2008年中考数学试题按知识点分类汇编（二次函数和抛物线概念、描点法画二次函数图象、顶点和对称轴）

1、知识点7：二次函数和抛物线有关概念，描点法画出二次函数的图象，抛物线顶点和对称轴一、选择题1.2021年浙江省衢州市把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( )A、 B、 C、 D、答案：D2(08浙江温州)抛物线的对称轴是 A直线B直线C直线D直线答案：A3.(2021年沈阳市)二次函数的图象的顶点坐标是 ABCD答案：A4.2021年陕西省二次函数其中，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧以上说法正确的个数为 A0B1C2D3答案：C5.2021年吉林省长春市抛物线的顶点坐标是 【 】A.2，3 B.2，3 C.

2、2，3 D.2，3答案：A6.(2021 湖北 荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x3x5，那么 ( ) (A) b=3,c=7(B) b=6,c=3(C) b=9,c=5(D) b=9,c=21答案：A7.(2021 河北)如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直假设小正方形的边长为，且，阴影局部的面积为，那么能反映与之间函数关系的大致图象是 答案：D82021江西函数化成的形式是 ABCD答案：A9.2021佳木斯市对于抛物线，以下说法正确的选项是 A开口向下

3、，顶点坐标B开口向上，顶点坐标C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标答案：A10.2021贵州贵阳)二次函数的最小值是 A BCD答案：B11.2021资阳市 在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )Ay2(x2)2 + 2By2(x + 2)22Cy2(x2)22Dy2(x + 2)2 + 2答案：B122021泰州市二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，以下平移正确的选项是A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D先

4、向右平移2个单位，再向下平移1个单位答案：B132021山西省抛物线经过平移得到，平移方法是 A向左平移1个单位，再向下平移3个单位B向左平移1个单位，再向上平移3个单位C向右平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向上平移3个单位答案：D14.将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 答案：A15.2021湖北武汉函数的自变量的取值范围. 答案：C16.2021湖北孝感把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的解析式为 A. B. C. D. 答案：D17.(2021 台湾)如图坐标平面上有一透明片，透明片上有一拋物

5、线及一点P，且拋物线为二次函数y=x2的图形，P的坐标(2,4)。假设将此透明片向右、向上移动后，得拋物线的顶点座标为(7,2)，那么此时P的坐标为何？( ) (A) (9,4) (B) (9,6) (C) (10,4) (D) (10,6)答案：B18. 2021甘肃兰州以下表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是 AB CD答案：C19. 2021江苏镇江福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数为常数的图象如左图，如果时，；那么时，函数值 ABCD 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是 贝贝：我注意到当时，晶晶：我发现图象的对称轴为欢欢：我判

6、断出迎迎：我认为关键要判断的符号妮妮：可以取一个特殊的值答案：C20. (2021湖北仙桃等) 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点3，0，那么的值为 A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 答案：A21. 2021齐齐哈尔对于抛物线，以下说法正确的选项是 A开口向下，顶点坐标B开口向上，顶点坐标C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标答案：A22.2021齐齐哈尔对于抛物线，以下说法正确的选项是 A开口向下，顶点坐标B开口向上，顶点坐标C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标答案：A二、填空题1.2021湖北黄冈假设点在第一象限，那么的取值范围是 ；直线经过点，那么 ；抛物线的对称轴为直线

7、答案：K>1;1; X=22.(2021年天津市)抛物线，假设点，5与点关于该抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是 答案：4，53.(2021年天津市)关于x的函数同时满足以下三个条件：函数的图象不经过第二象限；当时，对应的函数值；当时，函数值y随x的增大而增大你认为符合要求的函数的解析式可以是： 写出一个即可答案： 提示：答案不惟一，如等4.(2021年大庆市)抛物线的顶点坐标是 答案：(0,1)5.2021年四川省南充市根据下面的运算程序，假设输入时，输出的结果 答案：6.2021年吉林省长春市将抛物线向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，那么原抛物线的顶点坐标是 。答案：，

