上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆课件 （新版）沪科版

1、24.5 三角形的内切圆三角形的内切圆九年级九年级( (下册下册) )初中数学初中数学回顾反思回顾反思OBPA 从圆外一点可以引圆的两条切线，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的它们的切线长切线长相等，这一点和圆心相等，这一点和圆心的连线的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。ID三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内切圆的圆心叫做三角形的做三角形的内心内心三角形的三角形的内心内心是三角形三是三角形三条条角平分线角平分线的交点，它到的交点，它到三角形三角形三

2、边三边的距离相等。的距离相等。概念介绍概念介绍COBADEF已知已知:如图如图, O是是RtABC的内的内切圆切圆,C是直角是直角,三边长分别是三边长分别是a,b,c.求求 O的半径的半径r. ABCODEF2).1(cbarRtRt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系(1)cbaabr)2(P43习题习题25、6 第第 5题题解解（1）如图如图, O是是RtABC的内切圆的内切圆,ABCODEF2cbar13AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2CE = SAOB+SBOC+SAOC1/2ab=1/2ra+1/

3、2rb-1/2rc（2）连接连接OA、OB、OC，则，则SABCcbaabr解解（1）如图如图, O是是RtABC的内切圆的内切圆,ABCODEF2cbar13AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2CE = SAOB+SBOC+SAOC1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2rc（2）连接连接OA、OB、OC，则，则SABCcbaabr已知已知:如图如图,ABC的面积为的面积为S,三边长分别为三边长分别为a,b,c.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.ABCOODEF.2cbaSr已知已知:如图如图,ABC的面积为的面积为S,三边长分

4、别三边长分别为为a,b,c.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.ABCOODEF.2cbaSr解：连接解：连接OA、OB、OC，则，则SABC = SAOB+SBOC+SAOCS=1/2ra+1/2rb-1/2rc例、如图，例、如图，ABC中中, ABC=43，ACB=61 ,点点I 是是ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数。的度数。AICB例题讲解例题讲解变式：变式：ABC中中, A=40，点，点I是是ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数。的度数。21 BIC= 90+ A ，因为，因为I 是是ABC的内心，的内心，所以所以IB、IC平分平分 ABC、 ACB，在在IBC中中 BIC

5、=1800-（ IBC-ICB）=1800-（ ABC+ ACB）/2=1800-（430+610）/2=1280因而，因而， BIC为为1280解：解：连接连接IB、IC例例2 2、 已知：已知：ABCABC是是O O外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。ABCDEFxxyyOzz解解: :设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x

6、+z=9解得解得: :Z=5。、的长分别是、cmcmcmCEBDAF594X+y+z=18x+y=13141.1.边长为边长为3 3、4 4、5 5的三角形的内切圆的三角形的内切圆的半径为的半径为2.2. 边长为边长为5 5、5 5、6 6的三角形的内切圆的三角形的内切圆的半径为的半径为3.3. 已知已知:ABC的面积的面积S=4cm,周长等周长等于于10cm.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.1、如图，如图， ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x13xx13

7、x9x9x例题分析例题分析ADCBOFE2、ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , ABC的周长为的周长为 l ,求求ABC的面积。（提示：设内心为的面积。（提示：设内心为O，连，连接接OA、OB、OC。）。）OACBrrr若若ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , , 周长为周长为 l ,则则SABC= lr= lr21例题分析例题分析知识拓展知识拓展一、直角三角形的外接圆与内切圆一、直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半知识拓展知识拓展2.直角三角形内切圆

8、的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.三角形内部三角形内部a+b-c2回顾反思回顾反思1.切线长定理切线长定理OBPA 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长切线长相等，这一点和圆心的连线相等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。回顾反思回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质三角形的内切圆、内心、内心的性质COBADEF1、如图，一圆内切于四边形、如图，一圆内切于四边形ABCD，且，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为，则四边形的周长为( )（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56DAB

9、C课堂练习：课堂练习：B2、已知，如图，、已知，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切为切点点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA的长的长.AOCDPBE课堂练习课堂练习 解解：（：（1）OAPA，OBPB，PEAB （2）设半径为）设半径为r,则则PA2=PDXPE=PD（PD+2r)解得，解得，OA=r=33、试一试：、试一试：如图如图ABC中，中，C90 ，AC6，BC8，三角形三边与，三角形三边

