[其它]高数一第一次辅导讲义ppt课件

1、 ? ?高等数学高等数学? ?一一学习辅导学习辅导第一部分：内容提要和考试要求第一部分：内容提要和考试要求一、一、 函数、极限与连续函数、极限与连续1理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的定义域与函数的对应法那么2理解函数的奇偶性和单调性，理解函数的有界性和周期性3理解反函数的概念，会求单调函数的反函数4理解和掌握函数的四那么运算和复合运算，纯熟掌握复合函数的复合过程5掌握根本初等函数的简单性质及其图象，理解初等函数的概念6理解函数极限的直观概念. 7理解函数在一点处左、右极限的概念，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件.8纯熟掌握用两个重要极限求极限的方法.9掌握极限的四那么运算法那么

2、.10理解无穷小量概念，理解无穷大量概念，掌握无穷小量性质.理解无穷小量的阶的概念. 11 理解函数在一点连续与连续的概念，掌握判断简单函数含分段函数在一点连续的方法.12理解在闭区间上连续函数的性质13理解初等函数在其定义区间上性质.并会利用函数连续性求极限.二、二、 一元函数微分学一元函数微分学1理解导数的概念及其几何意义.2会求曲线上一点处的切线方程.3纯熟掌握导数的根本公式、四那么运算法那么以及复合函数的求导方法.4掌握隐函数的求导法.5理解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数.6理解微分的概念.会求函数的一阶微分.7纯熟掌握用洛必达法那么求 、 、 、 、 型未定式的极限方法. 000

3、18掌握利用导数断定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式9理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，并会求解简单的应用问题10会断定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点三、一元函数积分学三、一元函数积分学1理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质2纯熟掌握不定积分的根本公式 3理解定积分的概念、根本性质、定积分中值定理4掌握微积分根本定理即变上限积分定理和微积分根本公式即牛顿-莱布尼兹公式.5运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分.6运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单立体的体积.第二部分：解题方法和典型例题第二部分：解题

4、方法和典型例题一、求极限的主要方法 1.利用各极限定理与性质包括左右极限定理、单调有界定理、夹逼准那么等.2.运用四那么运算公式与连续性求定式的极限.3.求未定式的极限，常用如下方法：1未定式变形法，即运用初等变形通分、约分、同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等式或三角公式变形、换元法、取对数等化未定式为定式，再求出极限. 2利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小求极限. 3利用洛必达法那么求极限作为导数的应用.例1 求解：题目含 和 ，需用左、右极限来求.左极限=右极限=所以原极限=1.1202lim1xxxexxe（+）x1xe1202lim()2 111xxxexxe 11

5、21100221lim()lim10 111xxxxxxxexexeee 例2 求解 ：题目比较复杂，可用等价无穷小交换变简单. 原式=例3 设 ，求解 先证数列 存在极限.易知当 时，2220ln(sin)limln()2xxxxexxex22222220022200ln(sin)lnln(1 sin/)limlimln()lnln(1/)sin/limlim1/xxxxxxxxxxxxxxeex exeexex eexe111,23(2,3,)nnxxxnlimnnx nx0(1,2,)nxn2n .假设 时， ，那么当时， ，所以 ，即 是有界数列.由于 ，所以 ，从而 ，那么 ，故 是

6、单调增加数列，从而数列 必定存在极限.设 ，对等式 两边取极限，得 ，从而 舍去 . nx21233xx1233kkxxnk3kx 1nk03(1,2,)nxn03nx2(1)4nx 223nnxx123nnnxxx nxlimnnxa2123nnxx223aa3a 1a nx例4 ，求 解因为，所以，从而 .以 代入原式得原式=所以 . 二、一 元函数微分法1. 要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义. 21lim31xxaxbx, a b1lim(1)0 xx21lim()0 xxaxb10ab1ba 2111(1)(1)limlim2311xxxaxaxxaaxx 1,2ab2.纯

7、熟掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法等.例5 设 ，求 和 解: 当 时，当 时，由于 不存在极限，所以 在 处不连续，故 在 不可导，即21sin,0( ),0 xxf xxx x( )fx( )fx0 x 21112111( )2 sincos,( )2sincossinfxxfxxxxxxxx00( )(0)1(0)limlim sin00 xxf xffxxx0 x 000111lim( )lim(2 sincos)limcosxxxfxxxxx ( )fx0 x 0 x ( )fx 不存在.例6 求二次曲线上任一点 处切线方程.

