立体几何(小题)专题-历高考真题模拟题汇总(解析版)

1、立体几何一、年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2022 年新课标全国1卷、2卷、3卷理科数学分类汇编一一 11 立体几何 一、考试大纲1 空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图(3) 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式(4) 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的根底上，尺寸、线条等不作严格要求).(5) 了解

2、球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式2 点、直线、平面之间的位置关系(1) 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(2) 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判丁中疋疋理理解以下判定定理如果

3、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题4. 空间

4、直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会推导空间两点间的距离公式、新课标全国卷命题分析立体几何小题常考的题型包括：1球体；2多面体的三视图、体积、外表积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图复原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力.立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何 的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、

5、计算能力要求较 高在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从 不同角度去分析问题和解决问题的可能，表达了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查1. 2022新课标n, 14a B是两个平面，m、n是两条直线，有以下四个命题：1如果m丄n, ml a, n/ 3,那么 a丄02如果 ml a, n/ a,那

6、么 ml n.3如果a/ 3 m a,那么m / 3门4如果m/ n , all 3那么m与a所成的角和n与3所成的角相等.其中正确的命题有.填写所有正确命题的编号.【答案】 解析：略.2. 2022新课标II , 9在长方体 ABCD AB1GD1中,AB BC1 , AA 73 ,那么异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为A.-5B.56C.55D.22【答案】C解析：法一：由几何关系可知:EF IbQB1D 1,1,3占八、由余弦定理可知：cos 55解法二：坐标法： 由几何关系可知:A的坐标为1,0/ 3，点D1的坐标为1,1,0AU0,1, .3, cosI 2 I 5I2 5I

7、丁立体几何小题解析版3.2022新课标全国I卷理 7某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示，圆柱外表上的点 MB,那么在此圆在正视图上的对应点为 A，圆柱外表上的点 N在左视图上的对应点为柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径的长度为A 2 17B. 2 5C. 3D. 2【答案】B解析：当路径为线段 MN时，长度最短，故最短路径的长度为2242 25.4.2022新课标I,理12正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等，那么截此正方体所得截面面积的最大值为334B.23c . 32【答案】A解析：直接法 平面A1C1B符合题意，如图1所示，例题中的平面 可得面AGB平

8、移(I)平移后的图象如图1所示，六边形EFGHMN为该截面根据对称性可知EF设 AN x，那么有 EN ，2x,MN .2(1 x)2(1x), FG 2x，延长EN ,HM相交于点P所以 EHQ为等边三角形，同理EHP为等边三角形,所以S六边形EFGHMN maxS EHGS EPGS PMNS FGQ：(.2)2 444(2)243( 2(14X)2豎辰2 7323(2x2 2x 1)、， 1 .-3 3当X2时，S六边形EFGHMN max4【解法2】特殊位置法由题可知，截面应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时,此时六边形的周长恒定不变，所以当截面为正六边形时，面积最大2a

9、fjS 63O六边形 EFGHMN max 64I 05. 2022新课标H, 9在长方体 ABCDABGDi 中，AB BC1 , AA 3，那么异面直线 AD1与DB1所1A.-5D.22成角的余弦值为B.5【答案】C解析：法一：由几何关系可知:1EFBQ2/，AE至,AF 1,由余弦定理可知：cos 25解法二：坐标法： 由几何关系可知:B1D 1,1,3 ,点A的坐标为1,0/ 3，点Di的坐标为1,1,0AD0,1,3, cos6解法三：补型法以右补为例由几何关系可知:BD 5 , DG 2 ,邓5，由余弦定理可得:cos；5 s'6. 20i7新课标n, i0直三棱柱C i

10、 i Ci中,C 120，C CCi i,那么异面直线i与 Ci所成角的余弦值为<3A.2【答案】B解析：解法一：在边BB、BiCi、A1Bi、AB上分别取中点E、G、H，并相互连接由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线ABi和BCi所成的夹角为FEG或其补角,fi解法二：补形 通过补形之后可知:乎，利用余弦定理可求得异面直线通过几何关系求得EF子,FG于,FHAR和BCi所成的夹角余弦值为5BGD或其补角为异面直线 ABi和BCi所成的角，通过几何关系可知:BCi2 , CiD5 , BD 、3 ,由勾股定理或余弦定理可得异面直线ABi和BCi所成的夹角余弦值为 5解法三：建系建

