假设(鸡兔同笼问题)

1、（二）（二）金华职业技术学院周佩青金华职业技术学院周佩青 知识概述知识概述 所谓假设法就是：先对题目中的已知条所谓假设法就是：先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案。加以适当调整，最后找到正确答案。大约一千五百年前，我国古代数学名著大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算孙子算经经中记载了一道数学题，这就是著名的中记载了一道数学题，这就是著名的“鸡兔鸡兔同笼同笼”问题。问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下今有雉兔同笼，上有三十五头，下

2、有九十四足。问雉、兔各几何？有九十四足。问雉、兔各几何？【例例1】鸡兔同笼，上有鸡兔同笼，上有8头，下有头，下有22足，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？方法一：画图法方法一：画图法兔有兔有3 3只只鸡有鸡有5 5只只方法二方法二. .列表法列表法( (假设假设8 8只全是鸡只全是鸡) )鸡的只数鸡的只数兔的只数兔的只数脚的总数脚的总数8016711862205322 减减1只鸡，加只鸡，加1只兔，脚增加只兔，脚增加2只。照这样计算，只。照这样计算，要增加要增加6只脚，应减只脚，应减3只鸡同时加只鸡同时加3只兔只兔【例例1】鸡兔同笼，上有鸡兔同笼，上有8头，下有头，下有22足，问鸡兔各几何？足，

3、问鸡兔各几何？方法二方法二. .列表法列表法( (假设假设8 8只全是兔只全是兔) ) 减减1只兔，加只兔，加1只鸡，脚减少只鸡，脚减少2只。照这样计算，只。照这样计算，要减少要减少10只脚，应减只脚，应减5只兔同时加只兔同时加5只鸡。只鸡。【例例1】鸡兔同笼，上有鸡兔同笼，上有8头，下有头，下有22足，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？兔的只数兔的只数鸡的只数鸡的只数脚的总数脚的总数8032713062283522方法三方法三. .假设法假设法( (上有上有8头，下有头，下有22足足) ) 假设假设8 8只全是鸡，那么共有脚只全是鸡，那么共有脚 8 82=16(2=16(只只) ) 比实际少了

4、比实际少了22-16=6(22-16=6(只只) ) 抓鸡换兔，一鸡换一兔，头数不变，脚数可增加抓鸡换兔，一鸡换一兔，头数不变，脚数可增加2 2只。只。 要增加要增加6 6只脚，需换兔只脚，需换兔6 62=32=3（只）（只） 兔的只数兔的只数 （22-822-82 2）（4-24-2）=3=3（只）（只） 鸡的只数鸡的只数 8-3=5(8-3=5(只只) ) 【例例1】鸡兔同笼，上有鸡兔同笼，上有8头，下有头，下有22足，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？方法四方法四. .代数法代数法一元一次方程一元一次方程 解：设兔有解：设兔有x x只，则鸡有只，则鸡有8-x8-x只。只。 根据鸡兔共有根据

5、鸡兔共有2222只脚可得只脚可得 4x+2(8-x)=224x+2(8-x)=22 解得解得x=3x=3 8-3=5(8-3=5(只只) ) 答：兔有答：兔有3 3只，鸡有只，鸡有5 5只。只。两元一次方程组两元一次方程组解：设有解：设有x x只鸡，只鸡，y y只兔，则只兔，则 x+y=8x+y=8 2x+4y=22 2x+4y=22 x=5 x=5 y=3 y=3答：兔有答：兔有3 3只，鸡有只，鸡有5 5只。只。方法五：古代算法方法五：古代算法解法：半其足，解法：半其足，下减上，下减上，便得知。便得知。脚数脚数2头数兔数头数兔数【例例1】鸡兔同笼，上有鸡兔同笼，上有8头，下有头，下有22足

6、，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？今有雉兔同笼，上有三十五头，下今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？有九十四足。问雉、兔各几何？假设假设3535只全是鸡，则兔有只全是鸡，则兔有(94-35(94-352)2)(4-2)=12(4-2)=12(只只) )假设假设3535只全是兔，则鸡有只全是兔，则鸡有(35(354-94)4-94)(4-2)=23(4-2)=23(只只) )【第第1题题】有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。条。 龟、鹤各有几只？龟、鹤各有几只？龟鹤同游龟鹤同游假设假设40只全是鹤，则龟只全是鹤，则龟（1121124

7、0402 2） (4-2)=16( (4-2)=16(只只) )【第第2 2题题】全班一共有全班一共有38人，共租了人，共租了8条船，每条船都坐条船，每条船都坐 满，大小船各租了几条？满，大小船各租了几条？大船乘大船乘6人人小船乘小船乘4人人假设假设8 8条全是小船，则大船条全是小船，则大船: :（38-838-84 4) )(6-4)=3(6-4)=3( (条条) )假设假设3 36060全是人全是人, ,则狗有则狗有 （8908903603602 2）（4 42 2）= 170= 1702 2= 85= 85（只）（只）【第第3 3题题】多少猎手多少狗？多少猎手多少狗？ 一队猎手一队狗，一

