高考数学专项突破：圆锥曲线专题

1、高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解2第一部分了解基本题型.3第二部分掌握基本知识.6第三部分掌握基本方法.8.二、知识考点深入透析1.4三、圆锥曲线之高考链接1.7.四、基础知识专项训练22.五、解答题专项训练30.附录：圆锥曲线之高考链接参考答案3.6附录：基础知识专项训练参考答案41.附录：解答题专项训练参考答案43.、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、

2、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。2、注重数学思想与方法的考查。3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角

3、和方法。三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较

4、高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1、直线与圆锥曲线结合的题型(1)求圆锥曲线的轨迹方程：这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。(2)求直线方程、斜率、线段长度相关问题：此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃。(3)判断直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容

5、之一。可从代数与几何两个角度考虑,从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲22未必。例如：将ykxm代入1中消y后整理得：ab(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20，当k2时，该方程为一次方程，此时直线aykxm与双曲线的渐近线平行，当k台时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来a判断直线与双曲线的位置关系。从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小

6、值来解决。直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行。直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。2、圆与圆锥曲线结合的题型这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉，并有较强的综合能力。3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。题目中经常涉及两种圆锥曲线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这类题目看起来比较复杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我

7、们要克服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题。4、圆锥曲线与向量知识结合的题型在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点、常见的一些题型:题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二：弦的垂直平分线问题；题型三：动弦过定点的问题；题型四：过已知曲线上定点的弦的问题；题型五：共线向量问题；题型六：面积

8、问题；题型七：弦或弦长为定值问题；题型八：角度问题；问题九：四点共线问题；问题十：范围问题（本质是函数问题）；问题H一、存在性问题：（存在点，存在直线ykxm,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）。三、热点问题：1、定义与轨迹方程问题;2、交点与中点弦问题；3、弦长及面积问题；4、对称问题；5、最值问题；6、范围问题;7、存在性问题;8、定值、定点、定直线问题第二部分掌握基本知识1、与一元二次方程ax2 bx c 0(a0)相关的知识：(三个“二次”问题)(1)判别式：b2 4ac o(2)韦达定理：若一元二次方程ax2bc贝 U x1 x2一 ,

9、x1x2 一 。aa(3)求根公式：若一元二次方程ax2bx c 0(a 0)有两个不同的根xi,x2 ,bx c 0(a 0)有两个不同的根xi,x2 ,则x1/2b b2 4aco2a2、与直线相关的知识:(1)直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容： 倾斜角与斜率：k tan ,0,);点到直线的距离公式:dAx0 2 C,A2B2(3)弦长公式：直线ykxb上两点A(Xi,yjB(x2,y2)间的距离:ABJ1k2|xX2IJ(1k2)(x1X2)24x1X2(或AB/(1%y2|,较少用)。(4)两条直线l1：ykxbnLyk2xb2的

10、位置关系：l1l2k1k21;l1/l2k1卜2且"b2o(5)中点坐标公式：已知两点A(Xi,y1),B(x2,y2),若点M(x,y)是线段AB的中点,xx2y1y2则x,yo223、圆锥曲线的重要知识：考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理科要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线及抛物线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线(1)、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。(2)、圆锥曲线的标准方程:2222椭圆的标准方程：221：1(ab0且a2b2c2)或土1(m0,n0且mn);abmn(距离式方程：J(xc)2y2J(xc)2y

11、22a)2222双曲线的标准方程：与y-2-1(a0,b0且c2a2b2)或上1(mn0);abmn(距离式方程：|J(xc)2y2J(xc)2y2|2a)抛物线的标准方程：y22px(p0),还有三类。(3)、圆锥曲线的基本性质：必须要熟透，特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等。(4)、圆锥曲线的其它知识：(了解一下，能运用解题更好)22通径：椭圆：型-；双曲线：空；抛物线：2p;aa焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SF1PF2P在双曲线上时，SF1PF2b2tan-,2b2,tan2IPF|2|PF。|24c2Luiruuur(其中F1PF2,cos1一1J|2J,PF

