测量误差基本知识第三章

1、数字测图原理与方法数字测图原理与方法电子教案第三章 测量误差基本知识数字测图原理与方法数字测图原理与方法武汉大学测绘学院退出数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章测量误差基本知识测量误差基本知识 退出3.1 观测误差的分类3.2 衡量精度的标准3.3 算术平均值及观测值的中误差3.4 误差传播定律3.5 加权平均值及其精度评定3.6 间接平差原理数字测图原理与方法数字测图原理与方法3.1 观测误差的分类第第3章章测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1.13.1.1测量误差产生的原因测量误差产生的原因 测量中真值与观测值之差称为误差，严格意义上讲应称为真误差。在实际工作中真值不易测定，

2、一般把某一量的准确值与其近似值之差也称为误差。产生测量误差的原因，概括起来有以下三个方面： 人的原因人的原因 （观测误差）仪器的原因仪器的原因 外界环境的影响外界环境的影响 人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个方面综合起来称为观测条件。凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测” 。 数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类3.1.2 3.1.2 测量误差的分类与处理原则测量误差的分类与处理原则 测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为系统误差、偶

3、然误差和粗差三类。 3.1.2.1 3.1.2.1 系统误差系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 （积累性、规律性积累性、规律性）3.1.2.2 3.1.2.2 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都 不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。3.1.2.33.1.2.3 粗差（粗差（错误错误）由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差。（记录错、读数错、记录错、读数错、计算错计算错）3.1.2.43.1.2

4、.4 误差处理原则误差处理原则观测者认真负责和细心地作业，粗差是可以避免的。（往返测、双面尺测量等）为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，要进行“多余观测”。采用一定的观测方法观测方法或对观测值加改正数加改正数的方法，可消除或削弱系统误差的影响。数字测图原理与方法数字测图原理与方法3.1.3 偶然误差的特性偶然误差的特性 第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类设在相同的观测条件下，对未知量观测了n 次，观测值为L1,L2,Ln ,未知量的真值为X，则观测值的真误差为： i=X Li （i=1,2,3,n）例：在相同的观测条件下，独立地观测了 358

5、 个三角形的全部内角，设三角形内角和的真值为 x， 三角形内角和的观测值为Li， 则三角形内角和的真误差（三角形闭合差）为； i=X Li （i=1,2,3,358）计算每个三角形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间d=3进行误差个数k的统计，并计算其相对个数kn（n358），kn 称为误差出现的频率。偶然误差的统计见误差分布表。 数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类误差区间 d 负误差正误差误差绝对值KK/nKK/nKK/n03450.126460.12891

6、0.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810003.1.3.1 误 差 分 布 表数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类3.1.3.2 频率直方图形象直观地描述误差分布情况。横坐标

7、表示误差的大小；纵坐标表示误差出现于各个区间的频率除以区间的间隔值， 即 。每一误差区间上的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频率。dni/数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类3.1.3.3 偶然误差的特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（误差范围）（误差范围）（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；（分布规律）（分布规律） （3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；（符号规律）（符号规律）（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即 0limnn数字测图原

8、理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类在观测次数 n 的情况下，如果把误差区间间隔无限缩小，则频率直方图中各长方条顶边所形成的折线将变成一条光滑的曲线，称为误差分布曲线或正态分布曲线 。3.1.3.4 误差分布曲线数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.1 观测误差的分类3.1.3.5 概率密度函数在概率论中，描绘正态分布（或高斯分布）的数学方程式称为正态分布的概率密度函数：式中参数 是观测误差的标准差。nn2lim2nnlim标准差为 ：标准差的平方2为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：

9、 标准差是误差分布曲线拐点的横坐标值。目录数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识精度是指一组观测值误差分布的密集或离散的程度。3.2 衡量精度的标准数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.2 衡量精度的标准 nnlim一组观测误差所对应的标准差的大小，反映了该组观测结果的精度。3.2.1 中误差 测量工作中，观测个数 n 总是有限的。当 n 为有限值时，只能得到的估值，常用 m表示，即nm 称标准差的估值m为中误差。菲列罗公式菲列罗公式一组等精度观测值具有相同的中误差。在计算中误差m时应取23位有效数字，并

