小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全汇编

1、学习好资料更多精品文档五年级奥数第 1 讲数字迷（一）第 16 讲 巧算 24第 2 讲 数字谜 （ 二 ）第 17 讲 位置原则第 3 讲 定义新运算 （ 一 ）第 18 讲 最大最小第 4 讲 定义新运算 （ 二 ）第 19 讲 图形的分割与拼接第 5 讲 数的整除性 （ 一）第 20 讲 多边形的面积第 6 讲 数的整除性 （ 二）第 21 讲 用等量代换求面积第 7 讲 奇偶性（一）第 22 用割补法求面积第 8 讲 奇偶性（二）第 23 讲 列方程解应用题第 9 讲 奇偶性（三）第 24 讲 行程问题（一）第 10 讲 质数与合数第 25 讲 行程问题（二）第 11 讲 分解质因数第

2、 26 讲 行程问题（三）第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一）第 27 讲 逻辑问题（一）第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二）第 28 讲 逻辑问题（二）第 14 讲 余数问题第 29 讲 抽屉原理 （ 一 ）第 15 讲 孙子问题与逐步约束法第 30 讲 抽屉原理 （ 二 ）学习-好资料更多精品文档第 1 讲数字谜（一）例 1 把+, -,X,宁四个运算符号，分别填入下面等式的。内，使等式成立（每个运算符号只准使 用一次）：（501307）0（1709）=12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立： * 口=* =5568。例 3 在 443 后面添上一个三位

3、数，使得到的六位数能被573 整除。例 4 已知六位数 33口 44 是 89 的倍数，求这个六位数。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适 当的数字代替字母，使加法竖式成立。FORTYTEN+ TENSIXTY例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当 的数字，使竖式成立。ABCBDEFAG-_EFAG + FFFFFFABCBD练习 11. 在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819,求原来的四位数。2. 在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同

4、的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1） A B （2） A B A B + B C A - A C AA B C B A A C3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1*2 宁 3 宁 4 宁 5 宁 6 宁 7 宁 8 宁 9。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1* 2*3*4*5*6* 7* 8*9=2.85.将 19 分别填入下式的中，使等式成立： *口=* =36346.六位数 391 是 789 的倍数，求这个六位数学习-好资料更多精品文档7.已知六位数 7口 888 是 83 的倍数，求这个六位数学习-好资料更多精品文档第 2 讲数字谜(二)这

5、一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求abcde 1 abode X 3 abcdeK例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 x8 1 例 3 左下方的除法竖式中只有一个 8,请在内填入适当的数字，使除法竖式成立_ 8 ) 口 口0例 4 在内填入适当数字，使小数除法竖式成立。竖式(2),求这个五位数练习 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出(1) 1abcdx3=abcd5 (2)7xabcxyz=6xxyzabc2.用代数方法求解下列竖式：3.在内填

6、入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7. *0例 5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式例 5 图(1) ,这个五位数被另一个一位数除得到右上图的abed 及 abcxyz 口口TH0bQElc例 4 图学习-好资料更多精品文档 ) . ) . ) . 8 00学习-好资料10更多精品文档第 3 讲定义新运算（一）例 1 对于任意数 a, b,定义运算“ * ”： a*b=axb-a-b。求 12*4 的值例 2 已知 b 表示 a 的 3 倍减去 b 的1,例如根据以上的规定，求1A2 = 1X3-2X=2 . 6 的值d3 ，x=2，求 x 的值。例3对于数a, b（ cfd,

7、规定 5,bi c, d=2ab-（己知 52,c例仏做示两个数，规定鈕=字20 C|O） =?3112）-G-Ox-,求蚩=?4 62例分规定;斗2 = 4+44 23-2+22+222 ,求3 5=?例 6 对于任意自然数，定义：n! =1x2Xxn。例如 4 ! =1X2X3X4。那么 1! +2! +3! +100!的个位数字是几？例 7 如果 m n 表示两个数，那么规定：mDn=4n- （m+r）宁 2。求 30（406）012 的值练习 31. 对于任意的两个数 a 和 b,规定 a*b=3xa-b -3。求 8*9 的值。2. 已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，

