小学奥数约数与倍数(三).教师版

1、5-4-3.约数与倍数(三)加隹除目阳1 .本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最 小公倍数性质的应用。2 .本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，例如：(1)约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在 关系；(2)整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表 示为的结构，而且表达形式唯一”Will一、约数、公约数与最大公约数概念约数：在正整数范围内约数又叫因数，整数a能被整数b整除，a叫做 b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的 “公约数”；(3)最大公约数：公约数中最

2、大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如:231 = 3x7x11 , 252 = 22x32x7 , 所以(231,252) = 3x7 = 21 ；2|18 12短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：斗9 6 ,所以3 2(12,18) = 2x3 = 6 ；据转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就 是所求的最大公约数.用根转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先 用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数, 得第二个余数；又用第二个余数除第一

3、个余数，得第三个余数；这样逐次用 后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是 所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).例如,求 600 和 1515 的最大公约数:1515-600 = 2.315 ； 600+315 = 1285 ；315+285 = 130 ； 285+30 = 915； 30+15 = 20 ；所以1515和600的最大公约数是15.2 .最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质教；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的 最大公约

4、数乘以.3 .求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公 倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b; 9即为所求.a4 .约数、公约数最大公约数的关系(1)约数是对一个数说的；(2)公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数：一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那 么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。1.求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例口： 231 = 3 x 7x1

5、1 , 252 = 22 x 32 x 7 ,23L252 = 22 x32 x7x 11 = 2772 ；短除法求最小公倍数；2|18 12例如：3|9 6,所以182 = 2x3x3x2 = 36 ；3 2，闻=丝”(力)2 .最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.两个教具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.3 .求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各 个分数分母的最大公约数A ； 2即为所求.例如：自上=受1="a4 12(4,1

6、2) 4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如:P 41 1,412 3(2,3)4 .倍数、公倍数、最小公倍数的关系(1)倍数是对一个数说的；(2)最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 .两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果/为A、B的最大公约数,且从=nu,1 , B = nib f那么a、互质，所以A、 3的最小公倍数为迎，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： M | A Ba bA X 8 = X mb = m x mab ,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这 两个数的

7、积；最大公约数是A、B、 A + 4、A-B及最小公倍数的约数.2 .两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即Q,)xa, = "x ,此性质比较简单,学生比较容易掌握。3 .对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：5x6x7 = 210, 210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：6x7x8 = 336,而6,7,8的最小公倍数为336 + 2 = 168性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与 数字乘积之间的大小关系，即“几

8、个数最小公倍数一定不会比他们的乘积 大”。四、求约数个数与所有约数的和1 .求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指 数(次数)加1后所得的乘积。如：1400严格分解质因数之后为23x52 x7 ,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1)=4X3X2=24 个。(包括 1 和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公 式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结 合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点 在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的

9、就是对这个公式的逆 用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原 构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2 .求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因 数依次从1加至这个质因数的最高次幕求和，然后再将这些得到的和相乘， 乘积便是这个合数的所有约数的和。如：21OOO = 23x3x53x7 ,所以21 000所有约数的和为(1 + 2 + 2* 23)(1 + 3)(1 + 5 + 52 + 53)(1 + 7) = 74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因 式，建议黎助学生找规律性的记忆即可

10、。自t咖里模块一、运用大公约和小公倍的模型解题如果,为A、4的最大公约数，根据模型知道：M | A B a b(1)且 A=nui , B = mb(2)刃"么“、互质(3)所以a、4的最大公约数为明 最小公倍数为迎(4)最大公约数与最小公倍数的成绩为A与3的成绩【例1】甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙 数是多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星 【题型】解答【解析】法1：根据两个自然数的积=两数的最大公约数X两数的最小公倍数，有：甲数X乙数=4x288 ,所以，乙数= 4x288 + 36 = 32；法2：因为甲、乙两数的最大公约数为

11、4,则甲数=4x9,设乙数=4x， 则S,9） = l .因为甲、乙两数的最小公倍数是288,则288 = 4x9x77,得 =8.所 以，乙数=4x8 = 32.【答案】32【巩固】已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公约数是30,若A=90,则 B=o【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，5分【解析】根据最小公倍数X最大公约数=Ax3 ,知道，8 = 180x30+90 = 60【答案】60 【例2】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星 【题型】解答【解

12、析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数X两数的最小公倍数，可以得 至L最大公约数是240+60 = 4,设这两个数分别为44、4b,那么（”为）=1, 且“x = 60+4 = 15 ,所以和可以取1和15或3和5 ,所以这两个数是 4和60或12和20.【答案】这两个数是4和60或12和20 【例3】两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星 【题型】解答【解析】设这两个自然数为：5小5" 其中。与人互质，5a + 5b = 5O, ” +。= 10,经检 验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3.于是，所

13、要求的 两个自然数也有两组：45与5, 35与15.它们的差分别是：45-5 = 40, 35-15 = 20.所以，所求这两个数的差是40或者20.【答案】这两个数的差是40或者20 【巩固】两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答【解析】125+25 = 5, 5 = 1 + 4 = 2 + 3,两数可以为25、1 00或者50、75.【答案】两数可以为25、100或者50、75【例4】已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是 多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星

14、【题型】解答【解析】假设这两个数是214和2仍，易得21X4X0 = 126,所以”X = 6,由a和互质， 那么就有6 = lx6 = 2x3两种情况.所以甲、乙是：21x1 = 21 , 21x6 = 126或 21x2 = 42 , 21x3 = 63两种情况.它们的和是147或105.【答案】和是147或105【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星 【题型】解答【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最 大公约数的商，120-4=30,将30分解成两个互质的数之积：1和30, 2

15、 和15, 3和10, 5和6,所以这两个数为4与120,或8与60,或12 与40,或20与24.【答案】两个数为4与120,或8与60,或12与40,或20与24例5甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是8 乙数是.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星 【题型】填空【解析】由(甲，乙)=7,且甲：乙=9:8,由于8与9互质，所以乙数=8x7 = 56. 【答案】56【例6】已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105倍，那么a、b中较大的数是多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答【解析】设，有 a

16、=) + 120 , 又设(a, /?) = d , a = pd , h = qd , (p,q) = l ,且 p>q ,则a.b = pqd , 有 pg = 1054, 所以 pq = 105 = 3x5x7 .因为 = (-g) = 120 , 所以 (p-g)是120的约数.若 = 105, q = ,则 p-g = 104,不符合；若p = 35, q = 3 ,则p-g = 32,不彳才合；若 p = 21 , </ = 5 ,则 p-g = 16,不宿合；若p = 15, q = l ,则-4=8,符合条件.由(-办/=&，= 120 ,得4 = 15,从

17、而a、b中较大的数“ = * = 15x15 = 225.【答案】225【例7】已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】解答【解析】设这两个自然数分别是也、，汕，其中加为它们的最大公约数，“与互 质(不妨设心)，根据题意有：mb + ma = m(a + b) = 54muh - m = m(ah -1) = 114所以可以得到加是54和114的公约数，所以是(54,114) = 6的约数.加=1,2, 3 或 &乜口果? = 1, 由 ?x( + )= 54 , 有 “ + b =

18、54； 又由?x(而1) = 114 , 有 “。=115 115 = 1x115 = 5x23, 但是 1 + 55=116x54 , 5 + 23 = 28=54 , 所以?H1.如果? = 2, 由?x(“ + ) = 54 , 有 “ + = 27 ； 又由 mx(“-l) = 114 , 有“ =58 .58 = 1x58 = 2x29, 但是 1 + 58 = 59 = 27 , 2 + 29 = 3127 , 所以 mw2.如果? = 3, 由5x(4 + A) = 54 , 有 “ + = 18； 又由？x(“ l) = 114 , 有“ =39 39 = 1x39 = 3x1

19、3, 但是 1 + 39 = 40。18 , 3 + 13 = 1618, 所以 7H3如果? = 6, 由? x(“ + Z?) = 54 , 有 “ + = 9 ； 又由? x(“A 1) = 114 , 有而=2020表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20=1x20 = 4 x 5 ,虽然1 + 20 = 21 = 9,但是有4+5=9,所以取 2 = 6是合适的，此时” =4, = 5,这 两个数分别为24和30.【答案】两个数分别为24和30【例8】有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数 之和等于693,这两个自然数的差是.【考点】运用大公约和小公倍的模型解

20、题 【难度】4星【题型】填空【解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数，也就是 297和693的公约数，也就是(297,693) = 99的约数.99的约数共有6个， 此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐.设这两个数分别为疝和次/ ,其中() = 1 , a<b，”是它们的最大公约数.那 么(a + b)d = 297 , d + abd = (ab + )d = 693 f 相比得竺匚="=2 所以 3ab + 3 = 7a + 7b,即-2仍+9 = 0 ,可得u + b 297 3(3n-7)(