10、在数值前冠以号，数值后写上“单位”。数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.2 衡量精度的标准 3.2.2 相对误差 例如:丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为： m1=20mm ； m2=20mm，此时,衡量精度应采用相对中误差，它是中误差绝对值与观测值之比。5000011000000201k4000180000202kK1K2，可见L1的量距精度高于L2。相对误差相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为1的分数形式，通常用K表示。即用 表示。N1数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章

11、 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.2 衡量精度的标准 3.2.3 极限误差 根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在以下区间的概率分别为： P（-m+m）68.3%P（-2m+2m）95.5%P（-3m+3m）99.7%大于三倍标准差的观测误差出现的概率只有0.3%，是小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。通常以3 倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差。即限=3m。一般进行的测量次数有限，大于2倍中误差的误差应该很少遇到，因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”，简称“限差”，即允= m 极= 3m现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。目录数字测图原

12、理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识3.3 算术平均值及观测值的中误差 3.3.1 算术平均值 在相同的观测条件下，对某未知量进行n 次观测，观测值分别为l1，l2, ，ln 求该未知量的最或然值？设未知量的真值为X， 则观测值的真误差为：nnlXlXlX2211nlXn0limnn根据偶然误差的第（4）特性 当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。当观测次数有限时，算术平均值最接近真值，又称“最或然值”。 在计算时，不论观测次数多少均以算术平均值作为未知量的最或然值不论观测次数多少均以算术平均值作为未知量的最或然值。nlX数字测图原理与方法

13、数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.3 算术平均值及观测值的中误差 3.3.2 观测值的改正值 算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。 nnlxvlxvlxv2211可以证明，一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。 3.3.3 按观测值的改正值计算中误差 1nvvm（白塞尔公式白塞尔公式） 下式是按观测值的改正值计算观测值中误差的公式 。 0v将上列等式相加，得 又 nlXlnxv数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.3 算术平均值及观测值的中误差 1nvvmnnlxvlxvlxv22113.3.4

14、等精度观测直接平差步骤1. 计算算术平均值2. 计算观测值的改正值3.计算观测值的中误差 0v检核nlnlllxn21目录数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识3.4 误差传播定律问题测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值按一定的函数关系间接计算出来，即某些量是观测值的函数。如何根据观测值的中误差求得观测值函数的中误差呢？定义阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。3.4.1 观测值的函数 1.和差函数 nxxxZ212.倍函数 mxZ 3.线性函数 nnxkxkxkZ22114.般函数 ),(21nxxxfZ数字测图原

15、理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.4 误差传播定律3.4.2 一般函数的中误差 设有一般函数： Z= f（x1，x2，xn） （3-26）式中 xi 为独立观测值，其中误差为 mi ，（i=1，2，n），求 z 的中误差？对（3-26）式求全微分，并以真误差的符号“”替代微分的符号“d”，得nxnxxzxfxfxf21212222222121nnZmxfmxfmxfm对上式以中误差平方替代真误差并开方，得 上式为误差传播定律的一般形式。其他函数，如线性函数、和差函数、倍函数等，都是上式的特例。 nxnxxzdxfdxfdxfd2121数字测图原理与方法

16、数字测图原理与方法求观测函数中误差的步骤求观测函数中误差的步骤（1）列出函数式）列出函数式（2）对函数式求全微分）对函数式求全微分（3）套用误差传播定律，写出中误差式）套用误差传播定律，写出中误差式 例题例题 已知某矩形长已知某矩形长a=500m,a=500m,宽宽b=440m,b=440m,边长测量时中误差为边长测量时中误差为1/40001/4000，求矩形面积的中误差求矩形面积的中误差mp.mp.解： ma=500(1/4000)=0.125m mb=440(1/4000)=0.11m面积公式：p=ab求全微分：dp=bda+adbmmambmbap78.776050)11. 0500()

17、125. 0440(222222数字测图原理与方法数字测图原理与方法1.1.倍函数倍函数设有函数式 Z=KX （x为观测值，k为观测值的系数） 全微分 dz=kdx 几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差例题：量得例题：量得1:10001:1000地形图上两点间长度地形图上两点间长度L=168.5mmL=168.5mm0.2mm,0.2mm,计计算该两点实地距离算该两点实地距离S S及中误差及中误差ms.ms.解：列函数式 s=1000l 求全微分 ds=1000dl 中误差式 ms=1000ml=1000*0.2=200mm=0.2m 故 S=168.51000=168.5m0.2m xx

