西南大学年《数学分析选讲》第三次作业

1、2016年西南大学数学分析选讲第三次作业一、判断下列命题的正误1.若函数 f (x) 在点 x0 处的左、右导数都存在，则f ( x) 在 x0处必连续 .（正确）2.若 f ( x) 在 x0 处可导，则f (x) 在 x0 处可微（正确）3.若两个函数在区间 I上的导数处处相等, 则这两个函数必相等.（错误）4.若 f ( x) 是可导的偶函数，则f (0)0 .（正确）5若 x0(a,b) 是 f (x) 的导函数的间断点，则 x0是 f( x) 的第二类间断点 .（正确）6.若 f( x ) 0, f (x0)0 ，则 x0一定是f ( x)的极值点 .0二、选择题1设 f 是奇函数，

2、且 limf ( x)0 ，则 （ A）x0xAyf ( x) 在 x0 的切线平行于x 轴；Bx0 是 f 的极大值点；Cx0 是 f 的极小值点；Dyf ( x) 在 x 0 的切线不平行于x 轴2设f ( x) (xa)( x) ，其中( x) 在 xa 处连续但不可导，则f ( a)（A）A(a) ；B(a) ；C(a) ；D不存在3设 f 可导，则d f (sec x)（B）Af (secx)sec2 x dx；Bf (sec x)sec xtan xdx ；Cf (sec x)sec xdx ；Df(secx) tan2 xdx4设函数 f (x) 可导且下列极限均存在，则不成立的

3、是（B）Alimf ( x)f (0)f(0)；Blimf ( x02h)f ( x0 )f( x0 ) ；x0xh 0hClimf ( x0h)f ( x0h)f(x0 ) ； Dlim f (x0 )f ( x0h)f(x0 )h02hh0h5设 f ( x) x ln x ，且 f (x0 ) 2， 则 f ( x0 )（C）2； Be；Ce；D1A2e6. 已知 y ef x，则 y=（C）Ae f ( x)f ( x) ； Be fx； Ce f (x )f (x)2f( x)； De f (x) f( x)f( x)7下列结论中正确的有（D）A如果点 x0 是函数 f ( x) 的

4、极值点，则有f ( x0 ) 0 ；B如果 f ( x0 ) 0 ，则点 x0必是函数 f( x) 的极值点；C 函数 f ( x) 在区间 (a,b) 内的极大值一定大于极小值；D 如果点 x0 是函数 f ( x) 的极值点，且f ( x0 ) 存在，则必有 f ( x0 ) 08设 f ( x) 可导，则 limf 2 (xx)f 2 (x)（B）x0xA 0；Bf (x) ；C2 f ( x) ；D2 f ( x)f (x)三、计算题1已 知 yx21ln( xx21) ， 求 d y .解：.dy =dx2dy2设 yln( xx1) ， 求解：dydx=x2x11可导 .3设 f ( x)x，试确定 a ， b 的值，使 f 在 xax b1解：要使在可导，在必连续，于是必左连续.，从而.在的右导数.左导数为只要，则在4求极限lim ( 11)x 0 xex1解：，的左导数与右导数相等，从而可导. 这时.四、证明题证明：方程4ax 33bx22cxabc 在 (0,1) 内至少有一个实根。证：令 f(x)=ax?+bx3+cx 2-(a+b+c)xf(x)在 0,1上连续 , 在 (0,1) 内可导f(0)=f(1)=0由罗尔定理 , 至少存在一点(0,1),使得f&