12、1?PF212IPF1IIPF2I12unruuLurIPF1|PF21cos)焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时为ae%;焦点在y轴上时为aey0,(简记为“左加右减，上加下减”);双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a;抛物线焦点在X轴上时为|Xl|E,焦点在y轴上时为|yi|上。224、常结合其它知识进行综合考查：(1)圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆、两圆的位置关系。(2)导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识。(3)向量的相关知识：向量数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等。(4)三角函数的相关知识：各类公式及图象与性质等。(5)不等式的相关知识

13、：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等。第三部分掌握基本方法一、圆锥曲线题型的解题方法分析高考圆锥曲线试题常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等。1、解题的通法分析：高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查，这符合高考命题原则：考查基础知识，注重数学思想，培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教材中蕴涵的基本数学思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、数形结合的思想)和常用的数学方法(数形结合，配方法，换元法，消元法，待定系数法等)解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时，我们最常用的数学方法有数形结合，待定系数法，化归转化等。在求解直

14、线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个方程组，通过消元得到一个一元二次方程再来求解。就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关系，这时一般会用到韦达定理进行转化。例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系，我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程，消y得到一个2关于x的一个一元二次方程，然后我们就可以根据一个一元二次方程的=b4ac的值来判断。直线与圆锥曲线的位置关系的判断：（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L的方程是：AxByc0,圆锥曲线的C方程是：f（x,y）0,则由AxByc°消去y得：ax2bxc。但。）（*）f（x,y

15、）0设方程（*）的判别式是=b24ac,则（1）若圆锥曲线f（x,y）0是椭圆若"b24ac>0方程（*）有两个不等实根直线L与椭圆C相交直线与椭圆C有两个不同的公共点。若"b24ac=0方程（*）有两个相等的实根直线L与椭圆C相切直线与椭圆C只有一个公共点。若方程=b24ac<0方程（*）无实根直线L与椭圆C相离直线与椭圆无公共点。（2）若圆锥曲线f（x,y）0是双曲线若=b24ac>0方程（*）有两个不等实根直线L与双曲线C相交直线与双曲线C有两个不同的公共点。若=b24ac=0方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线C相切直线与双曲线C只有一个公共点

16、。若=b24ac<0方程（*）无实根直线L与双曲线C相离直线与双曲线C无公共点。注意当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点.故直线L与双曲线C只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切。（3）若圆锥曲线f（x,y）0是抛物线若=b24ac>0方程（*）有两个不等实根直线L与抛物线C相交直线与抛物线C有两个不同的公共点。若=b24ac=0方程（*）有两个相等的实根直线L与抛物线C相切直线与抛物线C只有一个公共点。若=b24ac<0方程（*）无实根直线L与抛物线C相离直线与抛物线C无公共点。注意当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线

17、L与抛物线C只有一个公共点，此时直线L与抛物线C相交，故直线L与抛物线C只有一个公共点时可能相交也可能相切。系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法；熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。2、合理选择适当方法优化解题过程：数学的解题过程一般是由理解问题开始，经过探讨思路，转化问题直至解决问题题目的意思至为重要，然后我们才能分解问题，把一个复杂的问题转化成几个简单的

18、熟悉的问题，通过逐步分解，进而解决问题。所以在解题前，首先我们应该从全方位、多角度的分析问题，根据自己的知识经验，适时的调整分析问题的角度，再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型，找到一个正确的简便的解题方法。合理选择方法，提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找，但运算量大，所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量的方法有合理建立坐标系；充分利用定义；充分利用平面几何知识；整体消元法等。对圆锥曲线的基础知识首先要扎实，关于解题技巧可以考虑下面几点：某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题；与弦有关问题多数要用韦达定理；与中点有关问题多数要用“点差法

19、”；计算能力一定要过硬，要有“不怕麻烦的劲头”；与角度，垂直有关问题，要恰当运用“向量”的知识。直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题，也是考试中容易出大题的考点。解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥曲线就会在曲线内形成弦，这是一个最大的出题点，根据弦就可以涉及到弦长；另外直线和圆锥曲线有交点，涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题，若是再和交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。解析几何就是利用代数方法解决几何问题，因此这些几何上的角度，弦长等一些关系都要转化成坐标，以及方程的形式。但是问题的本质还是几何问题，因此更多的利用圆锥曲线的几何性质可以化简

