中考一轮-第04讲-一次方程(组)及不等式组(培优)-教案及答案

1、学科教师辅导讲义学员编号：年 级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-一次方程（组）及不等式组授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解（不）等式、一次方程（组）概念，掌握（不）等式的基本性质；掌握元次方程的标准形式,掌握一次方程（组）及不等式（组）的解法；会列方程（组）及不等式（组）解决实际问题 .。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂体系搭建,.一、知识梳理（一）、等式及方程的有关概念1 .等式及其性质（i）用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.（2）等式的性质：等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等

2、式两边乘（或除以）同一个数（除数不能是0）,所得结果仍是等式.2 .方程的有关概念3 1）含有未知数的等式叫做方程.口4 2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根.5 3）解方程：求方程解的过程叫做解方程.（二）、一元一次方程1 .只含有个未知数,并且未知数的最高次数都L是工，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为 ax b 0（a 0）,其解为x=-. a2 .解一元一次方程的一般步骤：去分母；（2） 去括号 ；（3）移项；（4）合并同类项 ;（5）未知数的系数化为1.（三）、二元一次方程组的有关概念1 .二元一次方程（1）概念：含

3、有一两上_未知数，并且未知数的项的次数都是 _r_,这样的整式方程叫做二元一次方程.2 2) 一般形式：ax + by = c(aw0, bw0).(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解.由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集.2.二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的 两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.aix+ biy = ci,(2) 一般形式：(ai, a2, bi, b2均不为零).a2x+ b2y = C2(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 _公共

4、解_,叫做二元一次方程组的解.(四)、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有 代入消元法和加减 消元法.1 .用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或X),即变成y = ax+ b(或x= ay + b)的形式；(2)将y = ax+b(或x= ay+b)代入另一个方程，消去 y(或x),得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出 x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y = ax + b(或x = ay + b)中，求y(

5、或x)的值.2 .用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在 (1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数.(五)、不等式的有关概念及其性质3 .不等式的有关概念：(1)不等式：用符号“V”或或"W”或表示大小关系的式子，叫做不等式.(2)不等

6、式的解集：一个含有未知数的不等式的所有 解,组成这个不等式的解集.(3)解不等式：求不等式的 解集一的过程叫做解不等式.4 .不等式的基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向 孑变一 ,即若a<b,则 a+ cv b + c(或 a cv b c).(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向 _ _不变.一,即若a<b,且c>0,则a b 、ac_<bc.(或)c c（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变,即若a<b,且c<0,则ac>bc.（或 a b） c c（六）、一元一次不等

7、式（组）的解法1. 一元一次不等式：只含有 一个未知数,且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的基本步骤:“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3. 一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.4. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集.5. 一元一次不等式组解集的确定方法.若avb,则有：x a的解集是x b,即“同大取大”.（2） xx b x（3） x a的解集是a x b,即“大小小大中间夹”. x b（七）、列方程（组）或不

8、等式（组）解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.a的解集是x a ,即“同小取小”.b x a（4） 的解集是空皿即“大大小小无解答”.x b18设：设未知数，设其中某个未知量为 x,并注意单位.对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数.歹U：根据题意寻找等量关系列方程（组）或不等式（组）. 解：解方程（组）或不等式（组）.验：检验方程（组）或不等式（组）的解是否符合题意.答：写出答案（包括单位）.（八）、常见的几种方程类型及等量关系1.行程问题中的基本量之间的关系路程=速度X时间；相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程一乙

9、走的路程；流水问题： v顺=丫静+v水，v逆=丫静一v水.2.工程问题中的基本量之间的关系：工作效率=工作总量 工作时间.（1）甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；（2）通常把工作总量看作“ 1典修吩析"考点一：二元一次方程组的概念例1、二元-次方程组卜十尸5的解为（）2s -歹4、 y-3 y21 y1【解析】选C.例2、若方程4x"n-5ym+n=6是二元一次方程，则 m= 1, n= 0【解析】答案为：1, 0.例3、下列方程（组）中，x +2=03x-2y=1xy +1=0元一次方程的是 ，是二元一次方程的是，是二元一次方程组的是【解析】故答案为：；.

