第三章 误差理论

1、第三章第三章 误差基本理论误差基本理论第一节第一节 概述概述圆周率圆周率最早，周3径1，即3；圆径一而周三有余三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法割圆术，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长刘徽计算到圆内接96边形， 求得 =3.14南北朝时期，祖冲之（ 429500 ），将圆周率推算至小数点后7位数（即3.1415926与3.1415927之间）2金字塔金字塔3Straightness deviation直线度偏差 15 mm/236 m Perpendicularity deviation垂直度偏差 12“D2lh7.0857.3357.585iix直接测量直接测量间接测量间接测量数据处

2、理数据处理方程的个数多于未知量的个数时最可信赖值的求取方程的个数多于未知量的个数时最可信赖值的求取误差和测量不确定度的发展误差和测量不确定度的发展经典误差理论的萌芽期（十八世纪）经典误差理论的萌芽期（十八世纪） 正态分布的发现、最小二乘原理的提出正态分布的发现、最小二乘原理的提出经典误差理论的建立（二十世纪）经典误差理论的建立（二十世纪） 马利柯夫马利柯夫 计量学基础计量学基础测量不确定度的形成与发展期（二十世纪末）测量不确定度的形成与发展期（二十世纪末） 测量不确定度表示指南测量不确定度表示指南International vocabulary of metrology Basic and g

3、eneral concepts and International vocabulary of metrology Basic and general concepts and associated terms(associated terms(VIMVIM) )，3rd edition, JCGM 200:20123rd edition, JCGM 200:2012/en/publications/guides/vim.html/en/publications/guides/vim.htmlJCGM 100 series

4、 Guides to the expression of uncertainty in measurement JCGM 100 series Guides to the expression of uncertainty in measurement ( (GUMGUM series) series). . JCGM 100:2008JCGM 100:2008，JCGM 101:2008JCGM 101:2008，/en/publications/guides/gum.html/sites/JCGM/GUM-introdu

5、ction.htm内容内容误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理误差的合成与分配误差的合成与分配测量不确定度测量不确定度最小二乘法最小二乘法回归分析等回归分析等学习要求学习要求会正确进行误差分析会正确进行误差分析会正确表示和评定测量结果会正确表示和评定测量结果的不确定度的不确定度会正确处理测量数据会正确处理测量数据会正确设计测量方案会正确设计测量方案学习要求学习要求研究误差与测量不确定度的意义研究误差与测量不确定度的意义认识误差与不确定度的规律，认识误差与不确定度的规律，正确地处理数据正确地处理数据与测量理论、方法和仪器的发展相辅相成基本物理常数的得出是根据正态分布规律，按最小二乘法等数据处

6、理方法，得到最佳值合理评价合理评价测量结果的误差和不确定度测量结果的误差和不确定度完善地进行试验设计完善地进行试验设计试验过程的组织、仪器的设计和选用、测量方法的选择和改进、测量条件的控制、8一、测量误差的基本概念一、测量误差的基本概念9测量测量误差误差 （error of measurement）测得的量值减去参考量值。测得的量值减去参考量值。1、测量误差的概念在以下两种情况下均可使用： 当涉及存在单个参考量值，如果测得值的测量不确定度可忽略的测量标准进行校准，或约定量值给定时，测量误差是已知的； 假设被测量使用唯一的真值或范围可忽略的一组真值表征时，测量误差是未知的。2、测量误差不应与出现

7、的错误或过失相混淆。相对误差（相对误差（relative error）测量误差除以被测量的真值相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示当被测量值相差较大时，用相对误差才能进行有效的测量水平比较 以确定量值为目的的一组操作，该操作以确定量值为目的的一组操作，该操作可以通过手动的或自动的方式来进行。可以通过手动的或自动的方式来进行。 测量测量（measurement） 测量就是利用实验手段，把待测量与已测量就是利用实验手段，把待测量与已知的同类量进行直接或间接的比较，将已知知的同类量进行直接或间接的比较，将已知量作为计量单位，求得比值的过程量作为计量单位，求得比值的过程。 从计量学的角