8、解: 由隐函数求导法，将方程两边对 求导得， , 从而切线斜率故切线方程为(0)f 222220axbxycydxeyf0ax bybxycyydeyxaxbydybxcye 00000()axbydky xbxcye 000000()axbydyyxxbxcye 00(,)xy例7 求函数 的 阶导数.解例8 设 对任何 都满足 ，且 常数，求 解 令 ，那么 ，从而221yxa( )( )( )( )111111111()()()222( 1)!112()()nnnnnnnya xaxaa xaa xanaxaxan( )f xx(1)2 ( )f xf x(0)1,(0)ffc(1)f

9、0 x (1)2 (0)2ff1000( )(1)(1)(1)2 ( )2(1)limlimlim1( )(0)2lim2(0)20 xtttf xff tff tfxttf tffct三、微分中值定理与导数的应用1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意义、互相关系.2.纯熟运用洛必达法那么求各种未定式的极限包括 七种类型.3.利用导数研究函数的各种性态包括单调性、极值、最值及应用题、凹凸性及拐点.000,0,0 ,10 例9 设 ，其中 有二阶连续导数，且 .1确定 的值，使 在点 处连续.2求 .3讨论 在点 处的连续性.解 1利用洛必达法那么求极限：所以当 时， ，这时 在点

10、处连续.( )cos,0( ),0g xxxf xxa x( )g x(0)1ga( )f x0 x0 x00( )coslimlim( )sin )(0)xxg xxg xxgx( )fx(0)ag0lim( )(0)xf xf( )f x0 x( )fx2 时， 时，用定义求导数：0 x2( )sin ( )cos( )g xx xg xxfxx0 x002000( ) cos(0)( )(0)(0)limlim0( ) cos(0)( ) sin(0)limlim2( ) cos1(0)lim22xxxxxg xxgf xfxfxxg xx gxg xx gxxg xxg3所以 在 处连

11、续.四、计算不定积分的方法主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换元法和分部积分法是常用的两个主要方法.20000 ( ) sin cos( )lim( )lim( ) cos ( ) sinsin( )lim2( ) cos1(0)lim(0)22xxxxg xx xx g xf xxg xx x g xxx g xxg xxgf( )fx0 x例10 的一个原函数为 ，求 .解 因为 ，即 ，所以( )f x(1 sin )lnxx( )xfx dx1 sin( )(1 sin )ln cos lnxf xxxxxx( )(1 sin )l

12、nf x dxxxc1( )( )( )( )( cossin1)lnsinxfx dxxdf xxf xf x dxxxxxxc例11 ，求 .解 令 ，那么 ，从而 ，所以考虑到上式中 的 ，且题目设 时 所以应取 ，从而应舍去 ，故 21()fxx( )f x2xt1,( )xt f tt ( )( )2f tf t dttc ( )2f xxc 0 x 21()fxx0 x0 x xt ( )2f xxcx例12 求解 假设先让 凑成 ，计算将很复杂，应优先化简分母.原式 2(1)xxedxxxe dxxde11()(1)1111xxxxxxexe dexdxxxxxeecx 例13

13、求解 原式2411xdxx22221111()21ln1112 2()22d xxxxxcxxxxxx22121ln2 221xxcxx五、定积分及其应用1.理解定积分的概念、根本性质、定积分中值定理.2.掌握微积分根本定理即变上限积分定理和微积分根本公式即牛顿-莱布尼兹公式，利用求原函数或不定积分和牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.3.运用定积分的换元法包括第一类和第二类和分部积分法计算定积分.4.运用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立体的体积. 例14 设函数 在0，1上连续，在0，1内可导，( )f x ，求证在0，1内至少存在一点 ，使 .证明 由 的条件， 满足定积分中值定理的条件

14、，所以存在 ，使 ，从而 ，再由罗尔定理，存在 ，使 .1233( )(0)f x dxfc( )0fc12 ,13c ( )f x( )f x( )0fc12132( )(1) ( )3f x dxf c1( )(0)f cf1(0,)cc例15 ，求证 .分析：被积函数 在 处不连续，所以不能应用积分上限求导公式，而要用分部积分法将 改造成在 处连续的另一函数，问题即可解决.证明其中约定于是新的被积函数 在 处连续，从而 (0)0f 1cost1cost01( )cosxf xdtt0t 0t 2200222000111( )cos( )sin1111sin sinsin2sinxxxxx

