高数测试题八(曲线曲面积分)答案

1、高数测试题八(曲线积分与曲面积分部分)、选择题(每小题5分，共25分)1、对于格林公式JLPdx+Qdy=/(-)dxdy,下述说法正确的是(C)AL取逆时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且=jx:y；:Q；:PBL取顺时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且=二x二yCL为D的正向边界，函数P,Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数DL取顺时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数2、取定闭曲面工的外侧，如果工所围成的立体的体积是V,那么曲面积分力的是(D)AQxdydzydzdxzdxdyBQ(x'y)dydz(yz)dzdx(zx)dxdyC口(xyz)(d

2、ydzdzdxdxdy)l，1Dff(x+y+z)(dydz+dzdx+dxdy)433、C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则ryxdy-ydxJC24/2=(L_Cx+4yA4二B0C2二D二4、设工为x2+y2+z2=a2在z之h(0<h<a)部分，则/zdS=(B)工2 二a2 -h2 -0 dl.0a -r rdr2 ：-a2 -h20 d”_Erdr2 只：Ja2 -h2B d - ardr-002 二,a2 A2 -22D d1 1 a - r rdr005、设A=P(x,y)i'+Q(x,y)j'(x,y)WD,其中p,q在区域D内具

3、有连续的一阶偏导数，又L是D中任一曲线，则下列关于曲线积分的论断，其中不正确的是(C)Q.尸QrPA如果|Adl与路径无关，则在区域D内，必有三<B如果JA才与路径无关，则在区域D内，必存在单值函数u(x,y),L使得du(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy:Q:PC如果在区域D内，三,则必有fAd与路径无关x.:yLD如果对每一条闭曲线“讯0”/与路役无关二、填空题(每小题5分，共25分)221、 设C为依逆时针方向沿椭圆xy+与=1一周路径，则ab口(xy)dx-(x-y)dy=-2二ab2、 设工为球心在原点，半径为R的球面的外侧，在口xdydzydzdxzdxdy=4二R

4、3y3、 设C为圆周x=acost,y=asint(0WtW2n),则口(x2y2)ds=2二a34、 设C是由车B面z=Jx2+y2与半球面z=JR2-x2_y2围成的空间区域，工是C的整个边界的外侧，则xdydz+ydzdx+zdxdy=，22、k,、，5、 设有力场F=(x+y)(yi-xj)(yA0),已知质点在此力场内运动!时，场力F所作的功与路径的选择无关，则k=二1三、计算题1、(8分)计算_(x+y)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的周界。解:L(xy)ds=OA(xy)dsOB(xy)dsAB(xy)ds111_=0xdx-ydy-,2d

5、x=1、22、(8分)计算(x2+y2)dx十(x2y2)dy,其中L为沿曲线y=11x从点O(0,0)到B(2,0)一段。解:x 0 _ x _ 11一一二 2.x 1X2OAAB22222222l(xy)dx(x-y)dy=0(xxx-x)dx:x2(2-x2)x2-(2-x)2dx=433、(8分)计算I=xdy7dx,其中c是沿曲线x2=2(y+2)从点CxyA(-272,2)到点B(2也2)的一段。解：利用格林公式，补充一段BA ,因为二 x:P：:y22y -x22 2(x y )(x,y)#(0,0),作包含(0,0)的辅助闭曲线C|x=cos3y=sin,日：2n一*0得2J-

6、 dx = JJ 0dxdy = 0 ,所以 y d.x.dv-C1BAx2.V2yxxyxxdy-ydx%1BAxdy-ydx2二2.2,22-2dx二0(cos日+sin6)d6-j2c2x2二2五-2arctan、.24、(10分)设曲线积分xy2dx+y5(x)dy在全平面上与路径无关，其中中(x)(*<x<笛)具有一阶连续导数，且中(0)=0,计算(i,i2)(0xydxy(x)dyc:q,P解：P=xy2,Q=y中(x),由条件知三，得2yyx()，当y#0x.y时，中'(x)=2xW(x)=x2+C；中(0)=0，二？(x)=x2,取直线段OA:y=x(0&l

7、t;x<1),由O(0,0)到A(1,1)(i,i)221(0,0)xydxy(x)dy=OAxydxy(x)dy-24xyz.5、(8分)计算U(z+2x+-y)dS,其中工为平面一+上十一=1在第二3234卦限中的部分44斛：E与成z=42x-y,Zx=2,Zv=-一3xy3_3_22.61Dxy:0WyM3x,0ExM2,dS=#+zx+zydxdy=dxdy213444.613.61ii(z2xy)dS=(4-2xy)(2xy)dxdy=3d3382xy6(8分)设f(u)具有连续导函数，计算曲面积分rr,3.1y,31I=JJxdydz+f(一)+ydzdx+f(Gzzy+z3dxdy,其中-为x>0的锥面x2=y2+z2与球面x2+y2+z2=1,x2+y2+z2=4所围成立体表面的外