21、3/>-7) = 40.由于(3a-7)和(3b-7)都是40的约数且除以3余2,只能为卜T = 2或者(37 = 5 得卜=3或 = 4.3b 7 = 203b - 7 = 8b = 9 b = 5由于(a +3d = 297 ,所以( + b)是297的约数，7:不符合，所以只能为b = 9b.,此时d = 297 + (4 + 5) = 33 ,这两个数的差为=(b-a)d =33 .b = 5【答案】33【例9】已知自然数A、B满足以下2个性质：(1) A、B不互质；(2) A、B的 最大公约数与最小公倍数之和为35o那么A+B的最小值是多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题

22、 【难度】4星 【题型】解答【解析】设(A3) = M,那么A = 其中a, b分别表示A, B的独有因数。那么A3 = M活,即有(AB) + A.B = M + Mab = M(1 + ab) = 35 ,因为 A, B 不互质，所 以MG,而根据上面的式子M是35的因数，所以M只可能为5或7.1)当后5时，ab=6,此时有卜=1,卜=2b=6 b=3A +8 = MS + /?) = 5x(1+ 6) = 35 , 或 A + 8 = A/(4 + ) = 5x(2 + 3) = 252)当M=7时，ab=4,此时有 =：(舍)因为。)=1 =4 /? = 2A + = A/(n + Z

23、>) = 7x(1+ 4) = 35 ,或 A + 8 = M(a + 8) = 7x(2 + 2) = 28 (舍)所以A+B的最小值是25o【答案】25【例10】两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等 于1,也不等于A或B, C+D=187,那么A+B等于多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星 【题型】解答【解析】最大公约数C,当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数， 187=11 X17, C不等于1,只能是C=11或者C=17.如果C=11,那么 D=187-11=176. A*口 B都是176的约数，A*口 B不能是11,只能是2

24、2, 44, 88, 176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大 公约数都不是11,由此得出C不能是11.现在考虑0二17,那么 D=187-17=170, A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34, 85, 170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17,因此，A和B分 别是 34 和 85, A+B=34+85= 119.【答案】119【例11】若a, b, c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+ b + c=1155 , 则它们的最大公约数的最大值为,最小公倍数的最小值 为, 最小公倍数的最大值为 .考点运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星 【题型】填空【关键

25、词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分【解析】由于 a + b + c = 1155,而 1155=3X5X7X 11。令 a=mp, b=mq, c=ms. m 为a, b, c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且 使A, B, C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165, A=1, B=2, C=4, 此时三个数分别为165, 330, 660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660o为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三 个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量

26、接近。由 于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386,但是在这 种情况下384和386有公约数2,而当1155=383+385+387时，三个教 两两互质，它们的最小公倍数为383X385X387=57065085,即最小公倍数的最大值为57065085c 【答案】最大公约数的最大值为165 的最大值为57065085模块二、约数的个数与约数的和【例12 2008的约数有()个。【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题【解析】因为2008=2X2X2X251,所以约数有(3+1)【答案】8个最小公倍数的最小值为660,最小公倍数【题

27、型】解答X (1+1) =8 (个)【巩固】2008006共有()个质因数。(A) 4(B)5(06(D)7【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第2题【解析】因为 2008006=2006X1000+2006=2006X1001 二(2X17X59) X(7X11X13),共有6个。【答案】6个【巩固】105的约数共有几个？【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第3题【解析】105 = 3X5X7,共有(1+1) X (1+1) X (1+1)=8 个约数，即 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 10

28、5o【答案】8个【巩固】已知300=2X2X3X5X5,则300 一共有 个不同的约数。【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，5年级，初赛，第5题，6分【解析】3x2x3 = 18个【答案】18【例13】筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的 个数相同。问：有多少种分法？【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第8题【解析】方法一：偶数60的约数中，偶数有8个，即：2, 4, 6, 10, 12, 20, 30, 60因此有8种分法.方法二：偶数个约数，即60+2=30的所有约数，30=2x3x5 ,所

29、以共有(1 +1)x(1+ 1)x(1+ 1)=8 个约数。【答案】8个约数【例14)数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】解答【解析】360分解质因数：360=2X2X2X3X3X5=23 X3?X5;360的约数可以且 只能是2a X/X% (其中a,b,c均是整数，且a为0-3,6为02, c为 01).因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知, 约数的个数为(3+1) X (2+1) X (1+1 )=24.我们先只改动关于质因数3 的约数，可以是I, 3, 32,它们的和为(1+3+中)，所以所有360约数的和 为

