2022年《电磁场与电磁波》课后习题解答(第一章)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -第一章习题解答【习题 1.1 解】矢径r与x轴正向的夹角为a，就 cos2 a =x2 +x2y2 + z2y2同理，矢径 r 与y轴正向的夹角为b，就 cos2 b=x2 +z2y2 + z2矢径r与z轴正向的夹角为g，就 cos2 g =x2 +y2 + z2222x2y2z2可 得 cos a + cos b +cosg=+x2 + y2 + z2x2 + y2 + z2x2 +y2 + z2x2 +y2 + z2=222 = 1x+ y+ z从而得证【习题 1.2 解】AB （ex9eyez）（2ex4ey3ez

2、）3ex13ey2ezAB（ex9eyez）2ex4ey3ez ex5ey4ezABex9eyez 2ex4ey3ez 236335exeyezABex9eyez 2ex4ey3ez 19124331ex5ey14ez【习题 1.3 解】精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -已知 Aexbeycez , Bex3ey8ez ,（ 1）要使 AB ，就须散度A B0所以从A B13b8c0 可得： 3b8c1即只要满意 3b+8c=1 就可

3、以使向量和向量垂直；（ 2）要使 AB ，就须旋度AB0所以从exeyezAB1bc8b3cex8cey3b ez0138可得b=-3，c=-8【习题 1.4 解】已知 A12ex9eyez ，Baexbey ，由于 BA ，所以应有 AB0即12ex9eyezaexbey12a9b0又由于B1 ;所以a2b21；a3 , b4由，解得55【习题 1.5 解】由矢量积运算规章精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -B=A.exeyCa1a2

4、eza3 =a2 z-a3 yex +a3 x-a1zey +a1 y -a2 xezxyz=Bx ex +By ey +Bz ez取一线元：就有dlex dxey dyez dzexeyB. dlBxByezBz=0dxdydz就矢量线所满意的微分方程为d xd yd zBxByBz或写成dxdydza2 za3 ya3 xa1 za1 ya2 x k 常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采纳以下方法d a1 xd a2 yd a3 zk（ 1）a1 a2 za1 a3 ya2 a3 xa1 a2 za1a3 ya2 a3 xxdxydyzdzk（2）xa 2 za3 yya

5、 3 xa1 zz a1 ya2 x由（ 1）（2）式可得da1 xk a1 a2 xa1 a3 yda2 yk a2a3 xa1a2 z（3）da3 zk a1 a3 ya2 a3 xxdxk a2 xza3 xyydyk a3 xya1 yz（ 4）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -zdzk a1 yza2 xz对（ 3）（4）分别求和222da1 xd a2 yd a3 z0d a1 xa2 ya3 z0xdxydyzdz0d

6、xy z0所以矢量线方程为2a1 xa2 ya3 zk1x2y 2z k2222【习题 1.6 解】已知矢量场 Aaxzxexbyxy ey zzcxz2xyzez如A 是一个无源场，就应有 divA =0即： divA =AAxAyAz0x由于Aaxzx 2xyzyAbyxy2zAzz2cxz2xyz所以有divA =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x2+c+za-2+b+1=0得a=2,b= -1,c= - 2【习题 1.7 解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径r 到柱面的距离相等（ ra）所以，rdss2a2 hrdsasdsa2ahs精选名师 优秀名师 - - -

7、- - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -ez【习题 1.8 解】已知3 x 2 y ,Ax 2yze y3 xy 2而rot AAAAexeyezA6 xyx2 ye3y2e2xyzexyzxyz0x2 yz3xy2A3x2y6xyx2 ye3y 2e2xyze yxyz又e xexe ye zxyzeyez6 xy e x3 x 2 eA6xy3x209 x3 y2e18x2 y3e6x3 y2 ze0x2 yz3xy2xyz所以rotAAA3x2 y6xyx2 ye3

8、y2e2xyze=+9x3 y2e3x2 y2 9x18x2 y3e6x3 y2 zeyzx2 e9ye4xze xyzxyzx【习题 1.9 解】已知Ay22 x 2z e 2x yze2 2xzy 2 zexyz所以精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -rot AAexeyezAzAyAxAzAyAxxyzyzexzxeyxyAxAyAzez11 ex4xz4xz ey2y2yez0由于场 A 的旋度到处等于0，所以矢量场 A 为无旋

9、场；【习题 1.10 解】令 lnx2y2z2 =C,x2y2z2 =ec ， ec =1+4+9=14因此 Cln14x2y2z2 14 为等值面方程【习题 1.11 解】2求函数= 3x32y在点 M2,3 处沿曲线y= x1朝 x 增大一方的方向导数解:|Mx6 xy |2,336M|3 x2y23 y|152,3x -1在 L 取一点 x,yy=2x2 沿 L 的方向的方向余弦为:x2c osxx21l x22 y32x24x5cosyy3x2lx22 y32x24x5由于l0 就x,y2,3所以 cos117cos417精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6