8、度上讲从计量学的角度上讲与实施该测量有关的一组相互关联的与实施该测量有关的一组相互关联的资源资源、活动活动和和影响量影响量统称为测量过程（统称为测量过程（measurement process） 包括实施测量中包括实施测量中用到的测量设备、用到的测量设备、测量程序和操作测量程序和操作者，也包括准备者，也包括准备测量所需的资金、测量所需的资金、技术和其他设施技术和其他设施等等 实施测量是一实施测量是一种操作的活动种操作的活动 在实施测量的整在实施测量的整个活动中，不是个活动中，不是被测量但对测量被测量但对测量结果有影响的量结果有影响的量 测量可以视为一种通过实验手段来获得对测量可以视为一种通过实

9、验手段来获得对某客观事物取得定量信息的过程。某客观事物取得定量信息的过程。 测量过程测量过程测量误差测量误差（error of measurement）测量误差测量误差测得值测得值真值真值真值（真值（true valuetrue value）是是指一个特定的物理量在一指一个特定的物理量在一定条件下所定义的客观量定条件下所定义的客观量值，又称为理论值或定义值，又称为理论值或定义值。理论真值一般只存在值。理论真值一般只存在于纯理论之中。于纯理论之中。 三角形内角之三角形内角之和恒为和恒为180180一个整圆周角一个整圆周角为为360360约定真值约定真值( (conventional true v

10、alue）指定值、最佳指定值、最佳估计值、约定估计值、约定值或参考值值或参考值 是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予予特定量的值。这个术语在特定量的值。这个术语在计量学中常用。计量学中常用。 误差是针对真值而言误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定的，真值一般都是指约定真值。真值。 亦称亦称绝对误差绝对误差（absolute error） 定义定义 0 xxx 被测量的真被测量的真值，常用约值，常用约定真值代替定真值代替 测得值测得值 绝对误差绝对误差 特点特点 绝对误差是一个具绝对误差是一个具有确定的大小、符号有确定的大小、符号及单位的量。单位给及

11、单位的量。单位给出了被测量的量纲，出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。其单位与测得值相同。 绝对误差不绝对误差不能完全说明测能完全说明测量的准确度。量的准确度。 修正值修正值( (correction) 与误差绝对值相等、符号相反与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用的值，一般用c c表示。表示。 0cxxx 在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。公式的形式给出。 定义定义 相对误差相对误差 特点特点相对误差只有相对误差只有大小和符号，而大小和符号，而无量纲，一般用无量纲，一般用百分数来表示。百分数来表示。 相对误差相对误差常用来衡量常用来衡

12、量测量的相对测量的相对准确程度。准确程度。 0 xrx绝对误差绝对误差被测量的真值，常用约定被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用真值代替，也可以近似用测量值来代替测量值来代替 x0 x相对误差相对误差（relative error） 引用误差引用误差定义定义 该标称范围（或量程）上限该标称范围（或量程）上限 引用误差引用误差 仪器某标称范围（或量程）仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差内的最大绝对误差 mmmxrx引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的

13、，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。故该误差又称为引用相对误差、满度误差。 误差的来源误差的来源计量器具和设备误差计量器具和设备误差环境条件误差环境条件误差测量方法误差测量方法误差人员误差人员误差18误差存在的普遍性、必然性！误差存在的普遍性、必然性！偏差偏差 deviation定义：定义：一个值减去其参考值一个值减去其参考值偏差与误差等值而反向，与修正值相等偏差与误差等值而反向，与修正值相等例如：尺寸偏差实际尺寸基本尺寸例如：尺寸偏差实际尺寸基本尺寸上偏差、下偏差、极限偏差、尺寸公差带上偏差、下偏差、极限偏差、尺寸公差带19存在一些习惯叫法：加工精度，加工误差存在一些习惯叫法：加工精度，

