十才)上单调递减，故当 > 1 时, 2卜 下 上 + 1 ,. f < . . ;.无(*) >当卜 c 1 时, my 卜 + 1 ,. f > -rr，力 < 3.1kkJ由(1)知 Fi(k) = , _ >, "2_ < LcA+Lac a设 = L(j(k)=:+ D>，令 gk) = (1，计算得出 k = -L,° II °' I当 > 0 时，令 gk> > 0 ,得 A* >1 ;令 g'E)< (1 ,W A* < - 1 ,V一 -：. 一处:；一一, ea/.<7(At)E(- +oc). extk故当a > 口时,不满足，小> >对ken恒成立； ae当a <