8、队猎手一队狗，两队并着一队走。两队并着一队走。数头一共三百六，数头一共三百六，数腿一共八百九。数腿一共八百九。多少猎手多少狗？多少猎手多少狗？把把3 3个小僧和个小僧和1 1个大僧分为一组，个大僧分为一组，4 4人正好分人正好分4 4个馒头。个馒头。100100个和尚，可以分为个和尚，可以分为2525组，他们正好分完组，他们正好分完100100个馒头。个馒头。所以共有大僧所以共有大僧2525人，小僧人，小僧7575人。人。 【第第4 4题题】百僧分百馒头百僧分百馒头1号选手：假设号选手：假设10题全对题全对错题：（错题：（101036）（106）=4（题）（题）【第第5题题】他们答对了几题？他

9、们答对了几题？答对一题加答对一题加1010分，答错一题分，答错一题扣扣6 6分。分。1 1号选手共抢答号选手共抢答1010题，最后得分题，最后得分3636分。他答错了几题？分。他答错了几题？2 2号选手共抢答号选手共抢答 8 8题，最后得分题，最后得分6464分。他答对了几题？分。他答对了几题？3 3号选手共抢答号选手共抢答1616题，最后得分题，最后得分1616分。他答对了几题？分。他答对了几题？【第第6 6题题】玻璃瓶破损了几只玻璃瓶破损了几只? ? 有一辆货车运输有一辆货车运输20002000只玻璃瓶，运费按到达时完好的只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只瓶子数目计算，每只2

10、2角，如有破损，破损瓶子不给运费，角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿还要每只赔偿1 1元。结果得到运费元。结果得到运费379.6379.6元，问这次搬运中元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？玻璃瓶破损了几只？假设假设20002000只玻璃瓶都完好无损，则破损的只数是只玻璃瓶都完好无损，则破损的只数是 (2000(20000.20.2379.6)379.6)(1(10.2)=10.2)=17(7(只）只）【第第7 7题题】蜘蛛有蜘蛛有8 8条腿，蜻蜓有条腿，蜻蜓有6 6条腿和条腿和2 2对翅膀，婵有对翅膀，婵有6 6条条腿和腿和1 1对翅膀。现在这三种小虫共对翅膀。现在这三种小虫共181

11、8只，有只，有118118条腿和条腿和2020对翅对翅膀。每种小虫个几只？膀。每种小虫个几只？蜻蜓和蝉共有蜻蜓和蝉共有1313只，它们共有只，它们共有2020对翅膀，再次假设对翅膀，再次假设1313只全是蝉只全是蝉蜻蜓有：蜻蜓有：(20-13(20-131)1)(2-1)=7(2-1)=7(只只) )蝉有：蝉有：13-7=6(13-7=6(只只) )先把小虫分为先把小虫分为8 8条腿和条腿和6 6条腿的两类条腿的两类假设假设1818只小虫都是只小虫都是6 6条腿的，则条腿的，则8 8条腿的小虫条腿的小虫蜘蛛有蜘蛛有(118-6(118-618)18)(8-6)=5(8-6)=5(只只) )蜻蜓

12、和蝉共有：蜻蜓和蝉共有：18-5=13(18-5=13(只只) )【例例8】一份稿件，甲单独打字需一份稿件，甲单独打字需6小时完成；乙单独打字小时完成；乙单独打字需需10小时完成。现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接小时完成。现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？小时。甲打字用了多少小时？ 甲单独打字需甲单独打字需6 6小时完成，每小时完成这份稿件的小时完成，每小时完成这份稿件的1/61/6；乙单独打；乙单独打字需字需1010小时完成，每小时完成这份稿件的小时完成，每小时完成这份稿件的1/101/10。 假设假设7 7小时全是乙打的，则可求

13、出甲的时间小时全是乙打的，则可求出甲的时间 ( (1-1/101-1/107 )7 )(1/6-1/10)=4.5(1/6-1/10)=4.5(小时小时) )鸡兔同笼问题的基本形式鸡兔同笼问题的基本形式鸡、兔的只数鸡、兔的只数头数和，脚数和头数和，脚数和问问 题题已知条件已知条件鸡、兔的只数鸡、兔的只数头数和，脚数差头数和，脚数差鸡、兔的只数鸡、兔的只数头数差，脚数和头数差，脚数和鸡、兔的只数鸡、兔的只数头数差，脚数差头数差，脚数差假设假设3636只全是鸡，则只全是鸡，则兔子只数兔子只数 （94-3594-352 2）（4-24-2）1212（只）（只）鸡的只数鸡的只数 35351212232