14、加工误差二、误差的分类二、误差的分类随机误差（随机误差（random error）系统误差（系统误差（systematic error）20粗大误差：粗大误差：由测量过程中不可重复的突发事件（电子或机械噪声、操作人员的错误读数或记录、测量仪器的错误使用）所引起的。误差误差 绝对绝对误差误差相对相对误差误差粗大粗大误差误差系统系统误差误差随机随机误差误差表示形式表示形式性质特点性质特点随机变量的概率密度分布函数随机变量的概率密度分布函数随机变量在各可能值附近出现的概率与可能值之间的函随机变量在各可能值附近出现的概率与可能值之间的函数关系数关系22051015

15、2025( )f x以数据为横坐标以数据为横坐标频率密度为纵坐标频率密度为纵坐标某钢球工件直径重复测某钢球工件直径重复测量量150150次的测量点列图次的测量点列图7.0857.3357.585ix随机测量误差随机测量误差（random measurement error）随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量。差的分量。1、随机测量误差的参考量值是对同一被测量由无穷多次重复测量得到的平均值。2、一组重复测量的随机测量误差形成一种分布，该分布可用期望和方差描述。3、随机测量误差等于测量误差减系统测量误差。随机误差一般来源于影响量

16、的变化，这种变化在时间上随机误差一般来源于影响量的变化，这种变化在时间上和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称之为观测值的变化，故称之为“随机效应随机效应”23随机误差举例随机误差举例传动部件的间隙和摩擦等引起示值不稳定连接件的弹性变形等引起的示值不稳定电表轴承摩擦力矩的变动引起的示值不稳定螺旋测微仪测头的压紧力变化操作读数的视差影响数字式仪表末位取整的舍入随机误差的统计规律性随机误差的统计规律性对称性：对称性：指绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数指绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等大致相等测得值是以它

17、们的算术平均值为中心而对称分布的有界性：有界性：测得值误差的绝对值不会超过一定的界限测得值误差的绝对值不会超过一定的界限单峰性：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多测得值是以它们的算术平均值为中心而相对集中地分布抵偿性：抵偿性：误差的总和大致趋于零，它是判定随机误差最误差的总和大致趋于零，它是判定随机误差最本质的一个统计特征。本质的一个统计特征。25系统测量误差系统测量误差（systematic measurememt error）系统误差：系统误差：在重复测量中保持不变或按可预见方式变在重复测量中保持不变或按可预见方式变化的测量误差的分量。化的测量

18、误差的分量。1、系统测量误差的参考量值是真值，或是测量不确定度可忽略不计的测量标准的测得值，或是约定量值。2、系统测量误差及其来源可以是已知或未知的。对于已知的系统测量误差可采用修正补偿。3、系统测量误差等于测量误差减随机测量误差。测量偏移（测量偏移（measurement measurement biasbias），简称偏移），简称偏移：系统：系统测量误差的估计值。测量误差的估计值。26系统误差的分类系统误差的分类系统误差一般来源于影响量，它对测量结果的影响已系统误差一般来源于影响量，它对测量结果的影响已经被识别并可以定量地进行估算。这种影响称之为经被识别并可以定量地进行估算。这种影响称之为

19、“系统效应系统效应”。可在测量结果上加上修正值或乘以修正。可在测量结果上加上修正值或乘以修正因子而予以补偿，得到修正后的测量结果。因子而予以补偿，得到修正后的测量结果。过去说法过去说法：按对误差掌握的程度分为已定系统误差和：按对误差掌握的程度分为已定系统误差和未定系统误差。未定系统误差按随机误差处理。未定未定系统误差。未定系统误差按随机误差处理。未定系统误差其实是不存在的，过去所说的未定系统误差系统误差其实是不存在的，过去所说的未定系统误差从本质上说并不是误差，而是不确定度。从本质上说并不是误差，而是不确定度。按误差出现规律分不变系统误差和变化系统误差。按误差出现规律分不变系统误差和变化系统误