20、计算。比如，在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方法，因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角公式计算要稍简单一些。这类题的计算量一般会比较大，在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。利用第二定义就可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离，而且一般情况下直线还是垂直于x轴或y轴的，这样直接就和坐标联系上了，这种方法在圆锥曲线中含有参数的时候还是挺好使的，一般在答题中应用不多，小题中会有不少应用，因此还是要掌握好第二定义。3、解题中应避免的误区：在“圆锥曲线”内容中，为了研究曲线与方程之间之间的各种关系，引进

21、了一些基本概念和数学方法，例如“圆锥曲线”，“曲线的方程”等概念，函数与方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易进入误区。对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点Fi,F2的距离的和等于常数2a,且此常数一定要大于2a,当常数等于下才21时，轨迹是线段|汗21，当常数小于FEI时，无轨迹；双曲线中，与两定点E,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于IF1F2I,定义中的“绝对值”与2a<|F1F21不可忽视，若2a=|FiF2,则轨迹是以Fi,F2为端点

22、的两条射线，若2a严尸21，则轨迹不存在，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅示双曲线的一支。第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，具商即是离心率®。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点Fi,F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a、b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向。判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注

23、意：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时直线与抛物线相交也只有一个交点。二、圆锥曲线题型的常用解法：1、定义法：(1)椭圆有两种定义。第一定义中，ri+r2=2a0第二定义中，ri=edi2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中，ri收2a,当门r2时，注意门的最小值为c-a：第二定义中，r尸edi,2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线的距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接

24、简明。2、韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”即设弦的两个端点A(xiy),B(xy),弦AB中点为M(x0y),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这

25、是一种常见的“设而不求”法。22点差法(中点弦问题)：设Ax1,y1、Bx2,y2,Ma,b为椭圆上1的弦AB中点，4322222222则有江江1结匕1两式相减得yL0,3ao4b4343xix2%x2yiy2y1y24322(1)。A1(ab0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y。)，则有当k。；abab22(2)、1(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y。)则有与当k0;abab(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y°),则有2y°k=2p,即y0k=p。4、数形结合法：解析几何是代数与几何

26、的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如2x+y"，令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，x2y2d,则d表示点P(x,y)到原点的距离；又如“y3”，令y3=k,则k表示点x2x2P(x、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率5、参数法：(1)点参数：利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0

27、);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P(xi,yi)外，也可直接设P(2y,-1,yi)(2)斜率为参数：当直线过某一定点P(xo,yo)时，常设此直线为y-yo=k(x-xo),即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数：当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。6、代入法:这里所讲的“代入法”主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：”已知条件Pl,P2求(或求证)目标Q”，方法1是将条件Pi代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件Pl,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入Pi,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度

28、，因此要学会分析，选择简易的代入法。二、知识考点深入透析、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析:年份试题相关知识问题类型备注椭圆，抛物线，直线，(1)求椭圆的标准方程；2012年(20)椭圆的标准方程、直线方程。(2)与直线、抛物线相结合，相切知识，求直线方程。2011年(21)轨迹方程，抛物线，求轨迹；最值问题；直线相关知识；解方程组(1)求轨迹方程(射线及抛物线方程)；(2)最值问题(求最小值，及此时点的坐标)；(3)参数的取值范围(直线与抛物线结合，求直线斜率的取值范围)2010年(21)曲线：ynx2即抛物线；切线方程(求导法)；两种跑离公式；分析法证明；裂项求和知识；(1)求切

29、线方程及特殊点的坐标；(2)最值问题(最大值时，求某点的坐标)；(3)证明不等式成立2009年(19)椭圆、圆；点与圆的位置关系判断；(1)求力程(椭圆的方程)；(2)求三角形的面积；(3)存在性问题(是含存在圆包含椭圆)2008年(20)椭圆、抛物线；切线方程(求导法)向量的数量积(垂直问题)一元二次方程解的个数(判别式)(1)求方程(椭圆及抛物线的方程)；(2)探究性问题(存在点P使得三角形为直角三角形，点P的个数)2007年圆、椭圆及定义；两点间的距离公式；解方程组；(1)求力程(圆的方程)；(2)存在性问题(存在点与跑离相等问题)。(19)二、圆锥曲线试题研究：1、曲线类型：以椭圆、抛