11、立如左图的空间直角坐标系，A 0,2,i , Bi 0,0,0 , B 0,0,i , G舟，£ ,0 ,BCi<32，7.2022新课标1 BA BC1BiA BC1 、5 21,11平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A ,n,那么m,n所成角的正弦值为1, 1 , BiA0,2,1 , cos105/平面CB1D1，门平面ABCD平面ABB1A1B :2CT D3Ci-/平面CBiDi ,假设设平面 CRDin平面ABCD m，那么B m又平面ABCD /平面ABGD，结合平面 BD1CPI平面ABCP Bd B1D1 / ，故 B1D1 / m 同理可得：CD

12、1 / n故m、n的所成角的大小与 B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1C B1D1 CD1均为面对交线，因此 CD1B1 ,即sin CD1B1 -33 28. 2022新课标I, 6?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？ 其意思为： 在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个 圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，问米堆的 体积和堆放的米各为多少？1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛2 r16【答案】B解析

13、：8，圆锥底面半径R ，米堆体积412320VVR2h，堆放的米约有22，选B.1231.629.2022 新课标 n, 11直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ BCA=90o, M ,N 分别是 AiBi,AiCi 的中点，BC=CA=CCi, 贝U BM与AN所成的角的余弦值为A .丄B . 2C .工30D .乞2i05i02【答案】C解析：取BC的中点P,连结NP、AP, / M, N分别是AiBi, AiCi的中点，.四边形 NMBP为平行四边形， BM/PN,：所求角的 余弦值等于/ ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CCi=2,那么AN=AP= 5 , NP=MB= 6 ,C

14、OS ANP2 2 2| AN| |NP| |AP|2 |AN| |NP|G5)2 (、6)2 G5)2256.3010【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=CiC=2，那么A(0, 2, 2) , B(2, 0, 2),M(1,1, 0)N(0,BM(1,1, 2),AN(0, 1,2),CCO flBM AN0 1 4 30u| BM | | AN |<6 510 1, 0)PCB1/BiM10. 2022新课标n, 4m,n为异面直线,m平面,n 平面.直线1满足1m , In ,丨l，那么A. a且 BaB.且1C.与相交，且交线垂直于1D.与相交，且交线平行于I【答案】D解析：

15、因为m丄a, 1丄m, Ia,所以I / a同理可得I / B又因为m, n为异面直线，所以与B相交，且I平行于它们的交线.应选 D.11. 2022新课标n,理16圆锥的顶点为 S，母线SA, SB所成角的余弦值为 7 , SA与圆锥底面所8成角为45 .假设 SAB的面积为5、''75，那么该圆锥的侧面积为 .【答案】40(2解析：由面积的关系可知：SA SB 4亦,由几何关系可知：SO AO 2尿侧面积 S SA I , I 2 OA 4 10，侧面积 S SA I 40 2A_-2112.2022新课标川，16. a , b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形AB

16、C的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边 AB以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论: 当直线 AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所称角的最小值为45 ； 直线AB与a所称角的最小值为60 ；其中正确的选项是 填写所有正确结论的编号a， b， AC二条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体边长为 1故AC 1, AB ,2 ,1为半径的圆.以C为,0边AB以直线AC为旋转轴旋转，那么 A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，坐标原点，以cd为x轴正方向，cb为y轴正方向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系.那么D(1

17、,0,0) , A(0,0,1),直线a的方向单位向量a(0,1,0) ,a1 . B点起始坐标为(0,1,0),直线b的方向单位向量b(1,0,0) ,b1.设B点在运动过程中的坐标B cos ,sin其中为BC与CD的夹角，0,2 n .那么AB'在运动过程中的向量 AB ( cos , sin ,1), AB v2 .设ab与a所成夹角为n0,那么 cos(cos , sin ,1) (0,1,0)|a| AB2sin2n n故 4,2，所以正确，错误.设AB与b所成夹角为0,才,cos2cos2lA2'( cos ,sin(1,0,0)|b|AB |b|AB当AB与a夹