20、差。修正值修正值correction定义：定义：用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。统误差的值。修正值等于负的系统误差由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全未修正结果未修正结果（uncorrected result，系统误差修正前的测，系统误差修正前的测量结果）和量结果）和已修正结果已修正结果（corrected result，系统误差修，系统误差修正后的测量结果）正后的测量结果）28测量误差示意图测量误差示意图2977.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.60510152025( )f x小结小结误差一词应按其定义使用，

21、不宜用它来定量表明测量结果的可靠程度误差一词应按其定义使用，不宜用它来定量表明测量结果的可靠程度用于已知约定量值的情况，例如用示值误差来表示仪器特性误差测得值真值误差测得值真值 （测量结果总体均值）（总体均值真值）（测量结果总体均值）（总体均值真值） 随机误差系统误差随机误差系统误差在重复性条件下得到的不同测量结果具有不同的随机误差，但有相同的在重复性条件下得到的不同测量结果具有不同的随机误差，但有相同的系统误差系统误差测量误差的合成测量误差的合成 “代数和代数和”方式方式? ?“方和根方和根”方法合成方法合成30三、三类误差之间的关系三、三类误差之间的关系不同性质的测量误差可采用不同的数据处

22、理方法，获不同性质的测量误差可采用不同的数据处理方法，获得更精确的结果。得更精确的结果。各类误差之间随着考察条件的变化可以相互转化，并各类误差之间随着考察条件的变化可以相互转化，并不存在绝对的界限。不存在绝对的界限。按一定基本尺寸制造的量块，存在制造误差，对某一块量块的制造误差是确定数值，可认为是系统误差；但对一批量块而言，制造误差是变化的，又称为随机误差。以度盘偏心误差为例，在固定地使用度盘的同一刻度进行测量时，带入测量结果的误差是恒定不变的系统误差；若按顺时针或逆时针顺次考察各刻度时，其示值误差是按正弦规律变化的系统误差。查点房间内的人数是，若漏点（多计）了人数时，获得的数值应认为是错误的

23、，含粗大误差；但在人口普查中，计数误差被认为是不可避免的，而且遵从某种分布规律。四、测量准确度的质量概述四、测量准确度的质量概述“精度精度”：反映测量结果与真值接近程度的量反映测量结果与真值接近程度的量误差小精度高；误差大精度低正确度（trueness）：反映测量结果中系统误差的影响程度精密度（ precision ）：反映测量结果中随机误差的影响程度准确度（ accuracy）：反映测量结果中系统误差和随机误差综合影响的程度32(a)(b)(c)正确度高，精密度低正确度高，精密度低正确度低，精密度高正确度低，精密度高准确度高准确度高International vocabulary of me

24、trology Basic and general concepts and associated terms（VIM）第一版，第一版，1984：国际计量局（国际计量局（BIPM）、国际电工委员会（）、国际电工委员会（IEC）、国际标准化组织（）、国际标准化组织（ISO）、国际法制计量组织（）、国际法制计量组织（OIML）第二版，第二版，1993：国际计量局（国际计量局（BIPM）、国际电工委员会（）、国际电工委员会（IEC）、国际标准化组织（）、国际标准化组织（ISO）、国际法制计量组织（）、国际法制计量组织（OIML）、国际临床化学联合会（）、国际临床化学联合会（IFCC）、国际理论和应用

25、）、国际理论和应用化学联合会（化学联合会（IUPAC）和国际理论和应用物理联合会（）和国际理论和应用物理联合会（IUPAP）共同制定）共同制定JJF1001-1998通用计量术语及定义第三版，第三版，2008： 19971997年成立了计量导则联合委员会（年成立了计量导则联合委员会（JCGMJCGM）；20052005年，国际实验室认可合作组织（年，国际实验室认可合作组织（ILACILAC）加入了该委员）加入了该委员会；会；JCGMJCGM有两个工作组：第一组为有两个工作组：第一组为“测量不确定度表示测量不确定度表示”工工作组，第二组为作组，第二组为“关于关于VIMVIM”工作组工作组JJF1

