第10章平面图形的几何性质

1、 反映平面图形的反映平面图形的形状形状与与尺寸尺寸的的几何量几何量NF A NElFl A如：如：本章介绍：本章介绍： 平面图形几何性质的平面图形几何性质的定义定义、计算方法计算方法和和性质性质在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：10.1 静矩与形心静矩与形心一、静一、静矩矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（面积矩）（面积矩）其值：其值：+ +、- -、0 单位：单位：m3 AxAySd AyAxSdxyOA

2、ydAx二二. .形心坐标形心坐标AAyyAAxxACACddCxyCCxyO由理论力学中由理论力学中,均质薄板求均质薄板求质心的公式质心的公式即即ASyASxxCyC由此得出由此得出CxCyAySxAS性质性质1若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零. .反之反之, ,图形对图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心某轴静矩为零，则该轴必过形心. . 例例 求三角形求三角形ABCABC对底边对底边BCBC的静矩的静矩解解: :)(,yhhbDEbDEhyhbhABCOyxdyDEyyyyhhbSxd)(dhAxxxdxxhhbdSS0)(积分得积分得：203261312

3、bhxxhhbShx3)21(hbhSx三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等） 组成组成的平面图形的平面图形如：如：1. .静矩静矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC ASyxC 例例 确定形心坐标确定形心坐标mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 2211yAyA 21AA 解：解： 取参考坐标系取

4、参考坐标系 xy2002003030 x（参考轴）yyCC10.10.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值：其值：+ + 单位：单位：m4 AxAyId 2 AyAxId2xyOAydAx1. .惯性矩惯性矩2.2.极惯性矩极惯性矩即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面图形对任意一点的极惯

5、性矩等于该图形对通过平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质性质2xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义： xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+ +、- -、0 单位：单位：m4 AxyAxyId假设：假设： x 轴和轴和 y 轴为一对相互垂直轴为一对相互垂直3.3.惯性积惯性积xyOAydAx二二.惯性惯性积的性

6、质积的性质当当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴轴中有一轴为对称轴xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA - 在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。对这对轴的惯性积为零。 性质性质 3 ：(1).(1). 矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 三三.常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：AAId2p)d2(2

7、02d324dd2dA2/04)4(2d(2). 圆形截面圆形截面OddD324dpIIIyx 由对称性由对称性 yxII 21pI 444416464 DdD 644d(3). 环形截面环形截面dxyO p21 IIIyx 惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出： 惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位： mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形

8、对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径10.10.3 平行轴定理平行轴定理 定理推导定理推导bxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：yOAxCdAyxxccycyxcab 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 显然：显然：性质性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩和惯性积的平行轴定理惯性矩和惯性积的平行轴定理yOAxCdAyx

9、xccybacyxc解：解：cccyyyIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 12302003 42mm 302005 .57 12 1AIIccxx1a47mm 1098. 3 22 2AIIccxx2acccxxxIII47mm 1001. 6 cxIcyI例例 求求 和和III200200303047mm 1003. 2 xcCcyc157.5a1a2xC1xC210. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + sincos1yxx 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系： sinco

10、s1xyy 代入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111xyOdAyxA x1y1x11y显然显然 11yxyxIIII const pI 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y显然显然const pI 性质性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。性矩。 11yxyxIIII xyO

11、dAyxA x1y1x11y二、主惯性矩二、主惯性矩 1. .定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴：图形的对称轴是形心主惯性轴2.确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则的角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转

12、轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200 xyyxIII可改写为可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限） 由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，再后，再代入代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式 ，化简后可得，化简后可得主惯性矩的计主惯性矩的计算公式：算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120极大值Imax极小值Imin101012025C4020yz 20158035AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 107010121101201510120121323yI424mm.100)25(70 mm104 .27844 zI093. 1)2(tan20 IzIyIyz zyII 02 6 .22720 8 .1130 mm103 .971070)35()25(0101202015044 yzI101012025C4020yz 20158035101012070C4020yzy0 0=113.8z0mm103214)(21244220 yzzyzyyIIIIIImm104 .574)(21244220 yzzyzyzIIIIIIdb2dyzOdddddAAzzAAA