第二章 运动的守恒量和守恒定律 (二)

1、 物体在力物体在力 的作用下发生一无限小的位移的作用下发生一无限小的位移 (元元位移位移)时，此力对它做的时，此力对它做的功（功（work）定义为定义为 FrdrFAdcosd可以写成两个矢量的可以写成两个矢量的标积（标积（scalar product）：rFAdd功是标量，功是标量，没有方向，但有正负没有方向，但有正负。单位：单位：N m = J(焦耳焦耳)功率（功率（power）：tAPddtrFddvF单位：单位：J/s(W)（ 为力与位移的夹角）为力与位移的夹角）一、功的概念一、功的概念2-3 2-3 功功 动能动能 动能定理动能定理 能量是反映能量是反映各种运动形式共性各种运动形式共

2、性的物理量，各种的物理量，各种运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵守能量守恒定律。形式的相互转化遵守能量守恒定律。 与机械运动直接相关的能量是与机械运动直接相关的能量是机械能机械能，它是，它是物物体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包括括动能和势能动能和势能。二、能量二、能量 能量是能量是物体状态的单值函数物体状态的单值函数。物体状态发生变化，。物体状态发生变化，它的能量也随之变化。它的能量也随之变化。三、动能定理三、动能定理设质点在变力设质点在变力 的作用下沿曲线从的作用下沿

3、曲线从a点移动到点移动到b点，点，F变力所做的功为：变力所做的功为：由由牛顿第二定律牛顿第二定律：bardFAcosdtdvmmaFtcosrddtdvmrdFcosmvdvdsdtdvmbavvmvdvA222121abmvmv 2k21mvE 定义质点的定义质点的动能动能：则有则有 kkkEEEAabab动能定理动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。bavvmvdvA222121abmvmv （4 4）功是一个功是一个过程量过程量，而动能是一个，而动能是一个状态量状态量。,0kkabEEA(2)(2) abEEAkk0kdd,FrE(5)

4、 (5) 微分形式：微分形式：说明说明(1) (1) 功是物体在某过程中功是物体在某过程中能量改变能量改变的量度。的量度。kd dEF vt即kEA、与与参考系参考系有关，动能定理只在有关，动能定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。（3 3）kakbEEA过程量过程量 动能定理和动量定理比较：动能定理和动量定理比较：力的空间力的空间累积效应累积效应力的时间力的时间累积效应累积效应=mmvvF dr.2211220 =mmvvF dt0 12ppI动能定理动能定理状态量的增量状态量的增量过程量过程量 状态量的增量状态量的增量动量定理动量定理例例2-7 装有货物的木箱，重量装有货物的木箱，重量G=9

5、80 N，要把它运上，要把它运上汽车。现将长汽车。现将长l=3 m的木板搁在汽车后部，构成一斜的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30角，木箱与斜面间的滑动摩擦因数角，木箱与斜面间的滑动摩擦因数 =0.20，绳的拉力，绳的拉力 与斜面成与斜面成10角，大小为角，大小为700 N。 求：（求：（1）木箱所受）木箱所受各力所做的功；（各力所做的功；（2）合外力对木箱所做的功；（）合外力对木箱所做的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？木箱所受的力分析如图所示木

6、箱所受的力分析如图所示 。拉力拉力F 所做的功所做的功(J)1007. 2985. 0370010cos31FlA重力重力所做的功所做的功(J).cos321047150398060180）（）（GlA解：解： （1）每个力所做的功：）每个力所做的功：正压力正压力所做的功所做的功0903cosNlFA根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：03010cossinNGFFN)(sincosN7271030FGF N)(.Nf145727200FF J)(cosf43531451804lFA摩擦力摩擦力所做的功：所做的功：（2）合力所做的功：）合力所做的功： J1654321AAAAA(J)1047.

7、 15 . 0398030sin3lFA（3）如）如改用起重机改用起重机把木箱吊上汽车。把木箱吊上汽车。所用拉力所用拉力 F 至少要等于重力。这时拉力所做的功为至少要等于重力。这时拉力所做的功为 等于重力所做的功，而符号相反，这时合外力所做的等于重力所做的功，而符号相反，这时合外力所做的功为零。功为零。与（与（1）中）中 F做的功相比较，用了做的功相比较，用了起重机能够少做功起重机能够少做功。（1）中推力）中推力 F 所多做的功：所多做的功：(J)1060. 01047. 11007. 2333其中，其中，435 J 的功用于克服摩擦力，转变成热量；余下的功用于克服摩擦力，转变成热量；余下16

8、5 J 的功将使木箱的动能增加。的功将使木箱的动能增加。例题例题2-8 利用动能定理重做利用动能定理重做P40例题例题1-13。 解：解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为的功为0()lbAG F dx应用应用动能定理动能定理，因初速度为，因初速度为0 0，末速度，末速度v可求得如下可求得如下2222111222l gl gmlvvgll)2(v2201()2llx gdxl gl gLv0OxLs 解：解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，对台面的正压力与滑上台面的质量成正比，所之前，对台面的

9、正压力与滑上台面的质量成正比，所受台面的摩擦力受台面的摩擦力F Ff是变化的，可表示为是变化的，可表示为例题例题2-9 传送机通过滑道将长为传送机通过滑道将长为L，质量为，质量为m的柔的柔软匀质物体以初速软匀质物体以初速 向右送上水平台面，物体前端向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动在台面上滑动s距离后停下来（如图）。已知滑道距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可不计，物体与台面的摩擦系数为上的磨擦可不计，物体与台面的摩擦系数为，而，而且且sL，试计算物体的初速度，试计算物体的初速度 。0v0v0,fLxLmFgx当物体前端在当物体前端在s s处停止时，处停止时，摩擦力做的功摩擦力做的功为

