结构动力学第三章单度线性系统受迫振动

1、第三章单度线性系统受迫振动第三章单度线性系统受迫振动3-1 无阻尼受迫振动无阻尼受迫振动tFsin0mk2metFkxxmsin0 tfxxnsin02 或mFf00齐次微分方程的通解为：齐次微分方程的通解为：)sin(cossin1tCtBtAxnnn特解为：特解为：tXxsin2将将x2代入微分方程可得：代入微分方程可得：220nfX因此微分方程的全解为：因此微分方程的全解为： 实际系统总是存在阻尼，自由项实际系统总是存在阻尼，自由项x1中的中的A与与B总是总是随时间的增加而减小，最后完全消失，因此我们只讨随时间的增加而减小，最后完全消失，因此我们只讨论受迫项：论受迫项：tftBtAxxx

2、nnnsincossin22021tfxnsin2202其振幅其振幅220nfX仅与、仅与、及及0有关，与初始条件无关，且受迫振动有关，与初始条件无关，且受迫振动频率等于激励频率频率等于激励频率，振幅与激励频率，振幅与激励频率的关系曲线如图。的关系曲线如图。OnXkF0幅频曲线幅频曲线当当n时，振幅时，振幅，这一现象称为共振。，这一现象称为共振。实际上，当实际上，当n时，有特解：时，有特解：tbttbtxncoscos2代入微分方程得：代入微分方程得：nnmFfb2200tmtFxnncos202如同。随时间无限增大，波形振幅nmtFB20因此微分方程的全解为：因此微分方程的全解为：将将x2代

3、入微分方程得：代入微分方程得：3-2 有阻尼受迫振动有阻尼受迫振动ktFsin0cmtFkxxcxmsin0 tfxxxnnsin202 或mkc2阻尼比)sin(1tAexdtn通解：)sin(2tXx特解：222220tg)(mkccmkFX)sin()sin(21tXtAexxxdtn仅考虑强迫项仅考虑强迫项x2Sin(t)kmnn2222则令222mkckcn所以所以22222012tg4)1 (/kFX动力放大系数：动力放大系数：2222004)1 (1/激励力幅值弹簧力幅值弹簧静变形响应幅值FkXkFX曲线（幅频特性曲线）和曲线（幅频特性曲线）和曲线（相频特性曲线（相频特性曲线）分

4、别如下图所示。曲线）分别如下图所示。幅频特性曲线幅频特性曲线 相频特性曲线相频特性曲线从幅频图和相频图可见：从幅频图和相频图可见： (1)当频率比当频率比1时（即时（即1时（即时（即n），无论阻尼的大小如何，），无论阻尼的大小如何，180，0， ，振幅大小主要取决于系统惯性。，振幅大小主要取决于系统惯性。2020mFkFX (3)当当1（n）时，）时，90，共振发生，此时振幅大，共振发生，此时振幅大小与阻尼关系密切，当小与阻尼关系密切，当0时，时，。一般有。一般有 ，振幅大小主要取决于阻尼，振幅大小主要取决于阻尼c。222200mkckccFkFXn幅频特性曲线幅频特性曲线 相频特性曲线相频特

5、性曲线(4)相位角相位角与阻尼比与阻尼比和频率比和频率比的关系：的关系： 1时，不管阻尼如何，响应时，不管阻尼如何，响应(位移位移)总是滞后于激励总是滞后于激励90； 若若0，当，当1时，时，180，反相位，相位在共振点发生突变；，反相位，相位在共振点发生突变； 若若0，随随增大而增大，但不会发生突变，然而在共振点增大而增大，但不会发生突变，然而在共振点（1）处）处的变化较大，特别是的变化较大，特别是较小时较小时的变化更大。的变化更大。幅频特性曲线幅频特性曲线 相频特性曲线相频特性曲线(5) 振幅的最大值不在振幅的最大值不在n处，而是在处，而是在这个频率才真正称为共振频率，此时振幅为：这个频率

6、才真正称为共振频率，此时振幅为：n2212012kFX为最大。时，响应曲线无极值，当122 精密仪器放在振动的地基上，则与地基具有精密仪器放在振动的地基上，则与地基具有相同的振动，现垫以减振物质，称被动隔振。相同的振动，现垫以减振物质，称被动隔振。1 基础激励与被动隔振基础激励与被动隔振3-3 工程应用工程应用ykmcxy设设 y(t)YSint，则，则)()(yxkyxcxm )sin(sincos222tYckkyyckxxcxmtkYtYckyyckxxcxm 或即kctg式中： x(t)Sin（t）特解（稳态解）为特解（稳态解）为：而而/Y说明基础激励对响应说明基础激励对响应X的影响程

7、度，称为的影响程度，称为位移的传递率，记为位移的传递率，记为22232222222)(tg)(cmkkmccmkckYX式中：22222222222224)1 (41)(cmkckYXTr传递率传递率Tr与频率比与频率比的关系曲线如图的关系曲线如图。位移传递率与力传递率曲线位移传递率与力传递率曲线由图可见，当由图可见，当1.414时，时，Tr1.414；当；当1时，时，Tr将很小，隔振效果好。由将很小，隔振效果好。由于于不能人为控制，因此只有控制系统，使不能人为控制，因此只有控制系统，使n很小，很小，而而 ，所以要么选择较软的弹簧，要么选择，所以要么选择较软的弹簧，要么选择较大的质量。实际使用

