函数图像的切线问题

1、函数图像的切线问题要点梳理归纳1 .求曲线y = f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(xo, f(xo),求y = f(x)在点P处的切线方程:切线方程为 y f(xo) = f (xo)(xxo).(2)已知切线的斜率为k,求y = f(x)的切线方程：设切点为P(xo, yo),通过方程k= f (xo)解得xo,再由点斜式写出方程.已知切线上一点(非切点)A(s,t),求y=f(x)的切线方程：设切点为P(xo, yo),利用导数将切线方程表示为y-f(xo)=fz (xo)(x-xo),再将A(s,t)代入求出xo.2 .两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=

2、g(x)存在公切线，f (xo) = g (xo), 若切点为同一点 P(xo, yo),则有f(xi) gd)xi x2f(xo)= g(xo).若切点分别为(xi,f(xi),(x2,g(x 2)，则有 f (xi) g (x2)题型分类解析题型一已知切线经过的点求切线方程3例1.求过点P(2,2)与已知曲线S: y 3x x相切的切线方程.解：点P不在曲线S上.32设切点的坐标 ,yo ,则yo 3xo xo ,函数的导数为y 3 3x ,切线的斜率为k y 3 3xo3. Q 点 P(2,2)在切线上，2yo(33x0)(2x),又 y3xx0,二者联立,切线方程为y y (3 3x0

3、2)(x x),x xo可得x01,或x01J3,相应的斜率为k 0或k 9 6J3切线方程为y 2或y 9 673 (x 2) 2.例2.设函数f x g xx2 ,曲线y g x在点1, g 1处的切线方程为y 2x 1 ,则曲线yf x在点1, f 1处的切线方程为解析：由切线过1,g 1 可得：g 13 ,所以f 12g 114 ,另一万面,g x 2x ,所以 f 1g 12 4 ,从而切线方程为：页脚y 4 4 x 1 y 4x例3.已知直线y kx 1与曲线y3x3 ax b切于点（1,3）,则b的值为解析：代入（1,3）可得：k 2, f xf 1所以有 ，f 1a b 1 3

4、 a 1,解得3 a 2b 3题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数f x ln x 2x ,则:（1）在曲线f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x y 2 0平行（2）在曲线f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线x y 3 0垂直解：设切点坐标为 x0, y0f x01，一一 L 2 由切线与4x y 2 0平行可得:x0f x01x012 4x021, 1y0f -ln 122切线方程为：y 1 ln2 4 x 2y 4x In 2 1(2)设切点坐标 x0,y0f x011f xo 21 x0-xo31 一、一人，xo-不在定乂域中，舍去3不

5、存在一点，使得该点处的切线与直线例5.函数f x a ln x bx2上一点P1八八，人一，2 ,直线x y 3 0的斜率为1 xo而 x00,x y 3 0垂直2, f 2处的切线方程为y 3x 2ln2 2 ,求a, b的值思路：本题中求a,b的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线y 3x 2ln2 2上,y 3 2 2ln2 2 2ln2 4,即 f 2 =2ln2 4,得到 a,b的一个等量关系,在从切线斜率中得到x 2的导数值，进而得到 a,b的另一个等量关系，从而求出a,b解：Q P 在 y 3x 2ln2f 2 aln2 4b 2ln2又因为P处的切线斜率为3 af 2 4

6、b3,2例6.设函数f xx3 ax22上， f 23 24af x 2bx xaln 2 4b 2ln 2 4a 4b 329x 1 a 0 ,若曲线2ln2 2 2ln2 4a 2b 1y f x的斜率最小的切线与直线12x y 6平行，求a的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12,进而可得导函数的最小值为 12,便可求出a的值222解：f x 3x 2ax 9 3 x -a3，11 of x minf -a -a 9 Q 直线331 2a 912 a 3 Q a 0 a3题型三 公切线问题3 .例7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y x和A. 1或豆B. 1或z