30、物线为主，结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。2、试题特点：(1)综合性；(2)抽象性；(3)动态性；(4)新颖性；(5)问题的连惯性；(6)含参数。3、试题中的问题类型：(1)求方程或轨迹类型：常在第一问中设置，以圆及圆锥曲线的方程为主；(2)与最值相关的类型：按题意要求，满足最大或最小值时，求某点或某知识;(3)存在性类型：据题意，判断是否存在点或图形满足题意，要说明理由；(4)探究性类型：根据题意，探究问题的多样性；(5)证明类型：根据给定条件，证明不等式或等式成立；(6)取值范围类型：设置参数，根据题意，求参数的取值范围或求其它的取值范围4、解题常用的知识要点：(1)各圆锥曲线的知识，

31、特别是椭圆、抛物线的定义；(2)圆、直线的相关知识，特别是直线的斜率知识；(3)求曲线轨迹的方法；(4)与最值相关的两种距离：点到直线的距离及两点间的距离；(5)一元二次方程(组)及不等式的相关知识：判别式，韦达定理，解方程组，均值定理等；(6)与导数相关的知识，特别是求切线方程的知识。5、常用的数学思想：(1)数形结合；(2)分类讨论。三、圆锥曲线之高考链接2012文20、(本小题满分14分)22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C"x2七1(ab0)的左焦点为F(1,0),ab且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆Ci的方程；(2)设直线l同时与椭圆Ci和抛物线C2:y24x相切

32、，求直线l的方程.2011文21、(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x2交x轴于点A,设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPOAOP.(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知T(1,1).设H是E上动点，求|HO|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1,1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.2010文21、(本小题满分14分)已知曲线Cn：ynx2,点Pn(Xn,yn)(Xn040)是曲线Cn上的点(n1,2).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出1与

33、y轴的交点Qn的坐标；(2)若原点0(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求试点R的坐标(Xn,yn)；(3)设m与k为两个给定的不同的正整数，Xn与yn是满足(2)中条件的点Pn的坐标，证明：J(m1nm1)yn|VmsVks|(s1,2,)n1、2'12009文19、(本小题满分14分)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为¥3,两个焦点分别为Fi和F2,椭圆2G上一点到Fi和F2的距离之和为12.圆Cjx2y22kx4y210(kR)的圆心为点A.(1)求椭圆G的方程；(2)求AkRFz的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?i青说明

34、理由。2008文20、(本小题满分14分),一、一一, x2设b 0,椭圆方程为12b22y21,抛物线方程为x28(yb).如图6所示，过点bF(0,b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点Fi.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得4ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点2007文19、(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2段的圆C与直线yx相切于22坐标原点0.椭圆三1与圆C的一个交

35、点到椭圆两焦点的距离之和为10.a9(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.四、基础知识专项训练1、圆锥曲线的定义：(1)方程J(x6)2y2%：(x6)2y28表示的曲线是。2(2)已知点Q(2&,0)及抛物线yx-上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是42、圆锥曲线的标准方程：(1)方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么?2 2(2)已知方程y-1表示椭圆，则k的取值范围为。3 k2k(3)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是,x2y2的最小值是提示

36、：应用线性规划方法解。(4)方程Ax2By2C表示双曲线的充要条件是什么？(5)设中心在坐标原点O,焦点%、F2在坐标轴上，离心率e五的双曲线C过点P(4,西,则C的方程为。(6)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。3、圆锥曲线焦点位置的判断：(首先化成标准方程，然后再判断)22已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是|m12m4、圆锥曲线的几何性质:(1)若椭圆x2yL1的离心率e±0,则m的值是。5m5(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为。(3)双曲线的渐近线方程是3x2y0