10、为ddfAFxFx由由动能定理动能定理得得 )2(20Lsgv即得即得,fLFmxg()()22LLm gs Lm gs 0ddLsLmgx xmgxL021() 022Lmg smv 一、一、 保守力保守力 根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和非保守力。非保守力。 保守力（保守力（conservative force）：如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力非保守力（non-conservative force）：如：摩擦力、回旋力等。如：摩擦力、回旋力等。 做功做功与路径无关与路径无关，只，只与

11、始末位置有关与始末位置有关的力。的力。 做功不仅做功不仅与始末位置有关与始末位置有关，还，还与路径有关与路径有关的力。的力。 2-4 2-4 保守力保守力 成对力的功成对力的功 势能势能重力的功重力的功 bahhbamghmghhmgAAbadd 重力做功只与质点的起始和终了位置有关，重力做功只与质点的起始和终了位置有关， 而与而与所经过的路径无关，所经过的路径无关，重力是保守力重力是保守力 ！设物体设物体m从从a点沿任一曲线移动到点沿任一曲线移动到b点。点。在元位移在元位移 中，重力所做的元功为中，重力所做的元功为 rdsmgAdcosdhmgd如果物体沿如果物体沿闭合路径闭合路径abcda

12、运动一周，运动一周，容易计算重力所做的功为：容易计算重力所做的功为： 讨论讨论0)()(abbabdaacbhhmghhmgAAA 表明保守力沿任何闭合路径做功等于零。表明保守力沿任何闭合路径做功等于零。 （L为任意闭合路径）为任意闭合路径）或或弹性力的功弹性力的功kxFbaxxxkxxFAdd222121bakxkx 弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关，而弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的路径无关，与质点运动的路径无关，弹性力是保守力弹性力是保守力 ！设光滑水平桌面一端固定设光滑水平桌面一端固定的轻弹簧的轻弹簧(k)，另一端连接，另一端连接质点质点 m，当质点由，当质

13、点由a点运点运动到动到b点的过程中点的过程中 ：万有引力的功万有引力的功设质量为设质量为m 的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在m 的的引力场中从引力场中从a点运动到点运动到b点。点。rrmmGF2rrmmGrFAdcosdd2rrrdcosd)cos(d)(ddbarrbarrmGmrrmGmAAba112 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，与路径无万有引力的功仅由物体的始末位置决定，与路径无关，关，万有引力是保守力万有引力是保守力 ！摩擦力的功摩擦力的功 tfemgFbabaremgrFAddtf 摩擦力做功摩擦力做功与路径有关与路径有关，摩擦力是非保守力摩擦力

14、是非保守力！ abbasFsmgfd质量为质量为m的物体在桌面上沿曲线的物体在桌面上沿曲线路径从路径从a点运动到点运动到b点，设物体点，设物体与桌面的摩擦因数为与桌面的摩擦因数为 ， 其中其中sab为物体经过的路程，与物体的运动路径有关。为物体经过的路程，与物体的运动路径有关。二、成对力的功二、成对力的功 设有两个质点设有两个质点m1和和m2，存在一对相互作用力存在一对相互作用力 和和 。 2F1F在在dt 时间内分别经过元时间内分别经过元位移位移 和和 ，这一对，这一对力所做的元功为力所做的元功为 1dr2dr2211dddrFrFA)d(d122rrFrFd2)(21FF12dddrrr相

15、对元位移相对元位移 rFAdd2成对力的功：成对力的功： 讨论讨论 (1) 成对作用力和反作用力所做的总功只与成对作用力和反作用力所做的总功只与作用力作用力及及相对位移相对位移有关，而与每个质点各自的运动无关。有关，而与每个质点各自的运动无关。 (2) 质点间的质点间的相对位移相对位移和和作用力作用力都是都是不随参考系而变不随参考系而变化化的，因此，任何一对作用力和反作用力所做的总功的，因此，任何一对作用力和反作用力所做的总功具有与参考系选择无关的不变性质。具有与参考系选择无关的不变性质。 (3) 可以由可以由相对位移相对位移来分析系统中成对内力的功。来分析系统中成对内力的功。 三、势能三、势

16、能保守力作功与路径无关保守力作功与路径无关重力势能重力势能pEmgh弹性势能弹性势能212pEkx引力势能引力势能pGmMEr abAmghmgh221122abAkxkxabGmMGmMArr 重力作功重力作功弹性力作功弹性力作功万有引力作功万有引力作功引入引入与与物体的位置相联系物体的位置相联系的系统能量的系统能量称为称为势能势能 Ep保守力的功是势能变化的量度：保守力的功是势能变化的量度：物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa、Epb 之差等之差等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力做的功点过程中保守力做的功Aab：pppababAEEE说明说明（1 1）势能是属于）势能是属于物体系统物体系统的。的。（2 2）势能差有）势能差有绝对绝对意义，势能的量值只有意义，势能的量值只有相对相对意义。意义。（3 3）引入势能的一个重要目的是为了）引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功简化保守力功的计算。这点将在系统功能原理中得到体现。的计算。这点将在系统