8、求 13 匚 4 的值。3. 已知 a | b 表示（a-b）*（ a+b），试计算：（5：3） | （10,6）4.规定 a b 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值5.假定 mOn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍，即 mO n=3m-2r。6.规定:IV =L 2V -ix -t3Vix x22了111求 0 巧-C5V)的值；4V = 1X-X-X,（0计算：（亍亍）o萃(2)已知 xO(401)=7,求 x 的值学习-好资料更多精品文档第 4 讲定义新运算(二)例 1 已知 b= (a+b) - (a-b)，求 9 探 2 的值 例 2 定义运

9、算：a b=3a+5ab+kb,其中 a, b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=3X2+5X2x7+7k。(1) 已知 52=73。问：8 5 与 58 的值相等吗？(2) 当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a, b,都有 a b=ba,即新运算“”符合交换律？例 3 对两个自然数 a 和 b,它们的最小公倍数与最大公约数的差， 定义为 ab,即 ab=a , b- (a, b)。比如，10 和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2,那么 10 14=70-2=68。(1)求 1221 的值；(2)已知&x=27，求 x 的值。b 表示顺时针旋转 180, c 表示逆

10、时针旋转 90 。求：a b； b c； c a。例 5 对任意的数 a, b,定义：f (a) =2a+1, g (b) =bxb(1) 求 f (5) -g (3)的值;(2) 求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3) 已知 f (x+1) =21，求 x 的值。练习 4E A这傀斡旷是葫嫌衛即下罐否成立？AB = BSAo(2)1(302)-(203)牆2.定义两种运算“”和“”如下：b表示 a, b两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a, b两数中较大的数的 2.5 倍。 比如：4 探 5=4X3=12, 4 5=5X2.5=12.5。计算：(0.6 探 0.5)+(0.

11、3 0.8) - (1.2 探 0.7)-(0.64 0.2)。384=16, 72=30, 5：1=47, 21810=求51M4.设 m n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算 mn= (AXm-n)* 4,并且 2 3=0.75。试确定常数 A,并计算：(5 7)X(22)*( 3 2)5. 用 a, b, c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转240 , b 表示顺时针旋转 120, c 表示不旋转。运算“V”表示“接着做”。试以 a, b, c为运算对象做运算表。6. 对任意两个不同的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数，余数记为 ab

12、。比如 7 匚 3=1,529=4,420=0。( 1)计算：19982000,( 519)19, 5(195)；(2)已知 11x=4, x 小于 20,求 x 的值。7. 对于任意的自然数 a, b,定义：f (a) =aXa-1 , g (b) =b*2+1。(1)求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) =8,求 x 的值。例4 a表示顺时针旋转 90, 运算“”表示“接着做”d 表示不转。定义学习-好资料更多精品文档第 5 讲数的整除性（一）1. 整除的定义、性质定义：如果 a、b、c 是整数并且 b = 0 , a“b=c 则称 a 能被 b 整除

13、或者 b 能 整除 a,记做b a，否则称为 a 不能被 b 整除或者 b 不能整除 a,记做 b| a.2、 性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除， 那么这个数能被这几个两两互质的 自然数的乘积整除。（4） 如果一个质数能整除两个自然数的乘积， 那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。整除的数的特征I、 被 2 整除特征：个位上是 0,2,4,6,82、

14、被 5 整除特征：个位上是 5,03、 能被 3 或 9 整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3 或 9 的倍数4、 被 4、25 整除的数的特征：一个数的末 2 位能被 4、25 整除5、 被 8、125 整除的数的特征：一个数的末 3 位能被 8、125 整除&被 7 整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍,如果差 是 7 的倍数,则原数能被 7 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。7、 能被 11 整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起 来,再求它们的差,如果这个差是 11 的倍数

