圆锥曲线中的弦长专题

1、圆锥曲线中的弦长问题弦长计算的有关技巧(1)联立方程消元时，需要考虑消x"还是 消y”，视题目情况而定b形式，可以用最简公式弦长 |AB| <1 k2 J |A|n形式，可以用最简公式弦长 |AB| ；1 工 Jk k2 |A|AF ep一与焦点弦公式 AB -2eJ 1 ecos1 e cos若消y"，直线一般设成y kx若 消x "，直线一般设成x my(2)过焦点的弦可以使用焦半径公式(3)过同一点两条弦它们的斜率有明确的数量关系时，可采取 替代法”简化运算.(4)与范围有关的问题，常用基本不等式与函数求值域的方法(如配方法，换元法，分离 常数法等)1

2、.直线xy 1r ,x20与椭圆一42y- 1相交于A,B两点，则 AB2LY2c 82.直线yk(x U3)与椭圆 y21相父于A,B两点，若 AB ,则k 453 .已知过抛物线y2 2x的焦点F的弦长为8 ,则弦所在直线方程的斜率k 4 .过抛物线y2 4x右焦点F的直线l与抛物线相交于 A,B两点，若|AF| 3BF ,则直线l的斜率k 225.过椭圆 L L 1右焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点，若AF 2BF95则直线l的斜率k 3 一6.已知抛物线C : y2 3x的焦点为F ,斜率为一的直线l与C的父点为A,B ,与x轴的父点2为P.(1)若AF BF 4,求l的方程；(2

3、)若AP 3PB ,求AB的长度.7.已知椭圆Exy ，1(a b 0)经过点P( d3J),椭圆E的一个焦点为(J3,0). a b2(1)求椭圆E的方程；AB的最大值.(2)若直线l过点M(0,J2)且与椭圆E交于A,B两点，求28.已知抛物线E : y4x的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线 m,n ,直线m交E于不同两点A,B,直线n交E于不同两点C,D.(1)若AB 8,求直线m的方程；(2)求AB CD的最小值.参考答案y x 1-404 51.联立方程组 x2 y2，得3x2 4x 2 0, AB J2上40占133422.联立方程组y k(x2 y,得（4k21) x2 8、3

4、k2x 12k2 4 0x1x28.3k2於乃,x1x212k2 44k2 116k2 16口寸 16k2 16AB Jk2 1 -z4k2 14k2 4 84k2 1513.解法一：设直线 l： x my - , A(x1，y1), B%, y2) 21联立方程组x my 2 ,得y2 2my 1 0y2 2x2 y2 2m,yy21,4m 4AB Vm2 1 M4m2 4 8 m33k-3 f-解法二：AB -2P- -2 8 sin - k tan 22sin sin234.解法一：设直线 l： x my 1, A(x1,y1),B(x2,y2),由 AF| 3BF|,得 y13y2联立

5、方程组x my 1 . 22 ，得 y 4my 4 0 y 4xy y2 4m,yy24,由必3y2 可得y1 6m, y2 2my1y26m 2m 4解法二：若A在上方，AF3P1 cosm=3k 、33,BF p-,由 AF 3BF，得一p 1 cos 1 cos1 cos1cos k 43同理，若A在下万，k，3k <32'5.设直线l :my2, A(X，y)B(X2，y2),由 AF 2BF| ,得yi2y2联立方程组my2 v_ 5ViV2920m1得(5m2 * 4 9)2y 20my 25 0yy2Fy1y224)5m2 9由yi2 y2可得yi40mu_25m9

6、,y220m5m2 940m5m2 920m2-5m255m2 96.(i)设直线l : yl(Xt),A(xi, yi),B(X2,y2)联立方程组l(x3xt)得3x2(6t 4)x3t2X1X26t34-,XiX2t2AFBFxiX26t 437i2直线l的方程为:(2)由 AP 3PB ,得 y13y2333 .由(1)可得：yi y2(Xi t)(X2 t)(xi2223,、3,、9rViV22(Xit)2(X2t)4XiX2X22t) 2(为x2)tt2 3tyi 3,y2iyiy2i 3 3t t i(2)当直线l的斜率不存在时,AB 2b 20 2coeac二v'644

7、v'T33xi0x 3 0AB iV 433当直线l的斜率存在时，设直线l ： y kx /2 , A(xi,yi),B(x2,y2)y联立方程组x2Tkx 、2得(4k2 1x2 8、, 2kx 4 0XiX28. 2k2，g4k2 144k2 164k2 16 0k2AB令4k2AB,k2 1.64k2 161 t,t 2,4k2则k2(k2 1)(4k2 1)4k222(k2 1)(4k2 1)4k2 12；1626(1 3 25t 1224所以当t 12时,AB取得最大值,一 一 5. 6综上，AB的最大值为一?8. (1)易知直线 m的斜率存在且不为0,设直线m ： x my

8、 1, A(5, y) B%, y?)联立方程组x2 myy 4x4my 4 0y2 4m,必 y24,- 216m216AB(2)由CDAB.m2 1 .16m2(1)可知CD24m16.24mAB4m24,因为直线m与直线n垂直且都经过焦点所以2y16 8 16,当且仅当m2 1时等号成立2,、x9. (1)4(2)设 M(t,0)直线my八(2，必)出区42)由 |AM 2BM ，得y1x联立方程组X24my2 y1'得(m24)22.y 2mty t 42mty1 y2-m 4,yy2t2 4m2 4y12y2 可得y14mt小，力2mt2m 4V1V2224mt 2mt t 42 7 2 7 -2 7m 4 m 4 m 4(m2 4)(t2 4)8m2t2原点O到直线的距离dJ"又直线l与圆x2 y2 ，相切，所以d Jt , 4-1 m271m27242- .22t -(m 1),结合(m4)(t4)2 28m2t2,得m23，t24-JO两足034. 2121一，273仆-.M(,0),在 Rt OMN 中，MN32239.已知椭圆C:二 4 1(a b 0)的右焦点为(J3