25非简并定态微扰理论

1、微扰理论微扰理论 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 简并情况下的微扰理论简并情况下的微扰理论 利用薛定谔方程可以求解一些简单的能量本征问题。例如：谐利用薛定谔方程可以求解一些简单的能量本征问题。例如：谐振子、方势阱、氢原子问题等。实际上，能用薛定谔方程严格求解振子、方势阱、氢原子问题等。实际上，能用薛定谔方程严格求解的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。求近的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。求近似解的方法很多，例如似解的方法很多，例如微扰理论微扰理论、变分法变分法等。每一种方法都有它的等。每一种方法都有它的适用范围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。适用范

2、围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。 微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式 (0)HHH其中其中 （不显含（不显含 ）的解已知或可精确求解，它包括了体系的主要）的解已知或可精确求解，它包括了体系的主要性质；性质； 对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在 的解的基的解的基础上用础上用 修正修正 的解，就得到了复杂体系的的解，就得到了复杂体系的 的近似解。的近似解。 (0)HtH(0)HH(0)HH 分为两种情况：分为两种情况： （1 1） 不显含不显含 ，即定态问题，它又分为非简并和简并两种情，即定

3、态问题，它又分为非简并和简并两种情况；况； HtH t （2 2） 显含显含 ，可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题，可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题及光的发射和吸收等问题。及光的发射和吸收等问题。 本章主要介绍本章主要介绍定态微扰理论定态微扰理论。 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 一、一级近似解一、一级近似解二、二级近似解二、二级近似解三、结果讨论三、结果讨论 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 已知已知 不显含时间，且不显含时间，且 H(0)HHH(1)HH（ 是很小的实参量）是很小的实参量） (0)(0)(0)(0)nnnHE 的本征方程的本征方程 (0)H 、 已经

4、解出，且已经解出，且 不简并。不简并。 (0)nE)0(n(0)nE 设体系的定态薛定谔方程为设体系的定态薛定谔方程为 nnnHE 由于由于 和和 都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数参数 的函数，将它们展为的函数，将它们展为 的幂级数，即的幂级数，即 nEn(0)(1)2(2)( )nnnnEEEE(0)(1)2(2)( )nnnn 将展开式代入薛定谔方程中，得将展开式代入薛定谔方程中，得 (0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)()()()()nnnnnnnnnHHEEE 得得 )()()()()0()

5、2()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEHHHHH逐级近似方程逐级近似方程 0(0)(0)(0)(0)nnnHE1(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)nnnnnnHHEE2(0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)nnnnnnnnHHEEE 假定假定 已经归一化，则已经归一化，则 ( )n*( )( )1nnd (0)(1)2(2)*(0)(1)2(2)() ()1nnnnnnd 一、一级近似解一、一级近似解 考虑考虑 的第的第 个

6、能量本征值个能量本征值 和相应本征函数和相应本征函数 的修正。的修正。 (0)Hn(0)nE(0)n 把把 用用 展开展开 (1)n(0)nkkknc)0()1()1(代入到一级等式代入到一级等式 中，得中，得 (0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)nnnnnnHHEE)0()1()0()1()0()0()1()0()1()0(nnkkknnkkkEcEHcH)0()1()0()1()0()0()1()0()0()1(nnkkknnkkkkEcEHEc做运算做运算 ，得，得 dxm)0*(1)(0)*(0)(0)*(0)(1)(0)(0)(1)*(0)(0)(1)*(0)(0)kkm

7、kmnknkmknmnkc EdxHdxEcdxEdx(1)(0)(1)(0)(1)(1)kkmkmnnkmknmnkkc EHEcE(1)(0)(1)(0)(1)(1)mmmnnmnmncEHEcE(1)(0)(1)(0)(1)(1)mmmnnmnmncEHEcE 当当 时，上式变成时，上式变成 nm (1)(1)nnnEH所以，能量一级修正值为所以，能量一级修正值为 (1)nnnEH 当当 时，上式变成时，上式变成 mn(1)(0)(1)(0)(1)mmmnnmc EHEc(1)(1)(0)(0)mnmnmHcEE因此因此 (1)/(1)(0)nmmmc求和号上加一撇，表示不包含求和号上加