10、考点二：一元一次方程及二元一次方程组的解法例 1、解方程组：(1) 4 (2x 1) - 3 (5x+2) =3 (2x)(3)【解析】(1) x= - 4 ;(2) x= 15;例2、已知关于x、y的方程组2产3和俨El ax+b 产 一 I 12ai+ 3by= 3的解相同，求a、b的值.【解析】因为关于x、y的方程组2芯-3y=3ax+by= - 1和!三及+乙了'"的解相同，即为方程组2as+3by=3N -好33x+2y=ll的解.解这个方程组得.,同时也应该是lv=la肝七产-1（ %+b =-1的解，所以，解得:2aH3by=312X3 /3匕二 3考点三：不等

11、式的性质例1、如果a>b,那么下列不等式中一定成立的是（）A. a2>b2B. 1 - a> 1 - b C. 1+a> 1 - bD. 1+a>b- 1【解析】选：D.例2、下列判断中，正确的序号为 .若一a>b>0,则 abv0;若 ab>0,则 a>0, b>0;若 a>b, cw0,则 ac>bc;若 a>b, cw0, 贝U ac2>bc2;若 a>b, cw0,贝U a cv bc.【解析】答案为：.考点四：不等式，（组）的解集的数轴表示例1、不等式2x+1 v 3的解集在数轴上表示为（）【解

12、析】2x+1<3,解得xv 1,故选：D.例2、在数轴上画出下列解集：（1） x> 1 且 xw 2.（2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：5x-2>3 （x+1），y L ，1 I->【解析】（1） x> 1且xw2在数轴上表不如图：-5-4-3 -2 -10 12 3 4 5(2) 5x- 2>3x+3, 2x>5, .-5 7 -3 -2 1 0考点五：不等式（组）的解法例1、不等式3x+2< 2x+3的解集在数轴上表示正确的是（）【解析】3x+2 <2x+3,移项及合并同类项，得 x<1,故选D._ .1 21i- 1 &

13、gt;C.J0123D .-10 12 3【解析】选B.r2x- 1<1例3、不等式组 I 1的整数解的个数为（-士 Y1L 2D.无数个A. 0个B. 2个C. 3个【解析】选C.f2-x<2()i44)例4、解不等式组，,并写出该不等式组的最大整数解.【解析】2- s<2(s+4)3(I>/ L 1V十1；解不等式得，x>- 2,解不等式得,.不等式组的解集为-2W xv 1. .不等式组的最大整数解为x=0,考点六：确定不等式（组）中字母的取值范围 ,_ fit - m>Cl,例1、关于x的不等式组、恰有四个整数解，那么 m的取值范围为（）2l 3&g

14、t;3G-2）A. m> - 1 B. m< 0 C . - 1< m< 0D. - 1vm< 0【解析】原不等式组的解集为 m<x<3,故选C.j kZ> 一 1例2、不等式组有3个整数解，则 m的取值范围是2Vme 3工【解析】不等式的整数解是 0, 1, 2 .则m的取值范围是2 Vme 3.故答案是：2vm< 3.例3、已知方程组j X 7-5 无数多个解；唯一解；无解.分别求三种情况下a、b的值.ax+3 尸b - 1% - y-5 ffi【解析】，由得：x=y+5，将代入得：（a+3） y= - 5a+b - 1,- 1 情况1

15、:当卜5。，即产一时，原方程组转化为:-5a+b- 1-0b= - 14k y=Ex- y二5那么，满足x+y=5的x、y的值有无数对，即：当 a=- 3, b= - 14时，原方程组有无数多个解;情况2：卜+3R当产-3时，原方程组转化为:1- 5a+b - 1 户 0 b尹 - 14因为这两个方程互相矛盾，所以方程组无解.即：当a=-3, bw- 14时，原方程组无解;因为aw 3,所以y有唯一解:y=-5a+b - 1情况：当aw - 3时，由得：x=y+5，将代入得：（a+3） y= - 5a+b- 1,bH4X-即：当aw 3, b为任意实数时原方程组有唯一解:a+3 5a+b -

16、1y=a+3考点七：列方程（组）或不等式（组）解决实际问题 例1、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有 8万元.（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于 5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，共有哪几种进货方案？【解析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为m元，-gOOQO , m=4000,检3m=4000时,1