15、（包括 0） ,那么,原来这个数就一定能被 11 整除。例如： 判断 491678能不能被 11 整除。 一-奇位数字的和 9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678 能被 11 整除。这种方法叫“奇偶位差法”。8、 能被 13 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4 倍，如果和是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断 1284322 能不能被 13 整除。128432+2X4=12844012844+0X4=128441284+4X4=1300 1300- 13=1

16、00 所以，1284322 能被 13 整除。9、 被 7、11、13 整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数小数）能被7、11、13 整除，如 果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断 556584 能不能被 7 整除 末三位 584 末三位之前的数 556，584-556=2828 能被 7 整除，所以 556584 能被 7 整除10、 能被 17 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。II、 能被 19 整除的数的特征：把一个整数

17、的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2 倍，如果和是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程例 1 在里填上适当的数字，使得七位数 7358口能分别被 9，25 和 8 整除。例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？例 3 有四个数：76550, 76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被 12 整除？例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？例 5 能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都

18、能被3 整除？练习 51. 已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？2. 如果两个数的和是 64,这两个数的积可以整除 4875,那么这两个数的差是多少？3.173 是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次 可以被9, 11, 6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字之和是多少4.用 1 6 六个数字组成一个六位数 abcdef 期中不同的字母代表 1-6 中不同的数字。要求 ab 能被 2 整除，abc 能被 3 整除，abcd 能被 4 整除，abcde 是 5 的倍数，abcdef

19、 是 6 的倍数。这样的六位 数有几个？各是多少？5. 红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90 分，总分 A95B,这个班有多少名学生？学习-好资料更多精品文档6. 能不能将从 1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？学习-好资料更多精品文档第 6 讲数的整除性(二)特殊的数一一 1001。因为 1001=7X11X13,所以凡是 1001 的整数倍的数都能被 7, 11 和 13 整除例 1 猛能否初 11 机整除？例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除?例 3 已知 10 口 8971 能被 13 整除，求中的数。例 4 说明 12

20、 位数 abbaabbaabba定是 3、7、13 的倍数 例 5 如果 41 位数 555 口 999 能被 7 整除，那么中间方格内的数字是几？20个 20 个判断一个数能否被 27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数 连加，如果所得的和能被 27 (或 37)整除，那么这个数一定能被 27 (或 37)整除；否则，这 个数就不能被 27(或 37)整除。例 6 判断下列各数能否被 27 或 37 整除:(1) 2673135;( 2) 8990615496判断一个数能否被个位是 9 的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是

21、9 的数记为 k9 (= 10k+9 )，其中 k 为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的(k+1 )倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于 k9,那么这个数能被 k9 整除；否则，这个数就不能被 k9 整除练习 61. 下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205， 167128，250894，396500，675696, 796842， 805532， 75778885。2. 六位数 175 口 62 是 13 的倍数。中的数字是几？ 3、已知七位数 132A679 是 7 的倍数，求 A？4、六位数 ababab 能否被 7 和 13 整

22、除？5、12 位数 aabbaabbaabb 能否被 7 和 13 整除？6、333 口 888 能被 13 整除，求中间中的数？20 个 20 个7. 九位数 8765 口 4321 能被 21 整除，求中间中的数。8. 在下列各数中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026, 1884924， 2175683，2560437，11159126, 131313555, 26611777&9. 在下列各数中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119, 55537 , 62899 , 71258 ,186637, 872231, 5381717。例 7 (

23、1)判断 18937 能否被 29 整除;(2)判断 296416 与 37289 能否被 59 整除学习-好资料更多精品文档第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：（1） 能被 2 整除的自然数叫偶数，例如0, 2 , 4 , 6 , 8 , 10, 12 , 14 , 16，（2） 不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差 1，所以肯定是一奇一偶。 因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为 2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整