26、001-2011通用计量术语及定义第三版，修订版第三版，修订版 JCGM 200:201233measurement accuracycloseness of agreement between a measured quantity value and a true quantity value of a measurandThe concept measurement accuracy is not a quantity and is not given a numerical quantity value. A measurement is said to be more accurat

27、e when it offers a smaller measurement error.The term “measurement accuracy” should not be used for measurement trueness and the term measurement precision should not be used for measurement accuracy, which, however, is related to both of these concepts.Measurement accuracy is sometimes understood a

28、s closeness of agreement between measured quantity values that are being attributed to the measurand.34measurement truenesscloseness of agreement between the average of an infinite number of replicate measured quantity values and a reference quantity valueMeasurement trueness is not a quantity and t

29、hus cannot be expressed numerically, but measures for closeness of agreement are given in ISO 5725.Measurement trueness is inversely related to systematic measurement error, but is not related to random measurement error.Measurement accuracy should not be used for measurement trueness and vice versa

30、.35measurement precisioncloseness of agreement between indications or measured quantity values obtained by replicate measurements on the same or similar objects under specified conditionsMeasurement precision is usually expressed numerically by measures of imprecision, such as standard deviation, va

31、riance, or coefficient of variation under the specified conditions of measurement.The specified conditions can be, for example, repeatability conditions of measurement, intermediate precision conditions of measurement, or reproducibility conditions of measurement (see ISO 5725-3:1994).Measurement pr

32、ecision is used to define measurement repeatability, intermediate measurement precision, and measurement reproducibility.Sometimes “measurement precision” is erroneously used to mean measurement accuracy.36测量重复性（测量重复性（measurement repeatabilitymeasurement repeatability）测量重复性（简称，重复性）测量重复性（简称，重复性）：在一组重

33、复性测量：在一组重复性测量条件下的测量精密度。条件下的测量精密度。重复性条件（简称，重复性条件）：相同测量程序、相相同测量程序、相同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地点，同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地点，并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。测量条件。37测量复现性（测量复现性（reproducibilityreproducibility）测量复现性（简称，复现性）测量复现性（简称，复现性）：在复现性测量条件：在复现性测量条件下的测量精密度。下的测量精密度。复现性测量条件（简称，复现性条件）复现性测量条件

34、（简称，复现性条件）：不同地点：不同地点、不同操作者、不同测量系统，对同一或相类似被、不同操作者、不同测量系统，对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。测对象重复测量的一组测量条件。1、不同的测量系统可采用不同的测量程序。2、在给出复现性时应说明改变和未变的条件及实际改变到什么程度。38期间测量精密度期间测量精密度 intermediate measurement precisionintermediate measurement precision期间精密度期间精密度：在一组期间精密度测量条件下的测：在一组期间精密度测量条件下的测量精密度。量精密度。期间测量精密度测量条件，简称期间精密

35、度条件期间测量精密度测量条件，简称期间精密度条件：除了相同测量程序、相同地点，以及在一个较：除了相同测量程序、相同地点，以及在一个较长时间对同一或相似的被测对象重复测量的一组长时间对同一或相似的被测对象重复测量的一组测量条件外，还包括涉及改变的其他条件。测量条件外，还包括涉及改变的其他条件。、改变可包括新的校准、测量标准器、操作者和测量系统。、对条件的说明应包括改变和未变的条件以及实际改变到什么程度。、在化学中，术语“序列间精密度测量条件”有时用于指“期间精密度测量条件”。measurement repeatabilityrepeatabilitymeasurement precision u

36、nder a set of repeatability conditions of measurementrepeatability condition：condition of measurement, out of a set of conditions that includes the same measurement procedure, same operators, same measuring system, same operating conditions and same location, and replicate measurements on the same o

37、r similar objects over a short period of time40measurement reproducibilityreproducibilitymeasurement precision under reproducibility conditions of measurementreproducibility condition：condition of measurement, out of a set of conditions that includes different locations, operators, measuring systems