17、000+m inm （1000+m）W 0, m=4000是原分式方程的解.今年三月份的售价为4000元.（2）设购进甲x台，购进乙为（15-x）台,6<x< 10.方案：甲6台，乙9台；甲7台，乙8台；甲8台，乙7台；甲9台，乙6台；甲10台，乙5台。故5种方案.P(Practice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1.已知avb,下列式子不成立的是（A.a+1vb+1B . 3av 3bC . 一 7a > 一 bo22a bD .如果c<0,那么V c c【解析】x 1 w 0,2.不等式组的解集在数轴上表示为（）2x+4>0-3 -2 -1 0

18、1 2 3-3 -2 -1 0 I 2 3-3 -2 -1 0C-3 -2-i oD则下列符合条件的不等式组为A.x>2, x< 1B.x<2, x>- 1x<2,x<2,C.D.x> 1x< 1【解析】C.不等式x-2>1的解集是（）A.x>- 1B. x>3C【解析】B,已知3是关于x的方程2xa=1的解，则A.5B. 5C.7D. 2【解析】B3. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示,.xv 3的值是（a次方程组的解为（7L456、3k- 2y+z=7k+2y -x= - 2瞿二-3A.y=lz- - 3y= -

19、2-3-2-1012345“二D.【解析】，3k- 2y+工才,X 4-得2x-y=5，X 3+得5x-2y=11, 、s+2y - 3z-l(D组成二元一次方程组得2s-尸 55k - 2y=l.l,解得，代入得z= - 2.¥二1故原方程组的解为.尸-3.故选：C.七二- 27.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是x + y = 30, A.12x+ 16y = 400【解析】Bx+ y = 30, B

20、.16x+ 12y = 40016x+12y = 30, x + y = 40016x+ 12y=30, Dx+ y= 4008、如果方程组（e'M的解与方程组!产4的解相同，则a、b的值是（Iax+by=5Ibi+ay=29、若不等式（a+1） x>a+1的解集是x< 1,则a的取值范围是av - 1 .【解析】不等式（a+1） x>a+1两边都除以a+1,得其解集为xv 1,a+1 v0,解得：av - 1,故答案为：av - 1.10 .方程|4x 8| 十姒y nn= 0,当y>0时，m的取值范围是 4x-8= 0,【解析】mx 2,由题意，得解得y=2

21、m, < y> 0,. 2m>0,，m< 2.x y mi= 0,11 .设 a>0> b> c,且 a+b+c= T ,若 T=M二一：-3 P二,试比较 M、N、P 的大小. a b c一日ll-I【解析】: a+b+c= 1, b+c= - 1 - a, M=一1 一一,同理可得 N= - 1 - , P=-1一一;aabc又< a>0>b>c,- 1 - 1< - 1 1< 一 1 一工,即 M<P< N.a c bac b12 .若关于x, y的二元一次方程组 2X+ '= 3k1的解满

22、足x+y>1,则k的取值范围是 x+ 2y= -2【解析】k>213 .某工厂生产 A, B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表:A种产品B种产品成本(力兀/件)0.60.9利润(力元/件)0.20.4若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？0.6x +0.9(50 x) <40,【解析】设该工厂生产 A种产品x件，则生产B种产品(50x)件，依题意有0.2x +0.4(50 x)>16 ,2解得16x< 20.因为x取整数，所以x可为17,18,19. 3所以工厂共有三种生产方

23、案，方案一：生产 A种产品17件，生产B种产品33件；方案二：生产 A种产品18件，生产B种产品32件；方案三:生产 A种产品19件，生产B种产品31件.设利润为 W 则 W 0.2x +0.4(50 -x) =20 0.2x ,可以看出利润 W随x的增大而减小，所以当生产 A种产品17件，生产B种产品33件时利润最大，此时利润W= 20 0.2X17= 16.6(万元).14.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了 1支钢笔和3本笔记本；小亮用 31元钱买了同样的钢笔 2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金

24、交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？x+3y=18,x=3,【解析】(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元.依题意得解得2x+5y=31,y = 5.答：每支钢笔3元，每本笔记本 5元.3a+5(48 a) <200,(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48a)本.依题意得48 a>a.解得20WaW24.所以，一共有 5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28; 21,27; 22,26 ; 23,25; 24,24.?课后反击1 .已知关于x的不等式ax>b的解为x<3,

25、那么下列关于 x的不等式中解为x>3的是（）A. - 2ax>- 2bB. 2ax> 2bC. ax+2>b+2D. ax - 2>b - 22、不等式-3x> 6的解集在数轴上表布为（【解析】,关于x的不等式ax>b的解为x<3,a<0,则解为x>3的是-2ax>-2b,故选A【解析】3x>6,解得x< 2.选：C.3 .现用甲、乙两种运输车将 46吨物资运往灾区，甲种运输车载重 5吨，乙种运输车载重 4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排 （）A. 4 辆 B . 5 辆 C . 6 辆 D . .