8、7初三数学课本上，用“描点法画二次函数的图象时，列了如下表格：012根据表格上的信息答复以下问题：该二次函数在时， 答案：82021 江西南昌将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 答案：y=-3x2+192021山西省二次函数的图象的对称轴是直线 。答案：10. 2021山西太原抛物线的顶点坐标是 。答案：1，111.2021湖北襄樊如图7，一名男生 男生铅球，铅球行进高度y单位：m与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=,那么他将3将推出的距离是_ . 答案：1012.(2021 河南实验区)如图是二次函数图像的一局部，该图在轴右侧与轴交点的坐标是 答案：1，0132021湖北省

9、咸宁抛物线与轴只有一个公共点，那么的值为 答案：813.2021年白银抛物线 y=x2+x-4与y轴的交点坐标为 答案：(0，-4)14. 2021甘肃兰州在同一坐标平面内，以下4个函数，的图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 填序号答案：三、简答题1.(2021淅江宁波)如图，中，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点1求点的坐标2假设抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式解：1在中，且，点的坐标为1分设抛物线的对称轴与轴相交于点，那么，2分点的坐标为4分2由抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为，5分把代入上式，解得6分设平移后抛物线的解析式为把代入上式

10、得7分平移后抛物线的解析式为8分即22021湖南益阳我们把一个半圆与抛物线的一局部合成的封闭图形称为“蛋圆，如果一条直线与“蛋圆只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆与坐标轴的交点，点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆抛物线局部的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆切线的解析式.解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；那么设抛物线的解析式为(a0) 又点D(

11、0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 y=x2-2x-33分自变量范围：-1x34分 解法2：设抛物线的解析式为(a0) 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ，解之得：y=x2-2x-33分自变量范围：-1x34分 (2)设经过点C“蛋圆的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在RtMOC中，OM=1，CM=2，CMO=60°,OC= 在RtMCE中，OC=2，CMO=60°，ME=4 点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分切线CE的解析式为8分(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆切线的解析式为：y=

12、kx-3(k0) 9分 由题意可知方程组只有一组解 即有两个相等实根，k=-211分 过点D“蛋圆切线的解析式y=-2x-312分3.2021浙江杭州在直角坐标系中，设点，点平移二次函数的图象，得到的抛物线满足两个条件：顶点为；与轴相交于两点连接1是否存在这样的抛物线，使得？请你作出判断，并说明理由；2如果，且，求抛物线对应的二次函数的解析式解：1这样的抛物线F是不存在的。假定这样的抛物线F存在，因为顶点为Q，而且F是由平移的得到的，所以F的关系式为，化简得根据二次函数和一元二次方程的关系，函数y图像与x轴的交点B,C的横坐标等于方程的两个根，设这两个根为x1 ，x2 ，那么x1·x

13、2=，OA2 =t2, OB·OC=，假设二者相等的话，b=0，这样Q就在x轴上，抛物线F不可能与x轴有两个交点B，C.和假定产生矛盾，所以这样的抛物线F是不存在的。2AQBC Q点纵坐标和A点纵坐标相同。 即Q(t，t) tanABO=.OA=t OB= F是由平移得到，顶点为Q(t，t)，所以关系式为 把B点坐标，0代入关系式得，解得t1=0舍去，t2=-3舍去，t3=3，把t=3代入原关系式得抛物线F的关系式为4.(2021年浙江省绍兴市)定义为一次函数的特征数1假设特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；2设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的

14、一次函数的特征数解：1特征数为的一次函数为，2抛物线与轴的交点为，与轴的交点为假设，那么，；假设，那么，当时，满足题设条件此时抛物线为它与轴的交点为，与轴的交点为，一次函数为或，特征数为或5.2021年四川巴中市王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中m是球的飞行高度，m是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m1请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴2请求出球飞行的最大水平距离3假设王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，那么球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 解：11分抛物线开口向下，顶点为，对称轴为3分2令，得：4分解得：