14、3（只）（只）【1】鸡兔同笼鸡兔同笼,上有上有35头头, 下有下有94足，问鸡兔各几何？足，问鸡兔各几何？鸡兔同笼鸡兔同笼( (头和脚和头和脚和) ) 假设再假设再增加增加1只鸡，只鸡，那么鸡脚与兔脚相等，这时鸡的只数应那么鸡脚与兔脚相等，这时鸡的只数应是兔的是兔的2 2倍，倍， 由此可以求出兔子的只数。由此可以求出兔子的只数。兔子只数兔子只数 （35351 1）（2 21 1）1212（只）（只）鸡的只数鸡的只数 353512122323（只）（只）【2】鸡兔同笼鸡兔同笼,上有上有35头头,鸡脚比兔脚少鸡脚比兔脚少2只只,问鸡兔各几何？问鸡兔各几何？鸡兔同笼鸡兔同笼( (头和脚差头和脚差)

15、)鸡兔同笼鸡兔同笼( (头差脚和头差脚和) )【3】鸡兔同笼鸡兔同笼,鸡比兔多鸡比兔多11头头,下有脚共下有脚共94只只,问鸡兔各几何？问鸡兔各几何？ 假设去掉假设去掉1111只鸡，那么鸡与兔就同样多，此时鸡兔的脚只鸡，那么鸡与兔就同样多，此时鸡兔的脚数之和是数之和是94-1194-112=722=72 。 兔有兔有 ( (94-1194-112 2) )6=126=12（只）（只） 鸡有鸡有 12+11=2312+11=23（只）（只） 假设鸡再增加假设鸡再增加1 1只，那么鸡脚与兔脚就同样多。当鸡脚与只，那么鸡脚与兔脚就同样多。当鸡脚与兔脚同样多时，鸡的只数是兔的兔脚同样多时，鸡的只数是兔

16、的2 2倍。根据鸡比兔多倍。根据鸡比兔多1212只，可求只，可求出兔的只数出兔的只数 兔的只数兔的只数 11111=121=12（只）（只）鸡的只数鸡的只数 121211=2311=23（只）（只）【4】鸡兔同笼鸡兔同笼,鸡比兔多鸡比兔多11个头个头,少少2只脚只脚,问鸡兔各几何？问鸡兔各几何？ 鸡兔同笼鸡兔同笼( (头差脚差头差脚差) )【例例9】一项工程，如果全是晴天一项工程，如果全是晴天，1515天可以完成；倘若下天可以完成；倘若下雨，雨天一天只能完成晴天的雨，雨天一天只能完成晴天的4/54/5的工作量。现在知道在施的工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多工期间雨天比晴天多3 3天。问这

17、项工程是用多少天完成的？天。问这项工程是用多少天完成的？方法一：假设工程总量是方法一：假设工程总量是7575份，晴天每天完成份，晴天每天完成5 5份，雨天每天完成份，雨天每天完成4 4份。份。如果雨天去掉如果雨天去掉3 3天天( (即总量去掉即总量去掉3 34=124=12份份) )，则雨天与晴天就一样多。，则雨天与晴天就一样多。 晴天有晴天有(75-4(75-43)3)(5+4)=7(5+4)=7(天天) ) 雨天有雨天有7+3=10(7+3=10(天天) ) 总共是总共是7+10=17(7+10=17(天天) )方法二：把一项工程看作方法二：把一项工程看作1 1，晴天每天完成这项工程的，晴

18、天每天完成这项工程的1/151/15，雨天每天，雨天每天完成完成4/754/75。如果雨天去掉。如果雨天去掉3 3天天( (即工程去掉即工程去掉4/754/754=16/75)4=16/75)，则雨天与，则雨天与晴天就一样多。晴天就一样多。 晴天有晴天有(1-4/75(1-4/754)4)(1/15(1/154/75)=7(4/75)=7(天天) ) 雨天有雨天有7+3=10(7+3=10(天天) ) 总共是总共是7+10=17(7+10=17(天天) )【例例10】某次数学考试考某次数学考试考5道题，全班道题，全班52人参加，共做对人参加，共做对181道题。已知每人至少做对道题。已知每人至少做对1道题，做对道题，做对1道的有道的有7人，人，5道全对的有道全对的有6人，做对人，做对2道和道和3道的人数一样多。那么做对道的人数一样多。那么做对4道的有多少人？道的有多少人？解：对解：对2 2道、道、3 3道、道、4 4道的共有道的共有 52-7-6=39(52-7-6=39(人人) )，他们共做对，他们共做对 181-(7+5 181-(7