24、 除，所以奇数可以表示为 2n+1的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇 数。反过来,两个数的和（或差）是偶数,这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇 数,这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或 差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数,那 么积就是

25、奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数；如果若 干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。奇数 肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为（2n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+仁 4X（ n2+n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。（ 8）如果一个整数有奇数个约数（包括 1 和这个数本身）,那么这个数一定是平方数；如果一个 整

26、数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。 有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也 没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办法编上号码,成为整数问题,便可 利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+1997+199&例 2 能否在下式的中填上“ +”或“-”，使得等式成立？1口2口3口4口5口6口7口8口9=36。例 3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5 个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数那么,这两个五位数的和能不能等于 99999？例 4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握

27、手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是 偶数？请说明理由。例 5 五（ 2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有 50 道试题。评分标准是：答对一道 给 3 分,不答的题,每道给 1 分,答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定 是奇数还是偶数？练习 71.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22?学习好资料更多精品文档2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是 999。这位同学的计算有没有错？3. 甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下

28、 图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同 一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若 积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4. 某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封 信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5. A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道 加 5分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分 是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红

29、色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由7.红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999 名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？第 8 讲 奇偶性（二）例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两 位数的和最大是多少？例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否经过若干次翻转，使得 7 只杯子全部杯口朝下？例 3 有 m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次

30、翻转， 能使杯口全部朝上吗？学习-好资料更多精品文档例 4 一本论文集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是 1, 2, 3,，15 页。如果将这些文 章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例 5 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足 够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取 一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内 摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例 6 一串数排成一

31、行：1，1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55,到这串数的第 1000 个数为止，共有 多少个偶数？练习 81.在 11 , 111, 1111, 11111,这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。 这样说对吗？2. 一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1, 2, 3,，17 页。这 17 个故事有各种编排 法,但无论怎样编排,故事正文都从第 1 页开始,以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求 安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3. 桌子上放着 6 只杯子,其中 3 只杯口朝上, 3 只杯口朝下。如果每次翻转 5

32、只杯子,那么至少翻转 多少次,才能使 6 只杯子都杯口朝上？4.70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一 行数的最左边的几个数是这样的：0, 1, 3, 8, 21，问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5. 学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是 奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰 好是 100。”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数？6. 在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到 88, 66, 99

33、。问：原来写的三个整数能否是 1, 3, 5？7. 将 888 件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？学习好资料更多精品文档第 9 讲奇偶性（三）例 1 在 7X7 的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于 1 枚棋子，且每行正好放 3 枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋 子，这是为什么？例 2 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或例 3 下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人 想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一

34、个房间，他的想法能实现吗？例 4 下图是由 14 个大小相同的方格组成的图形。能不能剪裁成 7 个由相邻两方格组成的长方形?例 5 在右图的每个。中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的O中的数字之差（大数 减小数）恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？加上的数可以不同），变为右下表？为什么? t00 0 0 丄丄L 1dJLuT1学习-好资料更多精品文档练习 91.教室里有 5 排椅子，每排 5 张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、 后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次

35、后，有没有可能使5 盏灯全部是亮的？3.左下图是由 40 个小正方形组成的图形， 能否将它剪裁成20 个相同的长方形?4.一个正方形果园里种有 48 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图） 守园人从小屋出发经过每一棵树， 不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗?5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17 人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打 5 场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分 决定出前 5 名。这种比赛方式是否可行？6.如下图所示，将 112 顺次排成一圈。如果报出一个数 a （在 112

36、之间），那么就从数 a 的位置 顺时针走 a 个数的位置。例如 a=3，就从 3 的位置顺时针走 3 个数的位置到达 6 的位置；a=11， 就从 11的位置顺时针走 11 个数的位置到达 10 的位置。问：a 是多少时，可以走到 7 的位置？00000000 0 00001200000000000000000000000000000000000学习-好资料更多精品文档第 10 讲质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1 和它本身整除，所以这类自然

37、数的特征是大于 1,且只能被 1 和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。 例如，2, 3, 5, 7,第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。 这类自然数的特征是大于 1,除了能被 1 和它本 身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4, 6, 8, 9, 15, 上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1, 1 既不是质数也不是合数。例 1 1100 这 100 个自然数中有哪些是质数？例 2 判断 269, 437 两个数是合数还是质数。例 3 判断数 1111112111111 是质数还是合数？例 4 判定 298+1 和 298+3 是质数还是合数？例 5 已知

38、 A 是质数，（A+10 和（A+14）也是质数，求质数 A。练习 101.现有 1, 3, 5, 7 四个数字。（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？2.a , b, c 都是质数，abc,且 axb+c=88,求 a, b, c。3.A 是一个质数，而且 A+6, A+8, A+12, A+14 都是质数。试求出所有满足要求的质数A4有三个质数，它们的倒数之和是卷求这三个质数。5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。6 7 86 判断 266+388是不是质数。7 把一个一位数的质数 a 写在另一个两位数的质数 b

39、 后边，得到一个三位数，这个三位数是a 的 87倍，求 a 和 bo学习好资料更多精品文档第 11 讲 分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么 这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。23例如，60=2X3X5, 1998=2X3X37。例 1 一个正方体的体积是 13824 厘米3，它的表面积是多少？例 2 学区举行团体操表演，有 1 430 名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100 至200 之间，共有几种分法？例 3 1X2X3XX 40 能否被 90909 整除？例 4 求 72 有多少个不同

40、的约数。例 5 试求不大于 50 的所有约数个数为 6 的自然数。练习 111. 一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209 分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个 长方体的体积是多少立方分米？2. 爷孙两人今年的年龄的乘积是 693， 4 年前他们的年龄都是质数。 爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有 2 1 6 个零件，如果平均分成若干份，分的份数在 5 至 20 之间，那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100 分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？5.举例回答下面各问题：（ 1 ）两个质数的和

41、仍是质数吗？（ 2）两个质数的积能是质数吗？（ 3）两个合数的和仍是合数吗？（ 4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（ 5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6. 求不大于 100 的约数最多的自然数。7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“ 0”（脱靶）或者是不超过 10 的自然数。甲、 乙两同学各射 5 箭，每人得到的总环数之积刚好都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、 乙各自的总环数。学习-好资料更多精品文档第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，那么称 a 为 b 的倍数，b 为 a 的约数。 如果一个自然数同

42、时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数ai, a2，an的最大公约数通常用符号（ai，a2,，an）表示，例如，（8，12） =4,（ 6, 9，15） =3。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数ai，a2，an的最小公倍数通常用符号ai, a2,，an表示，例如8，12=24，6，9，15=90。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。例 1 用 60 元钱可以

43、买一级茶叶 144 克，或买二级茶叶 180 克，或买三级茶叶 240 克。现将这三种茶 叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例 2 用自然数 a 去除 498, 450, 414,得到相同的余数，a 最大是多少？例 3 现有三个自然数，它们的和是 1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例 4 在一个 30X24 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多 少个格点（横线与竖线的交叉点）？30例 5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1 分、1 分 15 秒和 1 分 30 秒。三人同时从起点出发，最少

44、需多长时间才能再次在起点相会？例 6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的 5倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？练习 121. 有三根钢管，分别长 200 厘米、240 厘米、360 厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的 小段，一共能截成多少段？2. 两个小于 150 的数的积是 2028，它们的最大公约数是 13,求这两个数。3.用 19 这九个数码可以组成 362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数?4. 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长5

45、4 厘米，爸爸每步长 72 厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60 个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？5. 有一堆桔子，按每 4 个一堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也少 1 个，按每 6 个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5 分钟发车一次，第二、三条线路每隔 6分钟和 8 分钟发车一次。9 点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？学习-好资料更多精品文档7.四个连续奇数的最小公倍数是 6435，求这四个数学习-好资料更多精品文档第 13 讲 最大公约数与最小公倍数（二）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的