15、，5分球飞行的最大水平距离是8m6分3要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，那么球飞行的最大水平距离为10m抛物线的对称轴为，顶点为7分设此时对应的抛物线解析式为8分又点在此抛物线上，9分 10分62021年江苏省南通市点A2，c向右平移8个单位得到点A，A与A两点均在抛物线上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为6，求这条抛物线的顶点坐标.解：由抛物线与y轴交点的纵坐标为6，得c6.A2，6，点A向右平移8个单位得到点A6，6A与A两点均在抛物线上，解这个方程组，得故抛物线的解析式是抛物线顶点坐标为2，107.2021年山东省枣庄市在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x

16、轴的负半轴交于点B，且1求点A与点B的坐标；2求此二次函数的解析式；3如果点P在x轴上，且ABP是等腰三角形，求点P的坐标解：1由解析式可知，点A的坐标为0，4 1分，BO=3 点B的坐标为-3，0 分2把点B的坐标-3，0代入，得 解得 4分所求二次函数的解析式为 5分3因为ABP是等腰三角形，所以当AB=AP时，点P的坐标为3，0 6分当AB=BP时，点P的坐标为2，0或-8，0 8分当AP=BP时，设点P的坐标为x，0根据题意，得解得 点P的坐标为，0 10分综上所述，点P的坐标为3，0、2，0、-8，0、，0 8.(2021 河南)如图，直线y=和x轴、y轴的交点分别为B，C。点A的坐

17、标是2,0（1） 试说明ABC是等腰三角形；（2） 动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t秒时，MON的面积为s。 求s与t的函数关系式； 当点M在线段OB上运动时，是否存在s=4的情形？假设存在，求出对应的t值；假设不存在，说明理由； 在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值。解：1将y=0代入y=,得到x=3,点B的坐标为3,0；将x=0,代入y=,得到y=4, 点C的坐标为0,4 2分在RtOBC中，OC4，OB3，BC5。又A2,0，AB5，ABBC，ABC是

18、等腰三角形。4分2AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动。过点N作NDx轴于D，那么NDNBsinOBC， 当0t2时如图甲OM2t,s= 7分当2t5时如图乙，OMt2,s= 8分注：假设将t的取值范围分别写为0t2和2t5,不扣分 存在s4的情形。当s4时，4解得t1=1+, t2=1-秒。10分 当MNx轴时，MON为直角三角形，MBNBCOSMBN，又MB5t.=5-t, t= 11分当点M，N分别运动到点B，C时，MON为直角三角形，t=5.故MON为直角三角形时，t=秒或t5秒129.(2021 湖北 十堰)抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C

19、直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点，使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由 解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 当时， 存在理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4点M的坐标为当以AB为对角线时，点M在x轴

20、下方过M作MNAB于N，那么MNBAOC90°四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为10.(2021 湖南 怀化)如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点1求出直线AB的函数解析式；2假设有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；3设2中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说

21、明理由解：1设AB的函数表达式为 直线AB的函数表达式为2设抛物线的对称轴与M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，因为M经过O、A、B三点，且M的直径，半径MA=5，N为AO的中点AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C点的坐标为-4，2设所求的抛物线为那么所求抛物线为 3令得D、E两点的坐标为D-6，0、E-2，0，所以DE=4又AC=直角三角形的面积假设抛物线上存在点当故满足条件的存在它们是11.(2021 四川 广安)如图，抛物线经过点1，-5和-2，41求这条抛物线的解析式2设此抛物线与直线相交于点A，B点B在点