15、f xtdt dttttdtxtdtttxt 2200001111(sin )lim(sin )0,( sin )lim( sin )0tttttttttttt0t 1sintt另设 ，那么所以例16 求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.00011(sin)( sin)0 xxxdtdtxdxtx21( )sing xxx00( )(0)1(0)limlim sin00 xxg xggxxx001(0)(0)2(sin)0 xxdfgtdtdxt 201 cos xdx另设，那么所以例1

16、6 求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.00011(sin)( sin)0 xxxdtdtxdxtx21( )sing xxx00( )(0)1(0)limlim sin00 xxg xggxxx001(0)(0)2(sin)0 xxdfgtdtdxt 201 cos xdx解：原式例17：设在上连续，在内可导,且 令 ， 求证在 内.证明由定积分中值定理，存在 ，使22220002cos2cos2cos( cos )2222xxxxdxdxdxdx202 2sinsin4 222xx(

17、 )f x , a b( , )a b( , )a b( )0fx( )0F x ( )( )xaf t dtF xxa2( )()( )11( ) ( )( ) ()xxaaf x xaf t dtF xf xf t dtxaxaxa , ca x1( )( ) xaf cf t dtxa从而 ,又因为,所以单调减少，从而 ，又 ，从而例18 设曲线 , 轴和轴所围区域被曲线 分成面积相等的两部分，其中为常数，试求 的值.解：由，求得交点坐标为( )( )( )f xf cF xxa( )f x( )0fx( )0F x ( )( )f xf c0 x a 21(01)yxx xy2yax0

18、aa221,01yxxyax 1(,)11aaa分别记上、下两块的面积为和，那么而 ，从而 ，故 .1221102(1)3 1aSxax dxa12112022(1)3SSSx dx2133 1a3a1S2S例19 计算以下定积分解 1原式2422000sin(1);(2)ln(1tan );(3)1cos1cosxxdxdxx dxxx2200222002/2200sin1 cos1 cos(1 cos )2cos1 costanln(1 cos )2xxxdxdxxxxdxdxxxxdx/220020/20tantanln222sin2ln22cos2ln22lncos22ln2ln222

19、xxxdxxdxxx2令，那么 ，从而移项得4xtdxdt 0404440040ln(1tan )ln1tan()41tanln(1)ln2ln(1tan )1tan4ln2ln(1tan )4x dxt dttdtt dttx dx 40ln(1tan )ln28t dx3原式例20：设在上连续，且求证 12方程 在 内有且仅有一个根.22222222000/220022tan2cossincos(2tan)2tantan11tan2arctan()tan2221 ()21tanlimarctan()222 2dxdxdxxxxxxxdxx( )f x , a b( )0,( )( )( )

20、xxabdtf xF xf t dtf t( )2F x ( , )a b( )0F x 证明1由积分变上限函数的性质知2又知 在 上连续，所以由零点存在定理，方程 在内至少有一个根.又因，所以 在 上严格单调增加，从而方程 在 内仅有一个根.例21 设 ，求11( )( )2( )2( )( )F xf xf xf xf x( )( )0( )( )( )( )( )0( )aabababbbabadtdtF af t dtf tf tdtF bf t dtf t dtf t ( )F x( )F x , a b , a b( , )a b( , )a b( )20F x1,01( )1,0

21、1xxxf xxe 20(1)f xdx( )0F x ( )0F x 解：设，那么 原式1xt dxdt1011100110010110( )( )( )1111ln(1)1ln(1)ln2ln(1)ttttf t dtf t dtf t dtdtdtetedtteee 例22 求以下极限：1 2解:1原式= 212lim1xxxx0limhxhxh11(1)(2)limlim(2)31xxxxxx 2 01lim()2hhhhxxx0limhxhxh例23 求以下极限：1 2 解1原式= 201 coslimxxx0tan3lim2xxx222002sinsin1122limlim2242

22、4xxxxxx2 0sin313lim()3cos32xxxx003sin3133limlim1 123cos322xxxxx 0tan3lim2xxx例24 求以下极限：1 2 0sinlimtannmxxx30tansinlimsinxxxx解：1当时，所以 0 x sin,tan()nnmmxxxx00,lim1,nmxnmxnmxnm0sinlimtannmxxx2 201 coslimcos sinxxxx22012limcos sinxxxx30tansinlimsinxxxx2200111limlim2cos2xxxxx例25 求以下函数极限：12 2223lim22xxxxx0