7、思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线1 21 211 2a a 9 3 x - a a 993332x y 6的斜率为 12,依题意可得：3215y axx 9都相切，则a等于（）4C. 7或丝D. 7或74644215-人一一一y ax x 9含有参数，所以考虑43先从常系数的曲线y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线2153 .,3.,、一一y ax x 9求出a的值.设过1,0的直线与曲线y x切于点x0,x；，切线万程 4为yx33x；xx0,即y3x2x2x3,因为1,0在切线上，所以解得：x00或3 一 一，x0一 ,即切点坐标为23 272 150,0或工一.当切

8、点0,0时，由y 0与y ax x 92 84相切可得21525 一 .3 27 .一 4a 90 a 25,同理，切点为 -,27解得a 14642 8答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 215 一 215-（2）在利用切线与 y ax 一x 9求a的过程中，由于曲线y ax 一x 9为抛物44线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0来求解，减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系:方面，求有关导数的问题时可

9、以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若 曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线Ci： y x2与曲线C2： y aex存在公切线，则a的最值情况为（8A.最大值为 e一 4B.最大值为2ec .最小值为-82 e一 4D.最小值为 e解析：设公切线与曲线C1切于点2 xi,xi,与曲线C2切于点x2,aex22x 口可得:xae2x1 aex2x22ae x,所以有2x12x1x12x1 2x22增，在4 x22,12x2x12x1*2aex1,所以aeX214一，设 f x单调递减，所以amax2 x x .可知f x在 e1,2单调递1

10、0864aeAxxA2-4题型四切线方程的应用例9.已知直线y kx与曲线y 解：根据题意画出右图，由图可知,设切点坐标为x0, y0 ,则4-15454ln x有公共点，则6k的最大值为当直线和曲线相切时，,. 1yo ln xo , yxio yk取得最大值.I工x x0xo切线方程为122511y In x0（x x0）,Q原点在切线上，In x0 1, x e斜率的最大值为一.xoe例10.曲线y ex在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）2A 2c 242eA. eB. 2eC. 4ed.2思路：f x ex由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线

11、方程 f 2 e2所以切线方程为：ye2 e2 x 2即e2x y e2 0 ,2-1,2e与两坐标轴的父点坐标为1,0 0,e S1e一2 23 2 .例11.一点P在曲线y x x 一上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角 的取值3范围是（）.-3, 333A. 0,B. 0, U ,C. ,D. ,22442 4思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.y 3x2 1 ,对于曲线上,所以倾斜角的范围任意一点P ,斜率的范围即为导函数的值域：y=3x2 11,是0,一 U 3 ,.答案：B24例12.已知函数f x2x3 3x ,若过点求t的取值范围思路：由于并不知道3条切线中

12、是否存在以C 3cy0 2xo 3xo 切线斜率为k ,则满足.k f x06x（P 1,t存在3条直线与曲线y f x相切,P为切点的切线，所以考虑先设切点 x0,y0 ,所以切线方程为 y y k x xo , 3y 2x3 3x036x2 3 x x0，代入P 1,t化简可得：t4x0以若存在3条切线，则等价于方程t.3-24x0 6x0g x4x3 6x23有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标 x0,yo ,切线斜率为k ,则有:y0 2x0 3x02k f x06x0切线方程为：y 2x33xo6x： 3 xXo因为切线过P 1,t ,所以将P 1,t代入直线方程可得:32

13、t 2x0 3x0 6x0 31x0t 6x； 3 1Xo2x03x0_ 236x0 3 6x03xo33 c 22x0 3x04x0 6x0所以问题等价于方程t3 c 2 c 人4x0 6x03,令 g x4x36x2 3即直线y,3- 24x 6x3有三个不同交点_ 2-12x12x12x x0解得0 x1 所以g x 在 ,0 , 1,单调递减，在0,1单调递增g x极大值g 11,g x极小值所以若有三个交点，则t 3, 1所以当t3, 1时，过点P 1,t存在3条直线与曲线yf x相切例13.已知曲线C:x2=y, P为曲线C上横坐标为1的点，过P作斜率为k(kw0)的直线交C于另一