10、 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -又由于coslxcos=24y17【习题 1.11 解 2】求函数= 3x2y2 在点 M2,3 处沿曲线y=x21朝 x 增大一方的方向导数曲线 y 在 M 点沿所取方向的切线斜率为：My'2 x4M所以tg4因此，方向余弦为coscos111tg 2174176xy23x3x 2y2 y6所以所求的方向导数为coscos3616460lxyM171717【习题 1.12 解】标量场1r该标量为一个以直角坐标系的O 点为球心的球面求切平面的方程该平面的法

11、线向量为n1 e1e1e3x3y3z依据平面的点法式方程，得平面方程为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -1 x11 y11 z10333333整理，得：xyz3【习题 1.13 解】cosxcosycosz y2yzcos2 xyxzcos2zxycos1212121112222111103222122【习题 1.14 解】矢量 A 的方向余旋为cos cos cosyz / xz / xy /（ yz2（ yz22（ yz xz2

12、xz22xzxy 223 xy21322 xy3满意题意方向导数：ucoscoscosMlAxyz6xy cos3x2 1733 y2 z2 cos2 y3 zcos精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【习题 1.15 解】coslxcosycosz又 cosl x954l512412192 2314l ycos413l512412192 2314lzcos19217l9524121922314yz4xz3xy17l3143143141

13、2452351171230lM314314314314123即函数xyz在点（ 5,1,2）处沿着点（5,1, 2）到点（9，4,19）的方向导数为；314【习题 1.16 解】gradexeyez xyz2 xy3ex4 yx2ey6 z6ez所以grad0,0,03ex2ey6ezgrad1,1,16ex3ey【习题 1.17 解】精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -(1) 证：graduueu euexyzxyzgradvv ev

14、 ev exyzxyzgradugradv uv e uv e uv exyzgrad uv xyz(2) 证: gradv v ev ev exyzxyzxyzvv evv evv exxyyzzvgradgradvxyz(3) 证：grad u 2 2 uue2 uu e2 uu exyz2 u . gradu【习题 1.18 解】（ 1） 证明（ A + B ） =（ eXx + eyy + ezz Ax eXAy eyAz ezBx exB y eyBz ezx= AxB x AyBy AzBZ yz=（AXxAyAz +（BxyzxByBz yz=AB得证2 AyzeXxeyyzez

15、 A= e XAxe yAe zA精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -= ex AAxxey Ayy A + ez AAz zAxAy=exeyAzez Ayzxyze Xxeyez=AA得证【习题 1.19 解】证明：（1）（ r ）x rx ryz333y rz r22xxxy332z 2223x x122yz 2x r 3x22 xyy32z 2yx2y222xyz2 332z 2223y x122yz 2同理可得：y r 3y

16、 x23y2z2 2x2223y2z2 3222212zz xyz 23z xyz 2z r3z x23y2z2 2 x2y2z2 3333xyzx ry rz r 0x32x r xn1223yz 3x2n322yz 2223 xynz x12222yz 22rr n xx2xy2z2 22nnyx2yy2z2 2222zx2zn2 2y2z2 22223xyz 2nxy2 xz yz n3r【习题 1.20 解】x2y2z2 已知 r x21y2z2 2rxexyeyzez所以精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - -

17、- - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -1exrexeyxyeyezez xex zyeyzez xyzxyzezyxzyxx ey ezyzzxxz0000r(2) exeyxexezyezeyz1rxyz222 2xyz exeyezxyzxyz111x2y2z22x2y2z2 2x2y2z22zy-zyxz-xzee33x33y222 22222222 2222 2xyz xyz xyz xyz xy3222 2-xye3 z222 2xy0000z xyz 精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页

18、- - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -(3) rrf rexeyxyez zxex x2yey y2zez1z2 2frexeyezxyzxfryfrzfr111 x2y2z2 2 x2y2z2 2x2y2z2 2zyfrzyf r-zyyzf r ex23y2z2 2x2y2z2 x23y2z2 2x2y2z2xxzxzfr-xzxzfrex23y2z2 2x2y2z2x23y2z2 2x2y2z2y2zxyxyfr-xyxyfre x23y2z2 2x2y2z x23y2z2 2x2y2z20-0+00精选名师 优秀

19、名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【习题 1.21 解】精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【习题 1.22 解】证明：令就左边 =BA又由题得=故等 式 右边=故左边 =右边，得证同理有=故等 式 右边=故左边 =右边，得证精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第

20、15 页，共 20 页 - - - - - - - - - -B精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【习题 1.23 解】由散度定理得：（XZ2）（X2YZ 3）（2XY+Y2 Z）I=dVVxyZ=（ X 2Y 2 VZ 2）dV23ZdVVa=3Z 2a2 03Z 4 dV=Z3a23Z 5 a=2a555|0【习题 1.24 解】2 EE E 1Hct111E12 EHctctctc 2t 22 HHH 1EE 1ctct11H12 Hctctc 2t 2证毕；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 -

21、- - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【习题 1.25 解】由题意可知：左=2 v=exeyez xxz= ex + ey xxez yyzz=+=222即证【习题 1.26 解】（ 1）解：2=2 sinx siny ezx222sinx siny ezy222=2sinx siny ezz222；22x2y22（2 2 2 ） sinx siny ez2z 0；满意拉普拉斯方程；（ 2） 解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为：21r221rrrr 22z21 rrrr n2rn 2 cosn21 n2 rn 2 cosnr 22精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - -