上海交通大学概率统计二维rv的函数分布

1、3.4 3.4 二维二维 r.v.函数的分布函数的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件问题方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2 , 1k当( X ,Y )为连续r.v.时，)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500

2、.51),(| ),(:zyxgyxDz的几何意义：Dz例例1 1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布离散型二维离散型二维 r.v.的函数的函数解解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1

3、 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，具有可加性的两个离散分布q 设 X P (1), Y P (2), 且独立，则 X + Y B ( n1+n2, p)则 X + Y P(1+ 2) X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21

4、!)(2121kek, 2 , 1 , 0kPoisson分布可加性的证明分布可加性的证明问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数， g(x,y)为已知的二元函数，求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.方法q 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件q 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.二维连续二维连续r.v.函数的分布函数的分布(1) 和的分布：和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(

5、xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(z特别地，若X ,Y 相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作) 1 (z) 2 (z) 4(z称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例例2 2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然X

6、,Y 相互独立,且dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzz-1 = xx2121,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z当z 0 时，0)(zFZ1yx1当0 z 1 时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzzx+y = z当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22z

7、zzzfZ2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZ1yx1x+y = z22当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或例例3 3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一 （图形定限法）dxxzxfzfZ),()(由公式（1）zxz = xz = 2xx = 112当 z 2 , zzzz当 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ当 1 z 2, )41 (233)(212/zxdxzfzZf Z (z) = 0其他, 02, 10,3)

8、,(xzxxxxzxf其他, 021),41 (2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便解法二解法二 （不等式组定限法）dxxzxfzfZ),()(考虑被积函数取非零值的区域xxzx010)(102zxxz令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0，1，2当 或 时不等式组 无解20zz)(10 z当 时不等式组 解为)(zxz2当 时不等式组 解为21 z)(12xz其他021)1 (3103)(1423289222zxdxzzxdxzfzzzzZ 正态随机变量的结论q 若X ,Y 相互独立,),(),(222211NYNX则),(222121NYXq 若(X ,Y )

9、;,;,(222211N则)2,(22212121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若nXXX,21相互独立则),(1211niiniiniiNX推广推广已知 ( X ,Y )的联合d.f. f (x,y)求 Z = aX +bY + c 的 d.f.,其中 a,b,c为常数，a , b 0.).(,|1)(eazdxbcaxzxfbzfZ.).(,|1)(eazdyyacbyzfazfZ（证明见后面附录） 补充 作业另一种计算 f Z (z) 的方法q 构造一个新的二维 r.v. (Z ,V ), q 求( Z , V ) 的联合 d.f. f ( z, v )q 求边缘密度 f

10、Z (z),(),(YXrVYXgZ其中随机变量代换法设),(),(yxrvyxgz存在唯一的反函数：h , s 有连续的偏导数, vszsvhzhJ),(),(vzsyvzhx则已知 ( X ,Y )的联合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z, V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式记|),(),(),(JvzsvzhfvzfXYZV证),(),(vVzZPvzFZV),(,),(vYXrzYXgPdxdyyxfvyxrzyxgXY),(),(),( zvXYdvdzJvzsvzhf|),(),(|),(),(),(JvzsvzhfvzfXYZV例如 已知(X ,

11、Y )的联合d.f. f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z (z)令YVYXZ/VYZVX| |10| |vzvJ|,),(vvzvfvzfZVdvvzfzfZVZ),()( , )| |f zv v v dv(2) 商的分布：商的分布： Z = X / Y 例例4 4 已知( X, Y ) 的联合分布函数为其他, 00, 0,1),()(yxeeeyxFyxyx求Z = X / Y 的 p.d.f.解解其他, 00, 0,),()(yxeyxfyxdvvvzvfzfZ| ),()(他其, 00, 0,),()(vzevzvfvzv(3) 平方和的分布平方和的分布: Z = X

12、 2+Y 2设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)，则)()(22zYXPzFZ, 0),(, 0, 022zdxdyyxfzzyx, 0,)sin,cos(, 0, 0020zrdrrrfdzz例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则, 0,212121, 0, 0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ, 0,21, 0, 0)(2zezzfzZ自由度为2的 2分布称为, 0,)sin,cos(21, 0, 0)(20zdzzfzzfZ(4) 极值分布：即极大极值分布：即极大(小小)值的分布值的分布离散随机变

13、量的极值分布可直接计算仅就独立情形讨论极值分布maxX ,Y P1 00.75 0.25 例例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25设连续随机变量X ,Y 相互独立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函数.),(max)(uYXPuFM),(uYuXP)()(uYPuXP)()(uFuFYX),(min)(vYXPvFN),(min1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP.)(

14、1)(1 1vFvFYX推广推广nXXX,21相互独立，且nixFXiii, 2 , 1),(设,min,max2121nnXXXNXXXM则niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(例例6 6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n 个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，系统 L 才正常工作).(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它 n 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换)；成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；若 n 个元件寿命分别为nXXX,21niEXi,

15、2 , 1),(且求在以上 4 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的 d.f.解解其它, 00,)(ixiXxexfii其它, 00,1)(ixiXxexFii(1) ,min21nXXXXniXXxFxFi1)(1 (1)(0, 00,)(xxenxfxnX0, 1, 0,)(1xxexFxXi(2),max21nXXXXniXXxFxFi1)()(0, 00,)1 ()(1xxeenxfnxxX0, 0, 0,)1 (xxenx(3)nXXXX21dttxftfxfXXXX)()()(2121n = 2 时，0, 00,0)(xxdteextxt0, 00,xxxextxx = tdttxftfxfXXXXXX)()()(3213210, 00,0)(xxdtetextxt0, 00,! 22xxexx可证, X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立, 故0, 00,)!1()(1xxenxxfxnX归纳地可以证明，(4)()(xXPxFX0, 0, 0),(1xxxXPxkXXPxXPn个大于中至少有,)(1nkjj