38、, and replicate measurements on the same or similar objects41intermediate measurement precision intermediate precision measurement precision under a set of intermediate precision conditions of measurementintermediate precision conditions: condition of measurement, out of a set of conditions that inc

39、ludes the same measurement procedure, same location, and replicate measurements on the same or similar objects over an extended period of time, but may include other conditions involving changes.NOTE The changes can include new calibrations, calibrators, operators, and measuring systems.五、有效数字与数据运算五

40、、有效数字与数据运算有效数字：有效数字：对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数。对其他十进位数，从非零数字为定位用的零）的个数。对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。举例：举例：3500035000，35035010102 20.00350.0035，0.003500.00350数值修约：数值修约：通过省略原数值的最后若干位数字，调整所通过省略原数值的最后若干位数字，调整

41、所保留的末位数字，使最后所得到的值最接近原数值的过保留的末位数字，使最后所得到的值最接近原数值的过程程43 进位与舍入进位与舍入拟舍弃数字的最左一位数字小于拟舍弃数字的最左一位数字小于5 5时，则舍去，即保留的各位时，则舍去，即保留的各位数字不变数字不变拟舍弃数字的最左一位数字大于拟舍弃数字的最左一位数字大于5 5，或者是，或者是5 5，而其后跟有并，而其后跟有并非全部为非全部为0 0的数字时，则进一，即保留的末位数字加的数字时，则进一，即保留的末位数字加1 1拟舍弃数字的最左一位数字为拟舍弃数字的最左一位数字为5 5，而右面无数字或皆为，而右面无数字或皆为0 0时，时，若所保留的末位数字为奇

42、数则进一，为偶数则舍弃若所保留的末位数字为奇数则进一，为偶数则舍弃44四舍四舍六入六入逢五凑偶逢五凑偶 3.141592.717294.510503.215506.3785017.6914995.43460 3.1422.7174.5103.2166.3797.6915.435特殊的数据修约特殊的数据修约修约间隔：确定修约保留位数的一种方式，以k10n形式表示，一般k=1某些特殊情况下也采用“0.2”间隔或“0.5”间隔修约对于非“1”间隔修约，可先将拟修约数分别除以k，然后按“1”间隔进行修约，最后再将修约数乘以k。负数取绝对值。例：例： 拟修约数拟修约数15.115.1，修约间隔，修约间隔

43、0.20.2 15.1/015.1/0. .2 2 7575. .5 5 7676 76760 0. .2 2 15.215.2 拟修约数拟修约数15.115.1，修约间隔，修约间隔0.50.5 15.1/0 15.1/0.5.5 3030. .2 2 3030 30300 0. .5 5 15.015.045GB-T 8170-2008 数值修约规则与极限数值的表示和判定数值修约规则与极限数值的表示和判定 数据运算规则数据运算规则加减：以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位数字，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。乘除：以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据应多取一位数

44、字，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。平方或开方：按乘除运算处理例：例：1648.0+0.0082+1.632+86.62+5.135+316.34+0.545 1648.0+0.01+1.63+86.62+5.14+316.34+0.54 = 2058.28 ? 0.0121*1.36872 0.0121*1.369 = 0.0165649 0.016646 测量结果的处理测量结果的处理“测量不确定度评定测量不确定度评定”替代替代“误差评定误差评定”，但是，但是“误差误差分析分析”仍是必要的仍是必要的测量结果处理的环节测量结果处理的环节求全部测得值的算术平均值和实验标准偏差异常数据（

45、粗大误差）的判断系统误差（效应）的分析与修正测量不确定度评定47数据处理（最小二乘法、回归分析、）统计学基本知识统计学基本知识48随机事件出现的频率：随机事件出现的频率：在有限次试验中，随机事件出现的百在有限次试验中，随机事件出现的百分比分比随机事件出现的概率：在一定条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，这种可能性的大小称为概率NnfpANANAlimlim随机变量的概率密度分布函数随机变量的概率密度分布函数随机变量在各可能值附近出现的概率与可能值之间的函随机变量在各可能值附近出现的概率与可能值之间的函数关系数关系490510152025( )f x以数