22、A的右侧，平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长用含的代数式表示3在条件2的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面积S最大？假设存在，请求出的值，假设不存在，请说明理由解：1由题意得 解得b2，c4 此抛物线的解析式为：yx22x422由题意得解得点的坐标为(4，4)将xm代入yx条件得ym点的坐标为m , m同理点的坐标为m , m22m4 ，点的坐标为(m , 0 )PNm ,MP| m22m4 |MNPNMP(3)作BCMN于点C ，那么BC4m ，OPm=20当时，有最大值12.(2021 湖北 荆门)抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在

23、x轴上，与y轴的交点为B0，1，且b=4ac (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？假设不存在说明理由；假设存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1 又b=-4ac, 顶点A(-,0), -=2c=2A(2,0) 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ， 解得a =,b =-1. 故抛物线的解析式为y=x2-x+1 另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1又b2-4ac=0, b=-

24、4ac，b=-1 a=,故y=x-x+1 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 作CDx轴于D ,连接AB、ACA在以BC为直径的圆上,BAC=90° AOBCDA OB·CD=OA·AD 即1·y=2(x-2)， y=2x-4 由  解得x1=10,x2=2 符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0) P为圆心，P为BC中点 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 ,那么PP1为梯形OBCD中位线PP1=(OB+CD)=D (10,0),P1 (5,0),P (5, ) 当点C坐标

25、为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 ,那么PP2为OAB的中位线PP2=OB=A (2,0),P2(1,0), P (1,)故点P坐标为(5, ),或(1,)(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3)，由(2)可知： 13(2021北京)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点1求直线及抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；3连结，求与两角和的度数解：1沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，设直线的解析式为在直线上，解得直线的

26、解析式为 抛物线过点，解得抛物线的解析式为2由可得，可得是等腰直角三角形，如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，过点作于点可得，在与中，解得点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或3如图2，作点关于轴的对称点，那么连结，可得，由勾股定理可得，又，是等腰直角三角形，即与两角和的度数为1408厦门市：抛物线经过点1求的值；2假设，求这条抛物线的顶点坐标；3假设，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式提示：请画示意图思考解：1依题意得：，2分3分2当时，4分抛物线的顶点坐标是6分3当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且9分10分又，11分抛物线

27、所对应的二次函数关系式12分解法2：3当时，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且9分10分又，解得：11分这条抛物线对应的二次函数关系式是12分解法3：3，7分轴，8分即：解得：，即10分由，11分这条抛物线对应的二次函数关系式12分15.2021佛山 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一局部和矩形的一局部构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；(3) 假设要搭建一个矩形“支撑架AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，那

28、么这个“支撑架总长的最大值是多少？解：(1) M(12，0)，P(6，6). 2分(2) 设此函数关系式为：. 3分函数经过点(0，3)，即. 4分此函数解析式为：.5分(3) 设A(m，0)，那么B(12-m，0)，C，D . 7分“支撑架总长AD+DC+CB = = . 9分 此二次函数的图象开口向下. 当m = 0时，AD+DC+CB有最大值为18. 10分16.08江苏盐城如图，直线经过点，且与轴交于点，将抛物线沿轴作左右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为1求的度数；2抛物线与轴交于点，与直线交于两点，其中一个交点为，当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数关系式；3在抛物线平移过程中，

29、将沿直线翻折得到，点能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点的坐标；如不能，说明理由解：(1)点B在直线AB上,求得b=3,直线AB：, A，0，即OA=作BHx轴，垂足为H那么BH=2，OH=，AH= (2)设抛物线C顶点Pt，0，那么抛物线C：，E0，EFx轴，点E、F关于抛物线C的对称轴对称, F2t， 点F在直线AB上, 抛物线C为. (3)假设点D落在抛物线C上，不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，那么抛物线C:，AP=+ t，连接DP，作DMx轴，垂足为M由，得PABDAB，又BAO30°，PAD为等边三角形PM=AM， 点D落在抛物线C上， 当时，此时点P，点P与点A重