8、一撇，表示不包含 项。项。 nm 所以，波函数一级修正为所以，波函数一级修正为 (1)/(0)(0)(0)mnnmmnmHEE 总结：总结： 一级近似解为一级近似解为 (0)nnnnEEH(0)/(0)(0)(0)mnnnmmnmHEE(1)/(0)(0)(0)mnmmnmHEE二、二级近似解二、二级近似解 令令 kkknc)0()2()2(代入到二级等式代入到二级等式 中，得中，得 (0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)nnnnnnnnHHEEE)0()2()0()1(/)1()0()2()0()0()1(/)1()0()2()0(nnkkknkkknkkkkkkEcE

9、cEcHcH做运算做运算 ，得，得 dxm)0*(dxEdxcEdxcEdxHcdxEcnmnkmkknkkmknkmkkkkmkk)0()0*()2()0()0*()1(/)1()0()0*()2()0()0()1()0*()1(/)0()0*()0()2(mnnmkkknkmkknkmkkkmkkkEcEcEHcEc)2()1(/)1()2()0()1()1(/)0()2(mnnmnnmnkmkkmmEcHcEHcEc)2()1()1()2()0()1()1(/)0()2(mnnmnnmnkmkkmmEcHcEHcEc)2()1()1()2()0()1()1(/)0()2( 当当 时，时，

10、 ，上式变成，上式变成 nm 0)1(mc)2()2()0()1 ()1 (/)0()2(nnnknkknnEcEHcEc(2)/(1)(1)nknkkEc H所以，能量二级修正值为所以，能量二级修正值为 mmnmnnEEHE)0()0(2/)2(2能量的二级近似值为能量的二级近似值为 2(0)/(0)(0)mnnnnnmnmHEEHEE/(1)(1)mnmmc H(1)/(1)(0)(0)mnnmmnmHHEE2(1)/(0)(0)mnmnmHEE三、结果讨论三、结果讨论 1 1微扰论的适用条件微扰论的适用条件 (0)(0)1mnnmHEE(0)(0)()nmEE （1 1）一方面）一方面

11、要足够小（即要足够小（即 ），可把它看成），可把它看成扰动项；扰动项； H(0)(0)mnnmHEE （2 2）另一方面能级间距）另一方面能级间距 要足够大，所有要足够大，所有 要足够远要足够远离被修正的能级离被修正的能级 。 (0)(0)nmEE(0)mE(0)nE 例如例如：库仑场：库仑场(0)21nEnn (0)(0)0nmEE故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。 注意注意：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情况。况。 2 2 在在 表象中的矩阵形式表象中的矩阵形式 (0)HH(0)HHH可见，可见

12、，在在 表象中，表象中， 的对角元素就是各能级的一级修正，的对角元素就是各能级的一级修正， 矩阵矩阵的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。 (0)HHH(0)11112(0)221220.0.EHHEHH(0)11112(0)21222.EHHHEH 例例1 1一电荷为一电荷为 的线性谐振子受恒定弱电场的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿作用，电场沿 正正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。 ex 解：解： (0)22222122HHdHxe xdx 0EDexxe x 其中其中 的本征

13、解的本征解 (0)H2222(0)11(0)22120,1,2,()()2!nxxnnnnnEnnN eHxeHxn （1 1）求能量）求能量 (1)nnnEH*(0)(0)( )( )nnx Hx dx*(0)(0)( )( )nnex xx dx 0*(0)(0)( )( )mnmnHx Hx dx*(0)(0)( )( )mnex xx dx *(0)(0)(0)11122mnnenndx ,1,1122m nm nenn 22(2)/(0)(0)mnnmnmHEEE221,1,(0)(0)(0)(0)11nnnnnnnnHHEEEE2212enn2212e2222e 所以，准确到二级近

14、似的能量为所以，准确到二级近似的能量为 (0)(1)2(2)nnnnEEEE222122en （2 2）求波函数）求波函数 (1)/(0)(0)(0)mnnmmnmHEE1/2(0)(0)1112nnnne 1/2(0)(0)113112nnenn1,1,(0)(0)11(0)(0)(0)(0)11nnnnnnnnnnHHEEEE所以，波函数的一级近似为所以，波函数的一级近似为 (0)(1)nnn(0)(0)(0)11312nnnenn 讨论：讨论： 实际上此题可准确求解能量本征值实际上此题可准确求解能量本征值 22222122dHxe xdx 222222221222nnndexEdx222222221222nnndexEdx能量本征方程能量本征方程 所以所以222122neEn222122neEn212( )()xnnnxN eHx2222222221222deexdx 222222221222dexdx 例例2 2 设在设在 表象中，表象中， 的矩阵表示为的矩阵表示为 0HH0102*0300EcaHEdbabE其中其中 ，试用微扰论求