37、,则该双曲线的离心率等于(4)双曲线ax2(3)过双曲线二 匕1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若I ABI =4,则这样的直 12线有 条。(4)过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 条22过点(°或双曲线IT 16 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 一by21的离心率为55,则a:b=提示：应用离心率的第二道公式。22(5)设双曲线各y2r1(a>0,b>0)中，离心率eCJ2,2,则两条渐近线夹角(锐角或直ab角)8的取值范围是。(6)设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为5、直线与圆锥曲线的位置关系：(1)若直线

38、y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是22(2)直线ykx1=0与椭圆巳上1包有公共点，则m的取值范围是5m2(6)过双曲线x2L-1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4,则满足条件的直线l有条。(7)对于抛物线C:y24x,我们称满足y。24xo的点M(xo,y。)在抛物线的内部，若点M(xo,y°)在抛物线的内部，则直线l:VoV2(xx。)与抛物线C的位置关系是。(8)过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别1 1是p、q,则一一。pq2 2(9)设双曲线匕1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m

39、交其左支、右支和右准线169分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为(填大于、小于或等于)。(10)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y16。的最短距离(11)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？6、弦长公式：(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2,v2两点，若x1+x2=6,那么|AB|等于。(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则MBC重心的横坐标为。(3)已知抛物线y2px(p0)的焦点恰为双曲线1

40、2x24y23的右焦点，过抛物线的焦点则| yi y21的值为()且倾斜角为(3)试确定m的取值范围，使得椭圆 -的直线交抛物线于P(xi,yi),Q(X2,y2)两点,4A.2B.4C.4,2D.87、圆锥曲线的中点弦问：遇到中点弦问题常用“韦达定理”2或“点差球解。在椭圆与ab、c中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率k="ay。22；在双曲线一2221中，以P(%,y0)abb2x为中点的弦所在直线的斜率k=r；在抛物线y2px(p0)中，以P(x0,y°)为中点的弦所aV0在直线的斜率k=Ry02(1)如果椭圆361弦被点A(4,2)平分

41、，那么这条弦所在的直线方程是2(2)已知直线y=-x+1与椭圆xya2自1(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在b直线L:x2y=0上，则此椭圆的离心率为21上有不同的两点关于直线y4xm对称。3(4)抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0!8、动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0；已知动点P到定点F(1,0汴口直线x3的距离之和等于4,求P

42、的轨迹方程。待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为。定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,/APB=60°,则动点P的轨迹方程为00的距离小于1,则点M的轨迹方程(3) 一动圆与两圆。M: x2 轨迹为。(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x5是。y21和。N:x

43、2y28x120都外切，则动圆圆心的代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x°,y°)的变化而变化，并且Q(x0,y°)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示设，如，再将设，丫0代入已知曲线得要求的轨迹方程；动点P是抛物线y2x21上任一点，定点为A(0,1)，点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为。参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，冉消去参数得普通方程)。(1)AB是圆O的直径，且|AB|=2a,M为圆上一动点，作MNXAB,垂足为N,在OM上取点P,

44、使|OP|MN|,求点P的轨迹。(2)若点P(x1,yi)在圆x2y21上运动，则点Q(xyi,x1y1)的轨迹方程是(3)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是O9、与向量相关的题:(1)已知双曲线x221的焦点为Fi、E,点M在双曲线上目2uuuuruuuirMFiMF20,则点M到x轴的距离为(A43(2)已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(xb?i=|a|.求点P(x,y用轨迹。yj,b=(x3)iyj,且满足(3)已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点,求证：A,B,C三点共线；uuuuuur若AM=BM(

45、R)且OMAB0试求点uurOAuurOB0,点C坐标为(0,2p),M的轨迹方程。10、圆锥曲线中线段的最值：2(1)抛物线C:y=4x上一点P到点A(3,4J2)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为。(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1万到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为022(3)F是椭圆巳1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43PAPF|的最小值为;|PA2PF的最小值为11、焦半径题(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。22(1)已知椭圆L1上一点P到

46、椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为2516(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于。(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为22(4)点P在椭圆土-y-1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐259标为。(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为。22(6)椭圆x-七1内有一点P(1,1),F为右焦点，在椭圆上有一点M,使MP2MF|之值最小，则点M的坐标为。12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)：对于椭圆Sb2tan2c1y01