46、据为横坐标以数据为横坐标频率密度为纵坐标频率密度为纵坐标某钢球工件直径重复测某钢球工件直径重复测量量150150次的测量点列图次的测量点列图7.0857.3357.585ix概率密度分布函数的性质与形式概率密度分布函数的性质与形式概率密度分布函数的性质概率密度分布函数的性质：（：（1 1）概率密度分布函数是一非负）概率密度分布函数是一非负函数；（函数；（2 2）概率密度分布函数在区间（）概率密度分布函数在区间（- , + - , + ）内的）内的积分等于积分等于1 1概率密度分布函数的形式概率密度分布函数的形式：正态分布，矩形分布，三角分布：正态分布，矩形分布，三角分布，梯形分布，反正弦分布，

47、两点分布，投影分布等，梯形分布，反正弦分布，两点分布，投影分布等50aa21)(fa图 2-5o随机变量的特征值（随机变量的特征值（1 1）数学期望：数学期望：对该随机变量进行无限多次测量所得结果的对该随机变量进行无限多次测量所得结果的平均值，也称为平均值，也称为总体均值总体均值51nxnkkn1lim dxxxf ccE离散：离散：连续：连续： cxEcxE yExEyxE xcEcxE yExExyE随机变量的特征值（随机变量的特征值（2 2）方差：方差：表示测量结果相对于数学期望（总体均值）的平均离表示测量结果相对于数学期望（总体均值）的平均离散程度散程度标准偏差：标准偏差：方差的正平方

48、根，也称为单次测量的标准偏差方差的正平方根，也称为单次测量的标准偏差52 nxxVnkkn12lim dxxfxxV2离散：离散：连续：连续： xExExV22 0cV xVcxV xVccxV2 yVxVyxV yxyVxVyxV,2独立：独立：任意：任意：随机变量的特征值（随机变量的特征值（3 3）有限次测量：有限次测量：样本平均值、样本方差、实验标准差（样样本平均值、样本方差、实验标准差（样本标准差）本标准差）53样本平均值样本平均值nxxnkk1样本方差样本方差 112nxxxsnkk 112nxxxsnkk实验标准差实验标准差贝塞尔公式实验标准偏差（实验标准偏差（experiment

49、al standard deviationexperimental standard deviation）定义：定义：对同一被测量做对同一被测量做n n次测量，表征测量结果分散性的量次测量，表征测量结果分散性的量s s可按下式算出：可按下式算出：54 112nxxxsnik nxsxs为n次测量结果的算术平均值分布的标准偏差的估计，称为平均值的实验标准偏差，不能将它称为平均值的标准误差 xs xs可用于表征测量仪器的重复性可用评价此测量仪器进行n次测量所得结果的分散性随机变量的特征值（随机变量的特征值（4 4）协方差：协方差：表示两随机变量表示两随机变量x x和和y y之间关联程度的量之间关联

50、程度的量55nyxyxnkykxkn1lim,相关系数： yxyxyx,无限次测量无限次测量有限次测量有限次测量1,1nyyxxyxsnkkk无限次测量无限次测量有限次测量有限次测量 ysxsyxsyxr,第三节粗大误差的判定与剔除第三节粗大误差的判定与剔除粗大误差产生的原因粗大误差产生的原因测量人员的主观原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因客观外界条件的原因仪器内部故障仪器内部故障56测量者工作责任感不强、工作过测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录。细等，造成

51、错误的读数或记录。测量条件意外地改变（如机械测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰冲击、外界振动、电磁干扰等）。等）。判别异常数据（粗大误差）的准则判别异常数据（粗大误差）的准则（一）（一） 准则（莱以特准则）准则（莱以特准则） 准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近似的准则。此该准则只是一个近似的准则。 则可认为该数据则可认为该数据 含有粗大误差，应予以剔除。含有粗大误差，应予以剔除。5733|xxvdd3dx