30、合，不能构成三角形，不符合题意，舍去所以点P为，0 当点D落在抛物线C上顶点P为，0.17.(2021年镇江)推理运算二次函数的图象经过点，1求此二次函数的关系式；2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点解：1设，1分把点，代入得2分解方程组得 3分也可设24分函数的顶点坐标为5分（3）518.2021泰州市二次函数y1=ax2bxca0的图像经过三点1，0，3，0，0，1求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；5分2假设反比例函数y2=x0的图像与二次函数y1=ax2bxca0的图像在第一象限内交于点A(

31、x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；4分3假设反比例函数y2=x0，k0的图像与二次函数y1=ax2bxca0的图像在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2x03，试求实数k的取值范围5分解：1设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)1分只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分将0，代入，解得a=.抛物线解析式为y=x2+x- 3分无论解析式是什么形式只要正确都得分画图略。没有列表不扣分5分2正确的画出反比例函数在第一象限内的图像7分由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。9分3由函数图像或函数性质可

32、知：当2x3时，对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= k0，y2随着X的增大而减小。因为AX0，Y0为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2y1，即×22+2-，解得K5。11分同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1y2，即×32+3，解得K18。13所以K的取值范围为5 K1814分19. 2021江苏盐城如图，直线经过点，且与轴交于点，将抛物线沿轴作左右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为1求的度数；2抛物线与轴交于点，与直线交于两点，其中一个交点为，当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数

33、关系式；3在抛物线平移过程中，将沿直线翻折得到，点能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点的坐标；如不能，说明理由解：(1)点B在直线AB上,求得b=3,直线AB：, A，0，即OA=作BHx轴，垂足为H那么BH=2，OH=，AH= (2)设抛物线C顶点Pt，0，那么抛物线C：，E0，EFx轴，点E、F关于抛物线C的对称轴对称, F2t， 点F在直线AB上, 抛物线C为. (3)假设点D落在抛物线C上，不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，那么抛物线C:，AP=+ t，连接DP，作DMx轴，垂足为M由，得PABDAB，又BAO30°，PAD为等边三角形PM=AM， 点D落在抛物线C上，

34、 当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去所以点P为，0 当点D落在抛物线C上顶点P为，0.20.2021年庆阳市一条抛物线经过点与1求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；2现有一半径为1、圆心在抛物线上运动的动圆，当与坐标轴相切时，求圆心的坐标；3能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线使与两坐标轴都相切要说明平移方法解：1 抛物线过两点， 解得 抛物线的解析式是，顶点坐标为 2设点的坐标为，当与轴相切时，有， 由，得；由，得此时，点的坐标为 当与轴相切时，有， 由，得，解得；由，得，解得此时，点的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为：，注：不写最后一步不

35、扣分3 由2知，不能 设抛物线上下平移后的解析式为,假设能与两坐标轴都相切，那么,即x0=y0=1；或x0=y0=-1；或x0=1，y0=-1；或x0=-1，y0=1 取x0=y0=1，代入，得h=1 只需将向上平移1个单位，就可使与两坐标轴都相切21.2021年陕西省如图，矩形的长、宽分别为和1，且，点，连接1求经过三点的抛物线的表达式；2假设以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍请在以下图网格中画出放大后的五边形；3经过三点的抛物线能否由1中的抛物线平移得到？请说明理由解：1设经过三点的抛物线的表达式为 ， 解之，得 过三点的抛物线的表达式为 3不能

36、理由如下：设经过三点的抛物线的表达式为，解之，得  ， 经过三点的抛物线不能由1中抛物线平移得到22. 2021上海市如图12，在平面直角坐标系中，为坐标原点二次函数的图像经过点，顶点为1求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；2如果点的坐标为，垂足为点，点在直线上，求点的坐标  解：1二次函数的图像经过点，得，2分所求二次函数的解析式为1分那么这个二次函数图像顶点的坐标为；2分2过点作轴，垂足为点在中，在中，又，可得2分过点作轴，垂足为点由题意知，点在点的右侧，易证其中，设点的坐标为，那么，假设点在的延长线上，那么得，所以点的坐标为；假设点