46、乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）xa,b=axb。例 1 两个自然数的最大公约数是 6,最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是 18,求另一个自然数。例 2 两个自然数的最大公约数是 7,最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77,求这两个自然数。例 3 已知 a 与 b, a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15, a, b, c 的最小公倍数是 120,求 a, b, c1电?例 4 有甲、乙、丙三神溶液，分别重刑重 4：千克、备千克和 2 百千克。现要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？如果若干个分数（含整数）都是某个分数

47、的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数 在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个 分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。练习 131. 将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2. 两个自然数的最大公约数是 12,最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组?3.求下列各组分数的最大公约数:54】利2细乘积是否等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积?69c 52歸艮乙肉三稲鐵分别重综和*千贰现要将它们全o部分别

48、装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？44569To4.求下列各组分数的最小公倍数:学习-好资料更多精品文档7.有一块圆形绿地，周围种花卉，4.毎尿米种一株英蓉，每隔4彳米种一株牡舟每隔4彳米种一株荼花,第 14 讲 余数问题余数有如下一些重要性质（ a，b，c 均为自然数）：（1）余数小于除数。（2）被除数=除数X商+余数；除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）*除数。（3） 如果 a，b 除以 c 的余数相同，那么 a 与 b 的差能被 c 整除。例如， 17 与 11 除以 3 的余数都是 2，所以 17-11 能被 3 整除。（ 4） a 与 b 的和除

49、以 c 的余数，等于 a，b 分别除以 c 的余数之和（或这个和除以 c 的余数）。（5）a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a, b 分别除以 c 的余数之积（或这个积除以 c 的余数）b）,已知 a 和 b 除以 13 的余数分别是 5 和 9,求 a+b, a-b , aXb, a2-b2各自除以 13 的余数。3.2100 除以一个两位数得到的余数是 56,求这个两位数。4. 被除数、除数、商与余数之和是 903,已知除数是 35,余数是 2,求被除数。2嶽詐种一株械说制卉种于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。学习好资料更多精品文档5. 用一个整数去除 345 和 543 所得的

50、余数相同,且商相差 9,求这个数。6. 有一个整数,用它去除 312, 231, 123 得到的三个余数之和是 41,求这个数。7.2000 年五月有 5 个星期三、 4 个星期四,这个月的一日是星期几？第 15 讲 孙子问题与逐步约束法例 1 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2。求满足条件的最小自然数。例 2 求满足除以 5 余 1，除以 7 余 3，除以 8 余 5 的最小的自然数。例 3 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？例 4 求满足除以 6 余 3，除以 8 余 5，除以 9 余 6 的最小自然数。例 5

51、 学校要安排 66 名新生住宿，小房间可以住 4 人，大房间可以住 7 人，需要多少间大、小房间， 才能正好将 66 名新生安排下？例 6 求不定方程 5x+3y=68 的所有整数解。练习 151.一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小自然数。2.有一堆苹果， 3 个 3 个数余 1 个，5 个 5 个数余 2 个，6 个 6 个数余 4 个。这堆苹果至少有多少个？3.在小于 1000 的自然数中，除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大的自然数是几？4.在 5000 以内，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3 的自然

52、数有多少个？5.有一个两位数，除以 2 与除以 3 都余 1，除以 4 与除以 5 都余 3，求这个数。学习好资料更多精品文档6. 用 100 元钱去买 3 元一个和 7 元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？7. 五年级一班的 43 名同学去划船，大船可坐 7 人，小船可坐 5 人，需租大、小船各多少条？学习好资料更多精品文档第 16 讲 巧算 24游戏规则：给定四个自然数，通过+, -,X,十四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是 24“数学 24”游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1

