第二讲+导数极其应用(2013基础班第二章)

1、第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用1 导数与微分的基本概念导数与微分的基本概念一、导数概念的引例一、导数概念的引例例例1 1 变速直线运动的速度 ?)(0tv)(tss 0s-)(0ttsttsttstsv)()(00时，0 t000000()()limlimlimttts tts tsv tvtt )(0tvv )(0ts-第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例2 2 平面曲线的切线斜率 0 xxxoy)(xfy C如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为割线M

2、N00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为切线MT000( )()tanlim.xxf xf xkxx T NM第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用二、导数的定义二、导数的定义,)()(0);()()(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义定义第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用0 xxdxdy ,)(0 xxdxxdf 或或xxf

3、xxfxyyxxxx )()(limlim00000即即其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 例例3.0000()()( )lim=xf xxf xxf xxx 已知在 处可导，则？000()()2 lim2xf xxf xxx 解：解：02()fx第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例4.证明：证明：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用三、可导和连续的关系及应用三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系可导和连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数，反之不一定凡可导函数都是连续函数，反之不一定. .证明

4、：证明：设函数设函数f (x)在点在点x0处可导处可导 0000lim()xxf xf xfxxx则 00000lim()lim()xxxxf xf xfxxx 00limxxf xf x即.连续在点函数0)(xxf 从图像上看，可导函数除了要求像连续函数从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样那样“一笔一笔”画完外还要求曲线是光滑的！画完外还要求曲线是光滑的！第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用2.左右导数左右导数（单侧导数）（单侧导数） 右导数右导数: :左导数左导数: :0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )

5、( )()( )( )limlim;xxxf xf xf xxf xf xx xx 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用3.利用函数可导或连续解题利用函数可导或连续解题例例5.解：解：连续连续可导可导第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用四、四、 函数微分的概念函数微分的概念1.微分的定义微分的定义第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用定理定理：y=f(x)在在 可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是f(x)在在 处处 可导，且当可导，且当f(x)在点在点 可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是0 x0 x0 xxxfdy )(0(1) (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf

6、),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数证明证明第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可微可微可导可导(2) (2) 充分性充分性第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用( )( )dyd xxxx ?yxdy已知函数，求例例1处的微分处的微分和和

7、在在求函数求函数312 xxxy解：解：处的微分处的微分在在函数函数12 xxy1( )2;xdyxxx 处的微分处的微分在在3 xxxxdyx 6)(32例例2解：解：由例由例2我们把微分常记为我们把微分常记为00()x xdyfx dx( )dyfx dx2、可微与可、可微与可 导的关系导的关系两者是等价的两者是等价的第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用3、微分的几何意义、微分的几何意义.,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 xyo)(xfy 0 xMT） Nxx0yx P Q 0()dyfxxtanxPQdy)( xo 第二讲第

8、二讲 导数极其应用导数极其应用2导数的计算导数的计算(1) (C)0(2) (xm)m xm1(3) (sin x)cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x)sec2x(6) (cot x)csc2x(7) (sec x)sec xtan x(8) (csc x)csc xcot x(9) (a x)a x ln a(10) (e x)ex(11) axxaln1)(log (12) xx1)(ln (13) 211)(arcsinxx (14) 211)(arccosxx (15) 211)(arctanxx (16) 211)cotarc(xx 一、基本初等函数的导数

9、公式一、基本初等函数的导数公式 211(17)( )xx 1(18)()2xx 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用二、反函数求导法则二、反函数求导法则)(1 )(1yfxf 1( ),( )xf yyfx设函数其反函数为定理定理则则.log的导数求xya, 0ln)( aaayy且且)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 是yax 的反函数xyalog.的导数求xay , 0ln1)(logayya且)(log1)(yaaxayln11.lnaax y 是axlog的反函数xay 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用arctanyx求的导数tan arctanxyyx是的反

10、函数2(tan )sec0,yx 且1(arctan )(tan )xy 21sec y21sec (arctan ) xtan(arctan ) xx22sec (arctan )1tan (arctan )xx 21x 21(arctan )1xx 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导 这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例例1解：解：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例2

11、解：解：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用四、隐函数的求导四、隐函数的求导1. 函数的表示法函数的表示法 直接表示直接表示: : 解析式解析式 y= =f( (x) ) xD, , 这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数, , 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化. .第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用 一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条在一定条件下当件下当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯相应地总有满足这方程的唯一的一的y值存在值存在,那么就说方程

12、那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个在该区间内确定了一个隐函数隐函数2. 隐函数定义极其求解隐函数定义极其求解 有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：有的隐函数都可以显化的，如：sin0 xyxy 虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于方程两边同时关于x（或（或y）求导，一般来说，导函数往往）求导，一般来说，导函数往往是含有是含有x和和y的解析式。的解析式。 需要注意的是：当关于需要注意的是：当关于x求导时要把求导时要把y看成是复合

13、函数；看成是复合函数；关于关于y求导时要把求导时要把x看成是复合函数！看成是复合函数！ 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例3解：解：方程两边同时关于方程两边同时关于x求导得求导得原方程变形为原方程变形为整理，得整理，得即即第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用注：注：隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是求导函数求导函数，另一种是求具体某一点处的另一种是求具体某一点处的导数值导数值，从本质上说两者，从本质上说两者没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式（有时没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式（有时候整理化简过程很繁琐），后者可以在前者的基础上