18、zkmmkm22数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.4 误差传播定律2.2.线性函数线性函数设有线性函数： nnxkxkxkZ2211式中k1,k2,，kn为任意常数，x1，x2,，xn为独立变量，其中误差分别为m1，m2,，mn。 ,2211nnkxfkxfkxf按照误差传播定律的一般形式 得到线性函数的中误差： 22222212111nxmnmnmnm2222222121nnzmkmkmkm对某一个量进行n次等精度观测，其算术平均值的中误差为：数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.4 误差传播

19、定律若是等精度观测，则m1=m2=mn=m，m为观测值的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中误差的公式： ) 1(nnvvnmmx （3-30） 由此可见，算术平均值的中误差是观测值中误差的。因此，对于某一量进行多次等精度观测而取其算术平均值，是提高观测成果精度的有效方法。 n1数字测图原理与方法数字测图原理与方法3.3.和差函数中误差和差函数中误差设有线性函数： nxxxZ21x1，x2,，xn为独立变量，其中误差分别为m1，m2,，mn。 则和差函数的中误差为： 222212xnxxzmmmm例1：h=a-b22222mmmmbahmmh2例2：C=180-A-B22222m

20、mmmBACmmC2数字测图原理与方法数字测图原理与方法3.5加权平均值及其精度确定现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35，,13.39,123.32各组的平均值：360.123al333.123bl356.123cl3 cballlx?x数字测图原理与方法数字测图原理与方法 加权平均数CBACCBBAACBAPPPlPlPlPllllllllllllx54354312).()()( 1287654321各组的平均及权A组： 权PA=3B组： PB=4

21、C组： PC=5 360.123al333.123bl356.123cl数字测图原理与方法数字测图原理与方法数字测图原理与方法数字测图原理与方法3.5.1 不等精度观测及观测值的权 在测量实践中，除了等精度观测以外，还有不等精度观测。例如，有一个待定水准点，需要从两个已知点经过两条不同长度的水准路线测定其高程，则从两条路线分别测得的高程是不等精度观测，不能简单地取其算术平均值，并据此评定其精度。这时，就需要引入“权”的概念来处理这个问题。“权”的原来意义为秤锤，此处用作“权衡轻重”之意。某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差m越小），其权应越大。测量误差理论中，以P表示权，并定义权与中误差

22、的平方成反比： 2iimCP （3-38） 式中，C为任意正数。权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用或 表示。因此，权的另一种表达式为0m0220iimmP （3-39） 数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.5 加权平均值及其精度评定 3.5.2 加权平均值对某一未知量，L1，L2，Ln为一组不等精度的观测值，其中误差为m1，m2，mn，其权为P1，P2，Pn。可按下式求其加权平均值，作为该量的最或是值： PPLPPPLPLPLPxnnn212211（3-45） 根据同一量的n次不等精度观测值，计算其加权平均值x后，用下式计算观测值的改正值

23、nnLxvLxvLxv2211(3-48)不等精度观测值的改正值还满足下列条件： 0)(PLxPLxPPv（3-51） 数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.5 加权平均值及其精度评定 3.5.3 加权平均值的中误差 （3-50）式可以写成线性函数的形式： nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPmiiPmm202 222210PPPPPPmmnx Pmmx0加权平均值的权即为观测值的权之和。 PPx（3-52）（3-53）数字测图原理与方法数字测图原理与方法 3.5.4 单位权中误差的计算 第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.5 加权平均值及其精度评定 根据一组对同一量的不等精度观测值，可以计算该类观测值的单位权中误差。 220iimPm 在观测量的真值未知的情况下，按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式： 对于同一量有n个不等精度观测值，则 21120mPm 22220mPm 220nnmPm 取其总和，得 nPmmnPmm22010nPvvm（3-56）数字测图原理与方法数字测图原理与方法第第3章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 3.5 加权平均值及其精度评定 PPLPPPLPLPLPxnnn2122110Pv2