53、13 范围内了。“数学 24”游戏可以 1 个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿 掉，剩下的 52 张牌洗好后，每人分 13 张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中 J，Q K 分别代表 11，12 和 13,四张牌表示四个自然数。谁最先按游戏规则算出24,就把这四张牌赢走。然后继续进行。最后谁的牌最多谁获胜。要想算得又快又准，最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是利用括号。括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。请用下面例题中给出的四个数，按规则算出 例1 3 ， 3， 5， 6。例 2 2 ， 2， 4， 8。24。例 3 1 ， 4，

54、4， 5例 4 6 ， 8， 8，9例 5 5 ， 7， 12，12。例 6 2 ，2，6， 9例 7 2， 6， 9， 9例 8 2 ，4，10 ，10例 9 1， 5， 5， 5例 10 3 ，3，8，8。例 11 1 ， 4， 5，6练习 16用给出的四个数，按规则算出 24。1.（1）1， 3， 3， 7； （2）2， 2， 5， 7；（3）1， 4， 4，7；4）1， 2， 8， 8；5）1 ， 5， 6， 6； （6）5， 8， 8，8。2.（1） 2，7，7，10；（2）3，5，5，9；（3）5，5， 7， 11； （4）2， 6，6，12；5）4， 4， 5， 5； （6）2，

55、 5， 5， 1 0；（ 7） 4 ， 9， 9， 12； （8）3，7， 9， 133.（1）1， 3， 4， 6； （2）2， 8， 9， 13；（3）1， 6， 6， 8； （4）2， 3，5， 12；5）3， 4， 6， 13；6）1， 8， 12， 12；（7）3， 4， 8， 13；8）2， 7， 12， 13学习-好资料第 17 讲位值原则更多精品文档同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除 了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“ 5”，写在个位上，就表示 5 个一；写在十位上，就 表示 5 个十；写在百位上，就表示 5 个百；等等。

56、这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为 写数的位值原则。我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每 10 个某一单位就组成和 它相邻的较高的一个单位，即 10 个一，叫做“十”，10 个十叫做“百”，10 个百叫做“千”，等 等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。亠百十ft6e用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926 表示 9 个百，2 个十，6 个一，即926=9X100+2X10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：航表示 a 个百，b 个十，亡个其中 a 可以是 19

57、 中的数码，但不能是 0,b 和 c 是 09 中的数码。的-个数,州以区别批二沁 g下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。例1证明*当颈匚时，abc是9的倍数1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三例 3 a, b，c 是 19 中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？ 例 4 用 2，8，7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少?例 5 一个两位数，各位数字的和的 5 倍比原数大 6,求这个两位数。例 6 将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的

58、 三位数，求原来的三位数。练习 171. 有一个两位数，把数码 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是 970。求原来的两位数。2. 有一个三位数，将数码 1 加在它的前面可以得到一个四位数，将数码 3 加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是 2351，求原来的三位数。L 个三确减古醐各*数娥位的数字之和得66艮求恥4沁! +就+乐 r 二血觅蘇込5. 从 19 中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是 3330。这六个三位数中最 小的能是几？最大的能是几？6. 一个两位数，各位数字的和的 6 倍比原数小 9,求这

59、个两位数。7. 一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的 4 倍比原三位数大 1，求这个三位数。例 2 有一个两位数，把数码位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。学习-好资料更多精品文档第 18 讲最大最小例 1 两个自然数的和是 15,要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？例 2 比较下面两个乘积的大小： a=57128463X 87596512, b=57128460X87596515。例 3 用长 36 米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？例 3 说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。例 4 两个自然数的积是 48，这两个自然数是什么值时，它们

60、的和最小？例 5 要砌一个面积为 72 米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙 最少长多少米？例 6 把 17 分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？例 7 把 49 分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？练习 181.试求和是 91,乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？二岂/.旷彳乍咯就十奉申諛心二三兀乙：岁.平 甘技之和的最小值是多少？643. 比较下面两个乘积的大小：123456789X 987654321，123456788X987654322。4. 现计划用围墙围起一块面积为 5544 米2的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少