52、表表 准则准则 “弃真弃真”概率概率n 11n 11 16 61 121 333 16 61 121 333a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003358v0.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019+0.009-0.001-0

53、.021-0.021-0.0110.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.00420.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.4

54、0123456789101112131415序号15210.003374iiv404.20151nlxii15210.01496iiv0151iiv2vv2vl099. 0033. 0330.104016.013003374.0112 nvnii 3iv（二）罗曼诺夫斯基准则（二）罗曼诺夫斯基准则59t t检验准则检验准则，当测量次数较少时较为合理 首先剔除一个剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的值是否是含有粗大误差。 测量数据： ，若认为某个测量值 为可疑数据，将其剔除后计算平均值为 求得测量数据列的标准差 根据测量次数n和选取的显著度 ，查得t分布的检验系数 。 若 ，则认为测量

55、值 确实含有粗大误差。nxxx,.,21jxnjiiixnx111212nvnii),(nKKxxjjx60 K n0.050.01 K n0.050.01 K n0.050.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.3

56、73.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81用前面例子的测得值 解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的1414个测量值计算平均值和标准差，得：个测量值计算平均值和标准差，得： 选取显著度选取显著度 ，已知，已知n n1515，查表得：，查表得： 则则 因因 故第八组测量值含有粗大误差，应予剔除。然后对剩下的故第八组测量值含有粗大误差，应予剔除。然后对剩下的1414个测个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。得值进行判别，可知这些测得值

57、不再含有粗大误差。016.0,411.20 x05. 0a24. 2)05. 0 ,15(K036. 0016. 024. 2K036. 0111. 0411.2030.208 xx（三）格罗布斯准则（三）格罗布斯准则62 19501950年格罗布斯（年格罗布斯（GrubbsGrubbs）根据顺序统计量的某种分布规根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗大误差的准则。律提出一种判别粗大误差的准则。 为了检验为了检验 中是否含有粗大误差，按大小顺序排列成顺中是否含有粗大误差，按大小顺序排列成顺序统计量序统计量 ，取一定显著度取一定显著度( (一般一般0.050.05或或0.01)0.01)，查

58、表（下页）得临，查表（下页）得临界值界值ix)()2()1(.nxxxxxgnn)()()1 ()1 (xxg),(0)(nggi0( , )g n判据：判据： ，可判别该测得值含有粗大误差63),(0ang2.782.822.852.882.912.942.962.993.043.343.592.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.17171819202122232425303540501001.161.491.751.922.412.482.552.612.662.702.7

59、51.151.461.671.821.942.032.282.332.372.412.443456789101112131415160.010.050.010.05aann),(0ang64 今有两测得值今有两测得值 ， 可怀疑，但由于可怀疑，但由于 故应先怀疑故应先怀疑 是否含有粗大误差，计算是否含有粗大误差，计算 查表得查表得 则则 故测量数据中第八个测得值故测量数据中第八个测得值 含有粗大误差，应予剔除。含有粗大误差，应予剔除。 剩下的剩下的1414个数据，再重复上述步骤，判别个数据，再重复上述步骤，判别 是否含有粗大是否含有粗大误差。误差。 计算计算 故可判别故

60、可判别 不包含粗大误差，而各不包含粗大误差，而各 皆小于皆小于1.181.18，故，故可认为其余测得值也不含粗大误差。可认为其余测得值也不含粗大误差。 )1(x)15(x104. 030.20404.20)1( xx026. 0404.2043.20)15( xx)1(x15. 3033. 030.20404.20)1(g41. 2)05. 0 ,15(0g41. 2)05. 0 ,15(15. 30)1(gg8x)15(x， 411.20 x016. 018.1016.0411.2043.20)15(g)15(x)(ig033. 0404.20 x30.20)1(x43.20)15(x用前面