10、与 O均相切，切点分均相切，切点分别是别是D、E、F，求，求 O的半径。的半径。 CFOEDBA课堂练习课堂练习AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=102210862cbar证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍 如图：等边如图：等边ABC中，中，I为圆心，为圆心，内切圆半径为内切圆半径为r，外接圆半径为，外接圆半径为R求证：求证：I为外心为外心 R=2r证明：连接证明：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于，并延长；分别交对边于D、E、FI是内心是内心 AD、CF、BF分别是分别是ABC的角平分线，的角平分线，又又ABC是等边三角形，由等边三角形

11、是等边三角形，由等边三角形“三线合一三线合一”知知AD、BE、CF是是ABC的三条高，也是三角形的中线，的三条高，也是三角形的中线，I是外心是外心：由知，：由知，BI=R，ID=r。在。在RtBID中中IBD=1/2ABC=30ID=1/2IB，即，即R=2rP43习题习题25、6 第第 2题题解：设等边三角形解：设等边三角形ABC， 过点过点A作作AD垂直于垂直于BC 垂点为垂点为D，过，过B点做点做BE垂直于垂直于AC 垂点为垂点为EAD与与BE相交于点相交于点I ，连接连接CI，并延长，并延长CI交交AB于于GFAD和和BE为高，而为高，而ABC是等边三角形是等边三角形BD=AE=1/2

12、AC，CBE=DAC=30BEA=BDA=90BDI AEIBI=AFI，又，又BC=AC，CI=CIBIC AICBCFACF，所以，所以CFABID，IE，IF分别垂直于分别垂直于AB，BC，AC ，I就是就是ABC的内心的内心BI=IC， BD=CD， DI=DI。 BDI CDI ， BF=CF。同理。同理可得可得 BI=CI。F 为为ABC的外心，且的外心，且DI为内切圆半径，为内切圆半径，BI为外接圆半径，又为外接圆半径，又ADBC，所以三角形，所以三角形BDI为直角三角形。为直角三角形。又又FBI=1/2ABC=30， ID=1/2BI用全等三角形详解用全等三角形详解如图，圆如图

13、，圆O为为ABC的内切圆，切点为的内切圆，切点为E、F、G,C=90，AO的延长的延长线交线交BC于点于点D，AC=4,CD=1.求圆求圆O的半径的半径r 解：连接解：连接OF，OE，则，则OFCE为边长为为边长为r的正的正方形方形 OED ACD故故OE：ACDE：DCr：4（1r）：）：1解得：解得：r45 解：连接BE，点E为ABC的内心，BAD=DAC， ABE=EBCBD=DCDAC与DBC都是 弧DC所对的圆周角，DAC=DBC=BAD，EBD=CBD+CBE，BED=ABE+BAD，EBD=BEDBD=ED BD=ED=DC4.已知，如图，在已知，如图，在ABC中，点中，点E是内

14、心，延长是内心，延长AE交交ABC 的外接圆于点的外接圆于点D，连接，连接BD、DC、EC，求证：求证：DB=DC=DE 2、已知：在、已知：在ABC中，中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与分别与 O切于点切于点D、E、F，求，求AF，BD和和CE的长。的长。EFODCBA分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解 解：设解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcmAF、AE是圆的切线是圆的切线AE

15、=AF=xcm，同理：同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm根据题意得根据题意得 解得，解得， 即：即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm 如图，在如图，在ABC中中BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆，内切圆 O分别和分别和BC、AC、AB切切于点于点D、E、F，求，求AF、BD、CE的长的长 EFODCBAx+y=13x+z=9y+z=14x=4，y=9，z=51.已知：两个同心圆已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，是小圆的两条切线，A、B、C、D为为切点。求证：切点。求证：AC=BDPABOCD布置作业布置作业 3、以正方形、以正方形ABCD的一边的一边BC为直径的半圆上有为直径的半圆上有一个动点一个动点K，过点，过点K作半圆的切线作半圆的切线EF，EF分别分别交交AB、CD于点于点E、F，试问：四边形，试问：四边形AEFD的周的周长是否会因长是否会因K点的变动而变化？为什么？点的变动而变化？为什么？ABDCK