圆锥曲线练习试题及详细答案

1、圆锥曲线归纳总结forYuri第sin?v-cosh部分：知识储备直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k=tan0,二) 点到直线的距离“筝芳 夹角公式：tan口=k?一kl+k2k(3) 弦长公式直线y=kxb上两点Ay),B(X2,y2)间的距离:AB=Ji+k2为x2=.(1k2)(xX2)2-4为X2(4) 两条直线的位置关系 h_丨2=k1k2=-1lj/l2=&=k2且0=b22、圆锥曲线方程及性质椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：=1(m0,n0且m=n)mn距离式方

2、程：(xc)2y2x(x-c)2y2=2a参数方程：x=acosv,y=bsin：(1) 双曲线的方程的形式有两种22标准方程：=1(mn0)mn距离式方程：|(x-c)2y2-_(x-c)2y2=2a三种圆锥曲线的通径椭圆：竺；双曲线：竺；抛物线：2paa圆锥曲线的定义黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！(5) 焦点三角形面积公式：0P在椭圆上时，S号PF2二b2taP在双曲线上时，SFPF-b2cot|PF2+PF2_4c2rLT(其中.F1PF2-),cos12,PFiLPF2=PFiPF2cos)PFiPF2(6) 记住焦半径公式：椭圆焦点在时为a二ex()，焦点在y轴上时为a-ey0

3、 双曲线焦点在x轴上时为ex0_a 抛物线焦点在x轴上时为沧卫，焦点在y轴上时y0卫23333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第fsinxdx部分：三道核心例题例1.椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,例1.椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且AFFB=1OF(1) 求椭圆的标准方程;(2) 记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线

4、I的方程；若不存在，请说明理由分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心(小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？)的处理。由待定系数法建立方程求解。22解(1)建立坐标系，设椭圆方程为x2=1(ab0),由OF=1得c=1ab22又AFFB=1即(a+c)，(ac)=1=a-c/.a=22X2易得b=1,故椭圆方程为-yy=1(2)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为.PQM的垂心,设P(X1,yJ,Q(X2,y2)，-M(0,1),F(1,0)，故kPQ=1,1y=x+m22于是设直线I为y=xm，由22得,3x4mx2m-2=0又yXm(i=1,2)(X+2y=2MPFQ=0=为区-1)

5、y2(y1-1)得x1(x2-1)(x2m)(xm-1)=0即22x2化x2)(m-1)m-m=0由韦达定理得2m2-23阿0-1)m2344解得或m十舍)经检验心飞符合条件例2已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m=0)，l交椭圆于A、B两个不同点。(1) 求椭圆的方程；(2) 求m的取值范围；(3) 求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。分析：小黄同学，直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成k1022解：(“设椭圆方程为卡計(ab0)a=2br"2

6、a=8b2=222椭圆方程为乞丄=182(2)v直线|平行于0M，且在y轴上的截距为m11又KOM二一.l的方程为：y二x，m221+y=x+m由*222二x2+2mx+2m2一4=0xy+=1.82直线l与椭圆交于AB两个不同点,.:=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2：m：2,且m=0(3)设直线MAMB的斜率分别为k1,k2，只需证明匕+匕=0即可设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2二-2m,xm2二2m24则=,k2X2y2-一X?2由x22mx2m2-4=0可得由x22mx2m2-4=0可得2x1x2-2m,x1x2m-4而k1k2而k1k2y1-1.y2-1X-2

7、X?-2(y1-D-(x2-2)(y2-1)(x1-2)(X1-2)(X2-2)11(尹15-1)区-2)(-11(尹15-1)区-2)(-x2m-1)(%-2)(%-2)(X2-2)%x2(m2)(x1x2)-4(m-1)(X12)(X22)22m_4(m_2)(_2m)_4(m_1)(人-2)(X2-2)222m-4-2m4m-4m4(x2)(X2-2)故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形例3.已知三角形ABC勺三个顶点均在椭圆4x25y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2) 若角A为90

8、0，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”(小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？)，禾U用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB丄AC,从而得x/2yAy214(%y?)-16=0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程。解:(1)设B(%,yj，C(x2,y?)，BC中点为(x°,y°)，焦点为F(2,0)，则有2222人+%=1X2+y220162016两式作差有(x1+x2)(x1X2)十(力一y2)(y1+y2)_0整理得2016_，整、善晋=0(其中k为点弦BC的斜率)(

9、1)又F(2,0)为三角形重心，所以由宁=2，得x°=3由Yiy_4=0得y°-_2，代入(1)得k=-，从而得到5直线BC的方程为6x-5y-28=0(2)由AB丄AC得(2)由AB丄AC得XXy°2-14(y1y2)16=0(2)设直线BC方程为y=kxb,代入4x25y2=80，得222(45k)x10bkx5b-80=0又由韦达定理有X1X2-10kb45k2X1X225b-8045k与直线方程结合，易得y18k45k2224b-80k45k2解得b=4(舍)或b-*49代入(2)式得29b-32b-164y+直线过定点（0,4），设D（x,y），则9红/

10、二-1，即9y29x232y_16=09xx所以所求点D的轨迹方程是x2（y一16）2=（空）2（y=4）。9977777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777第limxf：1部分：七种常见题型X01、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（x1,y1）>（X2,y2），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况），消去参数。22例如：设Ax

11、yi、Bx2,y2，Ma,b为椭圆11的弦AB中点则有4322222222乞上=1，空.竺=1；两式相减得亠亘=0434343捲一X2捲X2力一y2力y2|3an=Kab=一434b22归纳：（1）椭圆令，£=13b0）与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M（x°,y°），ab则有第马k=0。ab22（2）双曲线笃与=1（a0,b0）与直线l相交于AB,设弦AB中点为a2b2M（x。，y。），则有第-書k=0。ab（3）抛物线y2=2px（p-0）与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M（x°,y°），则有2y°k=2p，即y°

12、;k=p。2典型例题给定双曲线X21，过A的直线与双曲线交于两点R及卩2，2求线段PP2的中点P的轨迹方程。2、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点Fi、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。22典型例题设P(x,y)为椭圆务笃-1上任一点，Fi(-c,O)，F2(c,0)为焦点,ab.PF1F2»，PF2R=-o(2)求|PFi|3-PF2I3的最值(1)求证离心率e二少L；sina+sinP3、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过

13、图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2=p(x1)(p0)，直线xy=t与x轴的交点在抛物线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且O从OB求p关于t的函数f(t)的表达式。4、圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。处理思路1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程

14、消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px（p0），过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点AB，AB岂2p。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点叫求厶NAB面积的最大值。5、求曲线的方程问题（1）曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决典型例题已知直线已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1,0）和点B（0,8）关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。(2)曲线的形状未知典型例题求轨迹方程已知直角坐标平面上点Q2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长|MN|与|MQ|的比等于常数(>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。NOQ6存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)22典型例题已知椭圆C的方程才1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4xm，椭圆C