奥数质数合数分解质因素讲义及答案

1、数的整除(2)质数、合数、分解质因数教室 姓名 学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：(1)单位1：只含有1这一个因数的自然数。(2)质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个因数的自然数。(质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。)(3)合数：含有三个或三个以上因数的自然数。(4)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。(5)因数个数定理：例如： 例80=22X 32X 5X 11所以：(T表示因数个数)T (1980) = (1+2) X ( 1+2) X ( 1+1) X ( 1+1) =36(6)

2、因数和的定理：例如：1980=22X 32X 5X 11所以：S ( 1980) = ( 20 + 21+22) X ( 30+31 + 32 ) X ( 50 +51) X ( 110 + 111)=7 X 13X6X 12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49,这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是 492=47,从而得到它们的积是 2X 47=94。例2、有三张卡片，上面分别写着2、 3、 4 三个数字，从中任意抽出一张、两张、 三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、

3、三位数，写出其中的质数。解：由于2+3+4=9 是 3 的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2 和 4，只能排3. 所以用2、 3、 4 三个数字排出两位质数有23 和 43. 取一张卡片排出的质数有2 和 3. 所以最后排出的质数有2、 3、 23、 43 这四个。例 3、 360 这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2X2X2X 3X3X 5=23X 32X 5,所以 360 有(3+1) X (2+1) X (1+1)=24 个因数。因数的和是：( 1+2+22+23) X ( 1+3+32) X ( 1+5) =1170例

4、 4、筐里共有96 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？解：每次拿的个数都是96 的因数(除96 和 1 之外) ，这样问题转化为求96 的因数个数，将96分解质因数，得 96=2X2X2X2X2X3,除去96和1之外，96的因数有 10 个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48. 有 10种不同拿法。【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数，求 a的最小值和这个平方数。解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23 X 32 X 7=22 X 32X (2X 7),还少(2X7)

5、,使得504Xa是个平方数，所以所求的a的最小值是2X7=14; 这个平方数是 504 X 14=7056。【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。14， 33， 35， 30， 75， 39， 143， 169.解：14=2X7, 33=3X 11, 35=5X7, 30=2X 3X 5, 75=3X5X5, 39=3X13, 143=11 X13, 169=13X13.这八个数分解质因数后共有质因数 18个（包括相同的），其中： 质因数 2 有两个，质因数3 有 4 个，质因数5 有 4 个，质因数7 有 2 个，质因数11 有 2个， 质因数

6、 13 有 4个。 相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：（ 1） （ 14， 75， 33， 169）和（30， 35， 39， 143）或（2）（14，75，39， 143）和（30，35，33，169）.【课后分层练习】A组：入门级1、 有 7 个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少？解： 6 个奇质数的和是偶数，60 减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2，即这7 个数中最小的是2.2、如果是一个质数，“口”是一个合数，下列第（4 ）项的值一定是一个质数。（1）。+ （2）。口 Oxa（4）Ox口 + 口3、 210 的因数有几个。这些因数的

7、和是多少？解：210=2X3X5X 7,根据因数个数和及因数和定理有： 210的因数有（1+1） x （1+1） x （1+1） x （1+1） =16 个。这些因数的和是 1+2） x （1+3） x （1+5） X （ 1+7） =576.2、 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？解：105=3X5X7； 105 共有（1+1） X （1+1） X （1+1） =8 个因数，所以共有不 同8 + 2=4 （种）拼法。3、 有三个学生，他们的年龄一个比一个大3 岁，他们三人年龄的乘积是1620. 这三个学生的年龄分别是几岁。解：1620=2X2X3X 3X3X3

8、X5=9X 12X 15.他们的年龄分另U是 9 岁、12 岁、15岁。B 组：进阶级1、 哥德巴赫猜想是说：每个大于2 的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？解：个位数字是1 的两位质数有11 ， 31 ， 41， 61， 71；其中168 11=157， 16831=137， 168 41=127， 168 61=107， 都不是两位数，只有 168 71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97.2、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数

9、，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。解：甲必胜。甲先写6，这样除去6 的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个数，甲心中把（4， 5） ， （ 7， 9） ， （ 8， 10）分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数，则甲总可获胜。3. 将 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等，第二组各数的和是15，问每组的数各是多少？解：2, 4=2X2, 6=2X3, 8=2X2X2,由于两组的积相等，显然是 4和6在一组，1、2、5、7只出现一次，其和正好为15. 这样3，4，6，8，9 分成两组

10、，即为3，4，6 和8，9. 因此三组数是：（3，4，6）； （ 1，2，5，7）； （ 8，9）。4、1X2X3X-X 40 能否被 90909 整除？ 3解：首先将90909分解质因数，得 90909=3 X 7X13X37。因为33 （=27）, 7, 13 , 37者B在140中，所以1X2X3XX 40能被90909整除。C 组：挑战级1 、 学区举行团体操表演，有1430 名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100 至 200之间，共有几种分法？解：按题意，每队人数X队数 =1430,每队人数在100至200之间，所以问题相当于求 1430有多少个 在100至200之间

11、的因数。为此，先把 1430分解质因数，得1430=2X5X 11X13。从这四个质数中 选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。2X5X11=110,13; 2X5X13=130, 11; 11X13=143, 2X5=10。所以共有三种分法，即分成13 队，每队110 人；分成11 队，每队130 人；分成10 队，每队143 人。2、试求不大于50 的所有因数个数为6 的自然数。解：因为这个数有六个因数，6=5+1= （2+1） X （1+1）,所以，当这个数只有一个质因 数a时，这个数是a5;当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2xb。因为这个数不 大于50,所以对于a5,只有a=2,即25=32;对于a2Xb,经试算得到，22X 3=12, 22X 5=20, 22X7=28, 22X 11=44, 32X2=18, 32X5=45, 52X 2=50。所以满足题意的数有八个： 32， 12， 20， 28， 44， 18， 45， 503、要使