14、候整理化简过程很繁琐），后者可以在前者的基础上带入具体点的坐标就可以了。不过在求解具体点的导带入具体点的坐标就可以了。不过在求解具体点的导数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出来就相对简单多了！来就相对简单多了！带入带入得得即即第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用五、对数求导法五、对数求导法1.对数求导法2.适用范围求幂指函数求幂指函数和多个函数相乘的导数和

15、多个函数相乘的导数. .)()(xvxu第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例4解：解： 等式两边取对数得等式两边取对数得1lnln(1)ln(1)2ln(4)3yxxxx112113(1)4yyxxx 32(1)1112113(1)4(4)xxxyxxxxe 32(1)1,.(4)xxxyyxe 求求上式两边关于上式两边关于x求导得求导得第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例5解法一：解法一：等式两边取对数得等式两边取对数得上式两边关于上式两边关于x求导得求导得即即解法二：解法二： 解法一与解法二没解法一与解法二没有本质的区别，相比而有本质的区别，相比而言解法二较直接，但需言解法二较

16、直接，但需要对复合函数的求导熟要对复合函数的求导熟练掌握练掌握第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例6解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得上式两边关于上式两边关于x求导得求导得即即第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用六、六、 高阶导数高阶导数1.1.如果如果 的导数存在，称为的导数存在，称为 的二阶导数的二阶导数 记作：记作： ， 或或 )(xfy )(xfy 22dxyd)(dxdydxdy y 2. 2. 仍是仍是x的函数，还可以进一步考虑的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数有三阶导数 或或 ， 四阶导数四阶导数 或或 ， n n阶导数阶导数 或或 . .y 33dxyd)4(y

17、44dxyd)(nynndxyd第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用七、参数方程所确定函数的导数七、参数方程所确定函数的导数( )( )( )xtyfxyt由 参 数 方 程所 确 定( )( )dydytdtdxtdxdt22()dydd ydxdxdxdt参数方程求导问题参数方程求导问题是历年必考的重点是历年必考的重点题型，但却不是难题型，但却不是难点，主要是公式的点，主要是公式的应用，归结到底还应用，归结到底还是考查一般函数求是考查一般函数求导问题。导问题。第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例7解：解：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用3 微分中值定理微分中值定理 关于微分中

18、值定理，不是目前我们学习的重点，关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，但要做到基本了解，知道它们的但要做到基本了解，知道它们的几何意义几何意义，会求，会求满满足定理条件的点足定理条件的点即可。即可。1.1.罗尔罗尔(Rolle(Rolle) )定理定理罗尔（罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba 上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零

19、，在该点的导数等于零， 即即0)( f )1()2()3(第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用罗尔定理几何解释罗尔定理几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC例例832)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用2.2.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日

20、（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用ab1 2 xoy)(xfy ABCD拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何解释：几何解释：.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处

21、的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧( )( )f bf aba例例9解：解：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ( ),( )( )F xF aF b满足罗尔定理的条件 可以验证. 0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在

22、这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系. .第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 3.3.柯西中值定理柯西中值定理,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()

23、()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用4 导数的应用（利用导数研究函数的性质）导数的应用（利用导数研究函数的性质）单调 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率*1.函数的单调性函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fxabBA1( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( ) , .a bfxyf xa ba bfxyf xa b（） 如果在内，那末函数在上单调增加；如果在内，那末函数在上单调减

24、少第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用注：注：（1）求函数单调区间就是解导数不等式）求函数单调区间就是解导数不等式（2）证明方程根的个数）证明方程根的个数最经典最经典的方法就是结合函数单调性的方法就是结合函数单调性 利用零点定理利用零点定理2.函数的极值函数的极值 简单地说，所谓极值，就是在某一点的简单地说，所谓极值，就是在某一点的“附近附近”它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小值统称为极值。值统称为极值。关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻

25、点、不可导点关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点驻点是指一阶导数等于零的点，即满足驻点是指一阶导数等于零的点，即满足 的点的点不可导点是一阶导数不存在的点，即不可导点是一阶导数不存在的点，即 无意义的点无意义的点驻点与不可导点我们习惯上统称为驻点与不可导点我们习惯上统称为“极值可疑点极值可疑点”)(xfy 第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用xoy导数为零不是驻点导数为零不是驻点不可导点不是极值点不可导点不是极值点两个特例第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用函数极值的性质与判定函数极值的性质与判定性质（必要条件）性质（必要条件）( ),f x所以，可导函数的极值点必定是它的

26、驻点但函数的驻点却不一定是极值点。判定（充分条件）判定（充分条件）（1）第一充分条件）第一充分条件 对于在对于在x0处连续的函数，如果在处连续的函数，如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 右侧右侧f (x)0，那么，那么f(x0)是极大值；是极大值； 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，那么，那么f(x0) 是极小值是极小值第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用xyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数(2);求驻点及不可导点(3)( ),;fx检查在驻点或不可导点左右的正负号 判断极值点.)4(求极值

27、求极值第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用例例10解：解：.23833238的极值与极值点求xxy所给的函数定义域为 .),() 1(2313135xxxxy.) 1)(1(3xxx.,0. 1, 1021不存在处在，得驻点令yxxxy1010不存在0yxy(0,1)(1,0), 1 ( ) 1,(+极小值极大值极小值89089第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用（2）第二充分条件）第二充分条件注：注：利用第一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样利用第一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导

28、数的正负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种方法了这种方法了第二讲第二讲 导数极其应用导数极其应用3.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些点可能成为最值呢？点可能成为最值呢？端点端点极值点极值点驻点驻点不可导点不可导点 求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所有极值可疑点（驻点和不可导点）以及端点代入到原函有极值可