37、在线段上，那么得，所以点的坐标为综上所述，点的坐标为或5分23. (2021湖南株洲)如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1，-2，点B的坐标为3，-1，二次函数的图象为. 1平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式任写一个即可.2平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图2，求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.3设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.4请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 假设存在，请判断点Q共有几个可能的位置保存作图痕迹；假设不存在，请说明理由. 解:1等 满足条件即可 2设的解析式为，

38、联立方程组，解得：，那么的解析式为， 点C的坐标为 3如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，那么，.得：. 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，那么点G的坐标为0，设点P的坐标为0，当点P位于点G的下方时，连结AP、BP，那么，又，得，点P的坐标为0，. 6分当点P位于点G的上方时，同理，点P的坐标为0，.综上所述所求点P的坐标为0，或0， (4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有、，共4个可能的位置. 24.2021年江苏省无锡市抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于1求这条抛物线的函数关系式；2设直线交轴于是线段上

39、一动点点异于，过作轴交直线于，过作轴于，求当四边形的面积等于时点的坐标 解：1由题意，知点是抛物线的顶点，2分 ，抛物线的函数关系式为3分 2由1知，点的坐标是设直线的函数关系式为，那么，由，得，点的坐标是设直线的函数关系式是，那么解得，直线的函数关系式是 设点坐标为，那么轴，点的纵坐标也是设点坐标为，点在直线上， 轴，点的坐标为， ，当时，而，点坐标为和9分25. 2021 四川 泸州如图11，二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；点E，且二

40、次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；当时，求四边形PCMB的面积的最小值。【参考公式：两点，那么线段DE的中点坐标为】解：1由，那么得，解得故函数解析式是：。由知，点M1，4。2由点E在正比例函数的图像上得，故，由解得D点坐标为，由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量的取值范围是。3解得，点D、E坐标为D、E，那么点P坐标为P由，知点P在第一象限。由点B，C，M1，4，得，那么整理，配方得。故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是。26. (2021 湖北 荆门)抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B0，1，且

41、b=4ac (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？假设不存在说明理由；假设存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1 又b=-4ac, 顶点A(-,0), -=2c=2A(2,0) 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ， 解得a =,b =-1. 故抛物线的解析式为y=x2-x+1 另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1又b2-4ac=0, b=-4ac，b=-1 a=,故y=x-

42、x+1 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 作CDx轴于D ,连接AB、ACA在以BC为直径的圆上,BAC=90° AOBCDA OB·CD=OA·AD 即1·y=2(x-2)， y=2x-4 由解得x1=10,x2=2 符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0) P为圆心，P为BC中点 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 ,那么PP1为梯形OBCD中位线PP1=(OB+CD)=D (10,0),P1 (5,0),P (5, ) 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 ,那么PP

43、2为OAB的中位线PP2=OB=A (2,0),P2(1,0), P (1,)故点P坐标为(5, ),或(1,)(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3)，由(2)可知： 27. (2021北京)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点1求直线及抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；3连结，求与两角和的度数解：1沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，设直线的解析式为在直线上，解得直线的解析式为 抛物线过点，解得抛物线的解析式为2由可得，可

44、得是等腰直角三角形，如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，过点作于点可得，在与中，解得点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或3如图2，作点关于轴的对称点，那么连结，可得，由勾股定理可得，又，是等腰直角三角形，即与两角和的度数为28.2021 山东 临沂如图，抛物线与x轴交于A1，0、B3，0两点，与y轴交于点C0，3。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？假设存在，求出符合条件的点P的坐标;假设不存在，请说明理由;假设点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。解：抛物线与y轴交于点C0，3，设抛物线解析式为根据题意，得，解得抛物线的解析式为存在。由得，D点坐标为1，4，对称轴为x1。假设以CD为底边，那么PDPC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y4x。又P点(x,y)在抛物线上，即解得，应舍去。，即