30、(1+3+") X2FX5我们再来确定关于质因数2的约数，可以是 1,2, 22, 2它们的和为(1+2+22+23),所以所有360约数的和为 (1+3+下)X (1+2+2: + 23) X5w;最后确定关于质因数5的约数，可以是 1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为 (1+3+32) X (1+2+2=23) X (1+5).于是，我们计算出 值：13X15X6=1170.所以，360所有约数的和为1170.【答案】约数有24个，和为1170【例15】2008+” = .6,均为自然数.a有 种不同的取值.【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

31、【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题【解析】由 2008”=".6可知，"+6=2008, “二2002。又因为 2002=2X7X11 X13, 而且”>6,所以a的取值有：3+1=14 (种)【答案】14 【巩固】2010除以正整数N,余数是15,那么N的所有可能值的个数是【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第5题【解析】2010-15 = 1995 , 1995 = 3 x 5 x 7x19 , 1995的约数有16个，其中小于等于15 的有5个，所以满足条件的N有11个。【答案】11 【例16】自然数N有4

32、5个正约数。N的最小值为 o【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题，8分【解析】由于45 = 45x1 = 15x3 = 9x5 = 5x3x3,根据约数个数公式，自然数N可能分解 成,产、不 x 、,J x h4、a4 xb2 xc2等形式，在以上各种形式下，N的最小 值分别为23、214 x 32 > 2s x34 > 24 x32 x52 ,比较这些数的大小，可知 244 >214x32>28x34 >24 x32 x52 ,所以最小值是 24 x3? x5? =3600 .【答案】3600【巩固】自然数

33、N有20个正约数，N的最小值为o【考点】约数的个数与约数的和【难度】U 题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】因为约数的个数是指数加1再相乘，所以先将20分解质因数，20 = 20x1 = 10x2 = 5x4 = 5x2x2 ,若想 N 最小：20 = 5x2x2 ,那么指数为 4、1、1 ,经试算，最小值为24x3x5 = 240。【答案】24。【巩固】恰有20个因数的最小自然数是()。(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 432【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第5题【解析】B, 20=20=2X10=4

34、X5=2X2X5,四种情况下的最小自然数分别为：于、 2隈3、24 x 33 > 24x3x5 ,其中最小的是最后一个，为240。【答案】B【例17】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同 的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值 是多少？【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，9 = (2 + lX2 + l), 或者9=(0+1)(8+1),若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8 次方的形式，那么说明A的形式为从=/、/的形式

35、，为最终满足三个数 的乘积最小的要求，那么A最小为A = 22x3?,类似的可以知道8 = "x2, 同时为满足最小要求8 = 5x22。C为8个约数情况可能有两种,C = mxnxp.C = mxn3 ,其中当C = 3x23时数 字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为20x 24 x 36 = 17280【答案】17280【例18】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答【解析】6 = lx6 = 2x3,故6只能表示为(5 + 1)或(l + l)x(2 + l),所以恰好有6个约数的 数要么能表示成某

36、个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘 以另一个质数，100以内符合前者的只有32,符合后者的数枚举如下： 22 x3 22x5 22 x7 22x11 22 x13 22x17 22 x19 22 x23 8个32 x2 32 x5 32 x7 32 x1 14 个52 x2 52 x32个72x21个所以符合条件的自然数一共有1+8+4 + 2 + 1 = 16个.【答案】16个【巩固】恰有8个约数的两位数有 个.【考点】约数的个数与约数的和【难度】5星 【题型】填空【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解：8 = lx8 = 2x4 = 2x2x2 ,所以恰有8 个约数的数至多有3

37、个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为A，, A0, A'B'C1 .其中由于2，=128>100,所以形式的没有符合条件的两位 数；炉形式中,B不能超过3,即可能为2或3,有2x33、3x23、5x23、 7x23、11x2s,共 5 个；A形式的有2x3x5、2x3x7、2x3x11、2x3x13、 2x5x7,共5个.所以共有5 + 5 = 10个符合条件的数.【答案】10个【巩固】在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】解答【解析】由于9 = lx9 = 3x3,根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一

38、个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中 只有2, =256符合条件，后者中符合条件有22 x 52 =100、22 x72 =196 >22xll2=484> 22x132 =676 > 32x52 =225 > 32 x 72 = 441 ,所以符合条件的有 7 个. 【答案】7个 【例19能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个.【考点】约数的个数与约数的和【难度】5星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第6题【解析】先将2145分解质因数：2145 = 3x5x11x13 ,所以能被2145整除的数必定 含有3, 5, 11, 13

