椭圆的几何性质课件(示范课)

1、1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab 温故知新温故知新一、椭圆的范围一、椭圆的范围即即byax和由由22221xyab221xa221yb和 oxyx =-ax =ay = by = -b由-axa , -bybyxoF1F2x2y2= 1a22b二、椭圆的对称性二

2、、椭圆的对称性YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xya bab 关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称从图形上看：椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 从方程上看：（1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称。三、椭圆的顶点与长短轴三、椭圆的顶点与长短轴)0(12222babyax oyB2B1A1A2F1F2cab(0

3、,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)令令 x=0，得，得 y=？说明椭圆与？说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？a2=b2+c2椭圆顶点坐标为：椭圆与它的对称轴的四个交点椭圆的顶点.回顾：A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).焦点坐标(c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab （ab0）长轴：线段A1A2；长轴长 |A1A2|=2a.短轴：线段B1B2；短轴长 |B1B2|=2b.焦 距 |F1F2|=2c.a和b分别叫做椭圆的长半轴

4、长和短半轴长；焦点必在长轴上.a2=b2+c2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bacF2F1|B2F2|=a；注意四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxyace 椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，请问请问：此时椭圆的变化情况？此时椭圆的变化情况？ b就越小，此时椭圆就越扁。就越小，此时椭圆就越扁。 2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，请问请问：此时椭

5、圆又是如何变化的？此时椭圆又是如何变化的？b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。就越大，此时椭圆就越趋近于圆。如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变为圆的方程：222xya离心率反映椭圆的圆扁程度离心率：离心率：因为因为 a c 0，所以，所以0 e c0，所以0 e 1.2210,cecaabac当当椭椭圆圆扁扁2200,cecabaca当当椭椭圆圆圆圆离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆Oxyabc3e与与a,b的关系的关系:222221ababaace思考：当思考：当e0时，曲线是什么？当时，曲线是什么？当e1时曲时曲 线又是线又是 什么？什么？ e=0，这时两个焦点重合，

6、图形变为圆 e=1,为线段。标准方程图 象范 围对 称 性顶点坐标焦点坐标半 轴 长焦 距a,b,c关系离 心 率22221(0)xyabab|x| a,|y| b|x| b,|y| a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。（ a ,0 ）,(0, b)（ b ,0 ）,(0, a)(c,0)(0, c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2cea)0( 12222babxay222221ababaace例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400, 它的长轴长是： 。短轴长是： 。焦距是 。 离心率等于： 。焦点坐标是： 。顶点坐标是： 外切矩形的面积等于： 。108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80分析：椭圆方程转化为标准方程为： 2222162540012516xyxya=5 b=4 c=3 oxy ox y例例2、椭圆的中心在原点，一个顶点是（、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），），离心率离心率 ，求椭圆的标准方程。，求椭圆的标准方程。23e解解:（1）当（）当（0，2）点是长轴端点时）点是长轴端点时 所以所以a=232cea又3 1cb1422 xy是是所求的椭圆的标准方程所求的椭圆的标准方程 （2）当（）当（0，2）点是短轴端点时）点是短轴端点时 所以所以b=22232cabeaa又4a 所 以221164xy所求的椭圆