23、01lim1nmxa xb x解1 22132200lim2221001xxxxx2223lim22xxxxx2 000,nmanmbnm001lim1nmxa xb x例26求以下极限：1 ,2 解1原式= 2121lim()11xxx2lim(1)xxx 221112 (1)111limlimlim1112xxxxxxxx2另求以下极限：3 421lim01xxx 2lim(1)xxx 1lim(1)xxx3lim()1xxxx解3 11lim(1)xxx1111lim(1) tttxete 令1lim(1)xxx4 3(1)lim1(1)xxxxx3lim()1xxxx3413lim(1

24、)1lim(1)xxxxexeex或4 14 144lim(1)1xxx 14444lim(1)(1)11xxxx3lim()1xxxx144444lim(1)lim(1)11xxxexx例27：求以下极限：1 2 解1因所以11lim(1)cos1xxx2arctanlim1xxxx11lim(1)0, cos11xxx11lim(1)cos01xxx2因所以 2lim0, arctan12xxxx2arctanlim01xxxx例28求以下函数在分段点处的极限：12 2sin ,0( )1sin2,0 x xxf xxxxln(1),0( )11, 102xxxf xxxxx 解：1即故0

25、02sinsin(00)lim2 lim2xxxxfxx01(00)lim( sin2)xfxx01limsin2022xxx(00)(00)ff0lim( )2xf x2 011(00)lim2xxxfx021lim22 ( 11)xxxxx0ln(1)(0 0)limxxfx10lim ln(1)ln1xxxe即 故 不存在.例29 ，求的值.解：因当 时，由此及，可得必有(00)(00)ff0lim( )xf x22lim52xxaxbx , a b2x 20 x22lim()0 xxaxb否那么，将与矛盾,即从而有 即 420,42abba 22lim2xxaxbx2242lim2xx

26、axax2(2)(2)lim2242xxxaaax45,9,14aab 或由，必有即 ，由比较两端系数，得例30：假设 ,求的值2(2)()xaxbxxk2lim()5,7xxkk 22(2)(7)914xax bxxxx 9,14ab 22lim()01xxaxbx, a b解：此为“ 型极限，即因分母为的一次二项式，分子必为常数，即 2(1)()2lim01xa xab xbx (1)x 10101aaabb 例31判断函数的连续性1 2解:1当时，处处连续，在分段点处，111,0( )11,0 xxexf xex,0( )1,0 xexf xx x0 x ( )f x11010 1(00

27、)lim10 11xxxefe 即。从而在 不连续2当时，处处连续，分段点为，111100111 0(00)limlim11011xxxxxxeefee(00)(00)ff( )f x0 x 0 x 00(00)lim( )lim1xxxff xe( )f x0 x 即所以，且，即，所以函数在 也连续，从而在 上连续. 0(00)lim(1)1xfx0lim( )1xf x(0)101f 0lim( )(0)xf xf0 x ( )f x(,) (00)(00)ff例32：求函数 的连续点.解：函数在 处没定义，因此 为连续点. 2(1)( )(1)x xf xx x0,1xx 0,1x 例3

28、3 求函数 的连续点解： 为分段函数，分段点为 对，有 1,1( )3,15sin(210),55xxf xxxxxx( )fx1,5x 1x 1(10)lim(1)0 xfx，即左、右极限存在但不相等，故其为连续点对1(10)lim(3)2xfx5(50)lim(3)2xfx 5x 从而有，又 从而为连续点，故 只有 为连续点. 5sin 2(5)lim25xxx 5sin(210)(50)lim5xxfx5lim( )2xf x 5(5)(3)2xfx 5x ( )f x1x 有例34设函数 在 处可导，且 ，求解：由导数定义可知( )yf x0 xx0( )f xk000(2)()lim

29、xf xxf xx 000000(2)( )2 (2)( )limlim2xxf xxf xf xxf xxx 02()2fxk例35讨论 在处的可导性.解： = =虽然左、右导数都存在，但不相等，所以在 处不可导. ()fxx0 x0(0)(0)(0)limxfxffx 00limlim( 1)1xxxx 0(0)(0)(0)limxfxffx 00limlim1xxxxxx0 x 例36 求以下函数的导数1 23 4 解:1函数是由 复合而成的，于是1sin2xy 21ln sinyxarcsincosxye22(arctan)yx12 ,sin ,uyuv vx1sin221ln212 ln2 cos ()2cosuxdydy du dvvdxdu dv dxxxx2函数 是由 复合而成的，于是 3 4 .21 ln sinyx2,1,ln ,sinyu uv vt tx 112cos2uvtxyyuv tvxtu22lnsin1cotlnsincossin1 ln sin1 ln sinxxxxxxxarcsinarcsinarcsinarc