39、这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数， 所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数 的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145,而2145只能 分解成3, 5, 11, 13的乘积，矛盾.所以所求的数恰好只有3, 5, 11, 13这4个质因数.对于这样的每一个数，分解质因数后3, 5, 11, 13这4个因子的幕次 都恰好是 2 = (3-1), 4 = (5-1) , 10 = (11-1), 12 = (13-1)的一个排列，所以共有 4! = 24 种【答案】24个【巩固】能被210整除且恰有210个约数的数有 个.【考点】约数的个数与约数的和【难度】

40、4星【题型】填空【解析】210 = 2x3x5x7,所以原数肯定含有2, 3, 5, 7这四个质因子，而且冢次 一定按照某种顺序是1, 2, 4, 6,可以任意排列，所以有4! = 24个.【答案】24个 【巩固】1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空【关键词】仁华学校【解析】1001的倍数可以表示为1001%,由于1001 = 7x11x13,如果k有不同于7, 11, 13的质因数，那么1001&至少有4个质因数，将其分解质因数后， 根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(q+1)(%+ 1)(%+ )(如+1)

41、(+1)，其中如果这个数恰有1001个约数, 则(°1+1)(02 + 1)3 + 1)(。4 + 1)( + 】) = 1001 = 7x11x13,但是 1001 不能分解成 4 个 大于1的数的乘积，所以“时不合题意，即k不能有不同于7, 11, 13的质因数.那么1001&只有7, 11, 13这3个质因数.设ioouHx” , 则(a + l)( + l)(c + l) = 1001 , 4 + 1、 + 1、c + 1 分别为 7, 1 1 , 13,共有 3! = 6 种选 择，每种选择对应一个1001k,所以1001的倍数中共有6个数恰有1001 个约数.【答

42、案】6个【巩固】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有 多少个约数？【考点】约数的个数与约数的和【难度】6星 【题型】解答【解析】设这个自然数是a , 2004 = 22x3x167 ,将a分解质因数，设a = 2'x3,x 167、必炉必，其中X, y, Z可以是0或正整数，其余的系数 都是正整数，则这个数的约数的个数A = (x + l)(y + l)(z +1)( +1)(2 +1)(，+1) 因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以(x + 3)(y+ 2)(z + 2)(4 + l)(b2 + 1).S +l) = 2OO4 = 22 x

43、3x 167 可得 2财 _ (x + 3)(y+ 2)(z + 2) _ x + 3 乂 y + 2 乂 z + 2A (x + l)(y + l)(z + l) x + 1 y + z + 1要想使A最小，需要使出最大，x + 1 y + 1 z + 1ft =3-<3 , = 2-<2, =2-<2 ,x + 1x+y + 1y + z + 1z + 1所以型143x2x2 = 12,得到 A>167.A要想使等号成立，必须x=y = z = 0, = 1,饵=166,即此数为一个不是2, 3, 167的质数的166次方，此时这个数的约数有167个.故这个自然 数

44、最少有167个约数.【答案】167个【例20】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12,求4A的约数的 个数.【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答【解析】由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有1个因子2,可将A分 解成A = 2i8,其中B是奇数，根据约数个数公式，它的约数的个数为 (l + l)x;V = 12 (其中N为B的约数个数)，则4A = 88 = 23x8,它的约数个数 为(l + 3)xN = 24 个.【答案】24个【例21】已知E 两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已 知m有12个约数,有10个约数，求加与的和.【考点】约数的个数与

45、约数的和【难度】4星【题型】解答【解析】因为75 = 3x5?,如果设? = 3x53 = 3'x5v,那么p、x中较小的数是1 ,夕、y 中较小的数是2.由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个 质因数的次数加1的乘积.所以(p + l)x(q+l) = 12 , (x + l)x(y + l) = 10.又 12 = 2x6 = 3x4, 10 = 2x5 , 由于 y 之 2, 所以 y + 123, 那么 y + l=5, x+l = 2, 得 至U x = 1 , y = 4 .刃卜么 g = 2 ,彳寸至I = 3 ,户斤以 = 3, x52 = 675 , = 3x5

46、4 =1875 ,m + =255O .【答案】2550【例221已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数力闾= 1728 , 贝 U 3=.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空【关键词】101中学【解析】1728 = 2« x 33,由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的 6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为36,那么1728 不是A的倍数，不符题意，所以4 = 26,那么"为B的约数，设8 = 2"33, 则（2+ 1）x（3 +1） = 12,得k = 2,所以 3 = 22x33 = 108 .【答案】108【例23】一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有 个约数的个位是3.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第14题【解析】18 = 2x32,根据求一个数约数个数公式知，不同的质因数可能有一至三 个。但是如果个位是3的约数尽可能多，可以构造出：N = Wx齐，即