26、7 辆【解析】 C设甲种运输车x辆，得5x+ 4（10 - x） >46,解得x>6,所以甲种运输车至少应安排6辆.2x 1>1,的解在数轴上表示为（）4 .不等式组4-2x<05 .关于x的不等式2x+a< 2的解集如图所示，那么 a的值是（）*1-2 -1 01A. - 4 B .2 C .0 D . 2.，.一一 a - 2 a - 2【解析】C解不等式一2x + aW2,得x>-2-,从数轴看出它的解集为 x>- 1,所以-2- = 1,即a=0._ 0+产工一6 .由方程组4尹£二3,可以得到x+y+z的值是 3 .x+z=l【解析

27、】.一科息二3+,得2x+2y+2z=6 ,x+y+z=3 ,故答案为：3.Ik+z=1 ,.、.3x+ y=什 a .，一7 .若关于x, y的二元一次方程组y 的解满足x + y<2,则a的取值范围为.x+ 3y= 3aJ ，r【解析】a< 4由两方程相加得 4x+4y = 4+ a,所以x+ y = 1 +-< 2,解得a< 4.48 .关于x的不等式3x-a<0,只有两个正整数解，则 a的取值范围是 .【解析】6<a< 9解不等式3x-a<0,得x<1,由题意得2w：v 3, 6wav 9. 33x+ y= m+ 2,9 .已知关于

28、x, y的方程组的解x, y都是正数，求 m的取值范围.4x + 5y = 6mi+ 3x+y=mi 2,x=mi 7, mi 7>0,【解析】解方程组得因为x, y都是正数，所以4x+5y=6m 3y=2m 5.2m 5>0.55解这个不等式组，得 2<mK 7.所以m的取值范围是vmK 7.10、已知实数 a, b, c 满足不等式 | a| > | b+c| , | b| 刁 c+a| , | c| 刁 a+b| ,求证：a+b+c=0.【解答】 证明：: | a| > | b+c| , | b| > | c+a| , | c| > | a+b|

29、 ,，a2> ( b+c) 2, b2> ( c+a) 2, c?> ( a+b) 2 a2+b2+c2> (b+c) 2+ (c+a) 2+ (a+b) 2=2 (a2+b2+c2) +2ab+2bc+2ca a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca< 0( a+b+c) 2w0,而(a+b+c) 2> 0 1- a+b+c=0.11.以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于 2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的 2倍比省外境内投资合作项目多51个.

30、(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元.【解析】(1)设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内的投资合作项目有y个，x+y=348,x= 133,由题意得解得2x-y=51,y= 215.答：湖南省签订的境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个.(2)133 X6+215X7.5 = 798+ 1 612.5 =2 410.5(亿元).答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5 亿元.12.体育文化

31、用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表,全部销售完后共获利润260 元.购进篮球和排球各多少个?(2)篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）9560销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等?x+y= 20,设购进篮球x个，排球y个，得15x+ 10y =260,x= 12, 解得y= 8.答:购进篮球12个，排球8个.(2)销售6个排球的利润为 60元,60+15= 4（个），所以与销售4个篮球的利润相等.直击中考1.12015?深圳】解不等式2x>x- 1 ,-24012C.并把解集在数轴上表示（2.12015?深圳】某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（)元.140B. 120C.160D. 100B.设商品的进价为每件 x元，售价为每件 0.8X 200元，得0.8X 200=x+40,解得：x=120.故选:3.12016?深圳】解不等式组:- 1< 3 （戈+1）【解析】2X- 1 5工十1 ，解得x<2,解得x>- 1,则不等式组的解集是-1Wxv2.一5一 一4.12012?深圳】节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40台