8、时两者兼顾，全息摄影采用较大的质量。实际使用时两者兼顾，全息摄影采用很重的平台，下面垫以减振材料，平台上放置精密很重的平台，下面垫以减振材料，平台上放置精密仪器；汽车运送易破碎物体（鸡蛋、玻璃电视机等）仪器；汽车运送易破碎物体（鸡蛋、玻璃电视机等）时，则不可能选择大的质量，只有选择较小的弹簧，时，则不可能选择大的质量，只有选择较小的弹簧，如海绵、橡胶等弹性好的软材料支垫如海绵、橡胶等弹性好的软材料支垫。MKn2 主动隔振主动隔振 被动隔振是由于振源无法消除不得以而采取的一个被动隔振是由于振源无法消除不得以而采取的一个补救措施，以保护我们的仪器设备。但有的振源体是可补救措施，以保护我们的仪器设备

9、。但有的振源体是可以隔离开的，如图具有偏心质量的电机，若用减振材料以隔离开的，如图具有偏心质量的电机，若用减振材料将其与地基隔开，则可减小机器传给地基的力，这种预将其与地基隔开，则可减小机器传给地基的力，这种预防措施称为主动隔振（或隔力），其简化模型如图防措施称为主动隔振（或隔力），其简化模型如图。 现在来讨论由弹簧现在来讨论由弹簧k和阻尼和阻尼c传给地基的力传给地基的力Fk和和Fc的合力。的合力。kmcxtFsin0kFcF根据有阻尼强迫振动知识，有稳态解根据有阻尼强迫振动知识，有稳态解振动传给地基的力为：振动传给地基的力为：)sin(4)1 (/)sin()(22220tkFtXtx)si

10、n(4)1 ()(22220tFtkxFk)cos(4)1 (/)(22220tkcFtxcFc地基所受合力为：地基所受合力为：)sin(222tXckFFRck其最大值为其最大值为：222222022222max4)1 (4141FkXXckR力的传递率力的传递率Tr22222222222224)1 (41)(0maxcmkckFRTr与被动隔振中位移的传递率具有相同的形式，从与被动隔振中位移的传递率具有相同的形式，从而要求而要求n1.414，阻尼越大，阻尼越大，则力幅也越大，但若阻尼太小，则物体通过共振则力幅也越大，但若阻尼太小，则物体通过共振区时会产生很大振动，力幅也大。因此应选择合区时

11、会产生很大振动，力幅也大。因此应选择合适的阻尼器，即选择弹簧适的阻尼器，即选择弹簧k和阻尼和阻尼c时，既要考虑时，既要考虑物体的振幅不能太大，又要考虑传给地基的力幅物体的振幅不能太大，又要考虑传给地基的力幅不能过大。不能过大。运动微分方程运动微分方程3-4 强迫振动问题的复数求解法强迫振动问题的复数求解法tFkxxcxmsin0 可改写为可改写为：tieFkxxcxm0 设稳态解为：设稳态解为：)()(tiXetx的虚部表示即可。用实际响应的虚部，是实际激励)(00)sin(sintitiXetXeFtF将将x(t)代入运动微分方程，有代入运动微分方程，有02)(FXeicmki)(20icm

12、kFXei即考虑到考虑到sincosiei22220)()()(sincoscmkicmkFiXX或易求得：易求得：222220tg)(mkccmkFX结果同前。结果同前。结构动力学结构动力学邹经湘等，哈尔滨工业大学出版社，邹经湘等，哈尔滨工业大学出版社，1996年，年，P15推导不一样推导不一样3-5 用矢量方法推导稳态响应公式用矢量方法推导稳态响应公式tieFkxxcxm0 稳态解为：稳态解为：)()(tiXetx代入得：代入得：titititieFkXeXeicXem0)()()(2iieiieieiii)2sin()2cos(2sin2cos1sincos22由于0)2()()(20t

13、itititiXeckXeXemeF稳态响应的矢量图稳态响应的矢量图上式表示系统在激振力、惯性力、弹性力和阻尼力上式表示系统在激振力、惯性力、弹性力和阻尼力矢量作用下的平衡关系及相位关系，由此可作出矢矢量作用下的平衡关系及相位关系，由此可作出矢量图如下。量图如下。tReImXm20FkXXc222220tg)()(mkcXcXmkF由图有：Xm2tXckXReIm0F周期激励周期激励F(t)的傅立叶级数为：的傅立叶级数为：3-6 周期激励下的强迫振动周期激励下的强迫振动任意周期激励任意周期激励F(t)均可展开为傅立叶级数，由于均可展开为傅立叶级数，由于振动系统是线性的，所以可利用叠加原理将响应振动系统是线性的，所以可利用叠加原理将响应叠加起来。叠加起来。)sincos