14、点Q ,交x轴于M ,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出 K的值，若不存在，说明理由思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点P 1,1 ,则可求出2PQ:y kx k 1,从而与抛物线方程联立可解得 Q k 1, k 1 ，以及M点坐标,从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到 N点坐标.如果从M ,N坐标入手得到 MN方程，再根据相切0求k ,方法可以但计算量较大.此时可以着眼于 N为切点，考虑22抛物线xy本身也可视为函数 y x ,从而可以N为入手点先求出切线，再利用切线过M代入M点坐标求k ,计算量会相对小些解：

15、由P在抛物线上，且P的横坐标为1可解得P 1,1一 k 1设PQ:y 1 k x 1化简可得：y kx k 1 M,0 k2y xy kx k 12消去 y ： x kx k 1x1 1,x2k 12Q k 1, k 1设直线QN:y k 12- x k 1即yk2y x联立方程：2 1y k 1 x k 1kk 1 2 1 x k 1k211x x k 1 k 10kkxQ xNxN211N k 1 - , k 1 - kk.2 由y x可得：y 2x切线MN的斜率kMN|x xNMN : y代入M得:k20,比联立方程计算0简便小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上

16、或向下的抛物线, 椭圆双曲线的一部分)，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要(2)本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知 横坐标求出N的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交 点求另一交点的问题.例 14.设函数 f(x) = x3+ 2ax 2 + bx + a , g(x) = x23x+2,其中 xC R, a、b 为常数，已知曲线y = f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线1.(1)求a、b的值，并写出切线1的方程；(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1x

17、2,且对任意的xCx1, x2, f(x) + g(x)a = 2,由此得解得12 + 8a+b=1,b =5.所以a = 2, b=5,切线l的方程为x y 2 = 0.(2)由得 f(x) = x3 4x2 + 5x-2, 所以 f(x) +g(x) =x33x2+2x.依题意，方程 x(x23x+2m) = 0有三个互不相同的实根 0、x1、x2, 故xi、x2是方程x23x+2 m =0的两相异的实根.1所以A = 94(2m)0 ,即 m 4.又对任意的 xC xi, x2, f(x)+g(x)m(x 1)恒成立.特别地，取 x= xi 时，f(xi) + g(x i) mxi m

18、成立，得 m0, xix2= 2 m0 ,故 0xix2.对任意的 x xi, x2,有 x x2 0 , x0 ,则 f(x) + g(x) mx = x(x xi)(x x2) 0,又 f(x i) + g(x i) mx i = 0,所以函数f(x) + g(x) mx在x x i, x2的最大值为0. i于是当一4Vm0 时，对任意的 xCxi, x2, f(x) + g(x)m(x i)恒成立.i , 综上，m的取值范围是 一4, 0 .例i5.如图3-i,有一正方形钢板 ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直 线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.

19、工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米，问如何画切割线 EF,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.解法一：以O为原点，直线AD为y轴，健弊E建立如图所示的直角坐标系，依题意，。掣心产可设抛物线弧OC的方程为 y= ax 2(0 w xw 2),点C的坐标为(2,1),1- 22a = 1, a =一，4故边缘线OC的方程为y=1x1 2 y=2tx-4t2+1,(0x2),要使才形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线1,2弧OC相切，设切点坐标为 P t,第2 (0t2),y = 2x,直线EF的方程可表示为 y 不2=2(xt),1 1 2即 y = 21x 不2.由此可求得 E2, t-4t2 , F0, 7 .，| AF| = - 4*t2 1= 1 4t2,| BE| = t-1t2- - 1=-1t2 + t + 1.设梯形ABEF的面积为S(t),则1c 5 55&t)= 2(t1)2+22, .当 t=1 时，s(t)=a，故S的最大值为2.5,此时| A