47、,当1y01b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc；b2对于双曲线S。tan一2(1)短轴长为近,离心率e2的椭圆的两焦点为Fi、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,3则ABF2的周长为。(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若PF2F1F20,|PF|=6,则该双曲线的方程为。22(3)椭圆二上1的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点，当PF2PF1<0时，点P的横坐94标的取值范围是。K一一，,、6(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,Fi、F2是它的左右焦点，若过Fi的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB是AF2与IBF2等差中项，

48、则AB=。(5)已知双曲线的离心率为 2, R、F2是左右焦点,P为双曲线上一点，且F1PF260 ,S PFiF21243 .求该双曲线的标准方程。13、了解其它结论：22(1)双曲线J 二1的渐近线方程为 a2 b2(2)以y bx为渐近线(即与双曲线 a2 x-2a2 x2 a2 y b22 y b20；21共渐近线)的双曲线方程为二a2为参数，(3)W0);中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为22.mx ny 1 ;2b2,焦准距(焦点到相应ab2准线的距离)为抛物线的通径为2p,焦准距为p;(5)通径是所有焦点弦(过

49、焦点的弦)中最短的弦；(6)若抛物线y2D xiX2 ，y1y2|42 2px(p 0)的焦点弦为 AB, A(x1，y1), B(x2,y2),则| AB|xi x2p ；2(7)若OA、OB是过抛物线y2Px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经五、解答题专项训练常用方法：直接法和定义法。1、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为(4,0),求线段PQ的中点的轨迹方程。2、以抛物线y28x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P,求P点的轨迹方3、在面积为1的PMN中，tanMtanN2,建立适当的坐标系，求出以M、焦点且过P点的椭圆方程。4、已知动圆过

50、定点1,0,且与直线1相切，求动圆的圆心轨迹C的方程。5、已知：直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。6、设抛物线C:yx2的焦点为F,动点P在直线l:xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点，(1)求4APB的重心G的轨迹方程；7、动圆M与圆Ci：(x+1)2+y2=36内切，与圆C2：(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。8、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1,9、已知圆C方程为：x2(1)直线l过点P

51、 1,2(1)求动点P的轨迹C的方程;y24,，且与圆C交于A、B两点，若|AB|273,求直线l的方程;2 X10、已知椭圆C: -2 a2卜=1(a > b > 0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.%的焦0的距（1）求椭圆C的方程;11、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线y216x的焦点P为22其一个焦点，以双曲线1的焦点Q为顶点。（1）求椭圆的标准方程;16912、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y点，离心率为2后.（1）求椭圆C的标准方程;513、已知椭圆的一个顶点为A0,1,焦点在x轴上.若右焦点到直线

52、xy2M2离为3.求椭圆的标准方程;2214、已知椭圆C:与4ab1（ab0）的离心率为46,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为g.（1）求椭圆C的方程;x215、已知椭圆E:-2a2yb20的一个焦点为F1E。，而且过点H而。.（I）求椭圆E的方程;x216、已知椭圆C:a2yb2b0）的离心率1e2,且八'、A(2,3)（1）求椭圆C的方程;17、已知双曲线C1：x2y2m(mx20)与椭圆C2:a2_yr1有公共焦点EE,点n（后,1）是b它们的一个公共点.（1）求C1,C2的方程;18、已知椭圆C"x2 2py p 0 的焦-yr10b2的离心率等于,抛

53、物线C2:4b2点在椭圆的顶点上。(1)求抛物线C2的方程;19、已知椭圆Ci：。A1(ab0)的离心率为,直线L:yxab32与以原点为圆心、以椭圆Ci的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆Ci的方程;附录：圆锥曲线之高考链接参考答案2012文20、解：(1)因为椭圆a的左焦点为'(1,0),所以c1,x2点P(0,1)代入椭圆式ab22所以a所以直线l的方程为y Y2x 72或y2b2c22,所以椭圆C1的方程为上y21.2(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y kx m所以2 x 万yy21 ,消去y并整理得(1kx m2k2 )x2 4kmx2 m2 20 ,因为直线l与椭圆Ci相切,16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2)0 ,整理得2k24x4x ,消去y