复变函数第2讲

1、1复变函数复变函数第第2讲讲23 复数的乘幂与方根3乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)= r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2)于是|z1z2|=|z1|z2|(1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)4定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.5等式

2、Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.例如, 设z1=-1, z2=i, 则z1z2=-i, 则121 2Arg2,Arg2,2Arg22,0, 1, 2,znzmz zkn m k= -= 6z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy7如果用指数形式表示复数:)(212122112121ee,eqqqq=iiirrzzrzrz为则定理一可简明地表示)4 . 3 . 1 (e)sin()cos

3、(), 2 , 1(),sin(cos)(212121212121nkinnnnnkkkikkrrrirrrzzznkirerzqqqqqqqqqqqq=则由此逐步可证, 如果8按照商的定义, 当z10时, 有12121212112211221122ArgArgArg,|ArgArgArg|,|zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz-=于是因此定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.9如果用指数形式表示复数:,e,e212211qqiirzrz=)(121212eqq-=irrzz定理二可简明地表示为10例1 已知正三角形的两个顶点为z1=1

4、与z2=2+i, 求它的另一个顶点.解 如图所示, 将表示z2-z1的向量绕z1旋转/3(或-/3)就得到另一个向量, 它的终点即为所求的顶点z3(或z3).3Oxyz1=1z2=2+iz3z3311根据复数乘法, 有331213()13(1)2213132222331322izzezziiizi-=-=-=122. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn. 个nnzzzz=为负整数时上式也成立则当如定义nzznn,1=-则根据(1.3.4), 对任意正整数n, 我们有zn=rn(cos nq+isin nq).(1.3.7)如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).

5、 (cos q+isin q)n = cos nq+isin nq.(1.3.8)13设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根,为整数记作nzznn,/1=1ee1ee11e,e, 1 ,123322332332323=-iiiiii及这是因为有三个值如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点14在z已知时求方程wn=z的根w, 令z=r(cosq+isinq), w=r(cosj+isinj),则rn(cos nj+isin nj)=r(cosq+isi

6、nq)于是rn=r, cos nj=cosq, sin nj=sinq后两式成立的充要条件为nj=q+2k, (k=0,1,2,).由此12,nkrnqrj=15其中, r1/n是算术根, 所以12,nkrnqrj=1/22cossinnnkkwzrinnqq=当k=0,1,2,n-1时, 得到n个相异的根,而当k以其它整数值代入时, 这些根又重复出现.16例2 求41. i12 cossin,44ii =解 因为所以44224412 cossin,44(0,1,2,3)kkiik =17即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161

7、625252 cossin.1616wiwiwiwi=18四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3Oxy194 区域201. 区域的概念平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式0|z-z0|M的所有点的集合, 其中实数M0, 称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作M|z|M22设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z

8、0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集23平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通24设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.C3C2zg1g2C125区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|

9、M, 则称D为有界的, 否则称为无界的.xyDO26满足不等式r1|z-z0|0角形域:0arg zjjab带形域:aIm zb282. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.29如果在区间atb上x (t)和y (t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有x (t)2+y (t)20这曲线称为光滑的, 由几段依

10、次相接的光滑曲线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线.连续不连续光滑不光滑30设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足at1b, at2b的t1与t2, 当t1t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1)称为曲线C的重点. 没有重点的连续曲线C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)31任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去C外, 一个是有界区域, 称为C的内部, 另一个是无界区域, 称